Ôn tập chương 2

Hàm số y = (m + 6)x – 7 đồng biến khi hệ số a > 0

Ta có: m + 6 > 0 ⇔ m > -6

Vậy với m > -6 thì hàm số y = (m + 6)x – 7 đồng biến

Hàm số y = (-k + 9)x – 7 nghịch biến khi hệ số a < 0

Ta có: -k + 9 < 0 ⇔ k > 9

Vậy với k > 9 thì hàm số y = (-k + 9)x – 7 nghịch biến.

Hai đường thẳng y = 12x + (5 – m) và y = 3x + (3 + m) cắt nhau tại một điểm trên trục tung nghĩa là chúng có cùng tung độ góc.

Suy ra: 5 – m = 3 + m ⇔ 2m = 2 ⇔ m = 1

Vậy với m = 1 thì đồ thị của các hàm số y = 12x + (5 – m) và y = 3x + (3 + m) cắt nhau tại một điểm trên trục tung.

Hai đường thẳng y = (a – 1)x + 2 và y = (3 – a)x + 1 có tung độ gốc khác nhau do vậy chúng song song với nhau khi và chỉ khi chúng có hệ số a bằng nhau.

Ta có: a – 1 = 3 – a ⇔ 2a = 4 ⇔ a = 2

Vậy với a = 2 thì hai đường thẳng y = (a – 1)x + 2 và y = (3 – a)x + 1 song song với nhau.

Hai đường thẳng y = kx + (m – 2) và y = (5 – k)x + (4 – m) trùng nhau khi và chỉ khi k = 5 – k và m – 2 = 4 – m

Ta có: k = 5 – k ⇔ 2k = 5 ⇔ k = 2,5

m – 2 = 4 – m ⇔ 2m = 6 ⇔ m = 3

Vậy với k = 2,5 và m = 3 thì hai đường thẳng y = kx + (m – 2) và y = (5 – k)x + (4 – m) trùng nhau.

Đồ thị hàm số bậc nhất y = (1 – 4m)x + m – 2 đi qua gốc tọa độ khi 1 – 4m $\ne$ 0 và m – 2 = 0

Ta có: 1 – 4m $\ne$ 0 ⇔ m $\ne$ 1/4

m – 2 = 0 ⇔ m = 2

Vậy với m = 2 thì (d) đi qua gốc tọa độ.

Đường thẳng (d) tạo với trục Ox một góc nhọn khi hệ số góc của đường thẳng là số dương.

Ta có: 1 – 4m > 0 ⇔ m < 1/4

Đường thẳng (d) tạo với trục Ox một góc tù khi hệ số góc của đường thẳng là số âm.

Ta có: 1 – 4m < 0 ⇔ m > 1/4

Vậy với m < 1/4 thì đường thẳng (d) tạo với trục Ox một góc nhọn, với m > 1/4 thì đường thẳng (d) tạo với trục Ox một góc tù.

- Vẽ đồ thị hàm số y = -(x + 1)

Cho x = 0 thì y = -1. Ta có: (0; -1)

Cho y = 0 thì x = -1. Ta có: (-1; 0)

Đồ thị hàm số y = -(x + 1) đi qua hai điểm (0; -1) và (-1; 0)

Ta có: y = x và y = x + 1 song song với nhau.

y = -x và y = -(x + 1) song song với nhau.

Suy ra chỉ có đồ thị hàm số y = -x và y = x + 1 cắt nhau.

Phương trình hoành độ giao điểm:

-x = x + 1 ⇔ 2x = -1 ⇔ x = - 1/2

Suy ra phương trình |x| = |x + 1| có một nghiệm duy nhất.

Tung độ giao điểm: y = -x ⇒ y = 1/2

Vậy tọa độ giao điểm của đường thẳng y = |x| và y = |x + 1| là:

I(- 1/2 ; 1/2 )

Đường thẳng y = (m – 2)x + n (d) đi qua hai điểm A(-1;2) và B(3; -4). Khi đó tọa độ các điểm A, B thỏa mãn (d), nghĩa là:

2 = (m – 2)(-1) + n (1)

và -4 = (m – 2).3 + n (2)

Rút gọn hai phương trình (1) và (2), ta được

-m + n = 0; (1’)

3m + n = 2. (2’)

Từ (1’) suy ra n = m. Thay vào (2’), ta có 3m + 3 = 2 suy ra m = 1/2.

Trả lời: Khi m = n = 1/2 thì (d) đi qua hai điểm A và B đã cho.

Đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 - $\sqrt{2}$$\sqrt{2}$nên ta có n = 1 - $\sqrt{2}$

Đường thẳng (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2 + $\sqrt{2}$ nên ta có:

Trả lời: Khi n = 1 - $\sqrt{2}$ và  thì đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 - $\sqrt{2}$ và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ 2 + $\sqrt{2}$

Ta có: y = 0,5x – 1,5. (d1)

Đường thẳng (d) và ($d_1$) khi m – 2 $\ne$ 0,5, còn n lấy giá trị tùy ý. Suy ra (d) cắt ($d_1$) khi m $\ne$ 2,5 còn n tùy ý.

Trả lời: (d) cắt ($d_2$) khi m ≠ 2,5 còn n tùy ý.

Ta có: y = -1,5x + 0,5. ($d_2$)

Đường thẳng (d): y = (m – 2)x + n song song với ($d_2$) khi:

m – 2 = -1,5 và n $\ne$ 0,5

hay m = 0,5 và n $\ne$ 0,5.

Trả lời: (d) song song với ($d_2$) khi m = 0,5 và n $\ne$ 0,5.

Ta có: y = 2x – 3 ($d_3$)

Đường thẳng (d) trùng với ($d_3$) khi m – 2 = 2 và n = -3

Hay m = 4 và n = -3.

Trả lời: Khi m = 4 và n = -3 thì hai đường thẳng (d) và ($d_3$) trùng nhau.

- Đồ thị của hàm số y = 3x + 6 là đường thẳng đi qua hai điểm A(-2;0) và $B_1$(0;6).

- Đồ thị của hàm số y = 2x + 4 là đường thẳng đi qua hai điểm A(-2;0) và $B_2$(0;4).

- Đồ thị của hàm số y = x + 2 là đường thẳng đi qua hai điểm A(-2;0) và $B_3$(0;2).

- Đồ thị của hàm số y = 1/2x + 1 là đường thẳng đi qua hai điểm A(-2;0) và $B_4$(0;1).

Gọi $\angle$($B_1$ Ax) = ${\alpha }_1$; $\angle$($B_2$ Ax) = ${\alpha }_2$; $\angle$($B_3$ Ax) = ${\alpha }_3$; $\angle$($B_4$ Ax) = ${\alpha }_4$. Dùng máy tính bỏ túi CASIO fx – 220 tính tg${\alpha }_1$, tg${\alpha }_2$, tg${\alpha }_3$, tg${\alpha }_4$ và suy ra các góc tương ứng.

Ta có:

tg${\alpha }_1$ = 3 ⇒ ${\alpha }_1$ ≈ $71°33\text{'}54,18\text{'}\text{'}$

tg${\alpha }_2$ = 2 ⇒ ${\alpha }_2$ ≈ $63°26\text{'}5,82\text{'}\text{'}$

tg${\alpha }_3$ = 1 ⇒ ${\alpha }_3$ ≈ $45°$

tg${\alpha }_4$ = 1/2 ⇒ ${\alpha }_4$ ≈ $26°33\text{'}54,18\text{'}\text{'}$

Từ sự tăng dần của các hệ số góc: 1/2 < 1 < 2 < 3 và sự tăng dần của các góc α:

$26°33\text{'}<45°<63°26\text{'}<71°33\text{'}$

Rút ra nhận xét:

Với a > 0, khi a càng lớn thì góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và tia Ox càng lớn, và do đó độ dốc của đường thẳng (so với trục nằm ngang Ox càng lớn).

Gọi M’, N’, P’, Q’ là các điểm lần lượt đối xứng qua các điểm M, N, P, Q qua trục Ox, ta thấy rằng hoành độ của các điểm đối xứng nhau qua trục hoành bằng nhau, còn tung độ của các điểm đó thì đối nhau: M’(-1; 2); N’(-2; 4); P’(2; 3); Q’(3; 4,5).

Ta vẽ đồ thị y = x với x $\ge$ 0.

Vẽ đồ thị y = -x với x $\le$ 0.

Ta vẽ đồ thị y = x + 1 với x $\ge$ -1

Vẽ đồ thị y = -x – 1 với x $\le$ -1.

Đồ thị y = -x cắt đồ thị y = x + 1 tại điểm M($x_o$, $y_o$). Vì M thuộc cả hai đồ thị nên tọa độ của M phải thỏa mãn các hàm số, nghĩa là:

Đồ thị y = |x| và đồ thị y = |x + 1| chỉ cắt nhau tại một điểm duy nhất M((-1)/2; 1/2).

Suy ra phương trình |x| = |x + 1| chỉ có nghiệm duy nhất x = (-1)/2.

*Vẽ đồ thị hàm số y = 2x – 2 ($d_1$)

Cho x = 0 thì y = -2. Ta có: (0; -2)

Cho y = 0 thì 2x – 2 = 0 ⇔ 2x = 2 ⇔ x = 1. Ta có: (1; 0)

Đồ thị hàm số đi qua hai điểm (0; -2) và (1; 0)

*Vẽ đồ thị hàm số y = - (4/3).x – 2 ($d_2$)

Cho x = 0 thì y = -2. Ta có: (0; -2)

Cho y = 0 thì - (4/3).x – 2 = 0 ⇔ x = -1,5. Ta có: (-1,5; 0)

Đồ thị hàm số đi qua hai điểm (0; -2) và (-1,5; 0)

*Vẽ đồ thị hàm số y = (1/3).x + 3 ($d_3$)

Cho x = 0 thì y = 3. Ta có: (0; 3)

Cho y = 0 thì (1/3).x + 3 = 0 ⇔ x = -9. Ta có: (-9; 0)

Đồ thị hàm số đi qua hai điểm (0; 3) và (-9; 0)

Phương trình hoành độ giao điểm của (d1) và (d3):

2x – 2 = (1/3).x + 3 ⇔ 2x - (1/3).x = 3 + 2 ⇔ (5/3).x = 5 ⇔ x = 3

Tung độ giao điểm: y = 2.3 – 2 ⇔ y = 6 – 2 = 4

Vậy tọa độ điểm A là A(3; 4)

Phương trình hoành độ giao điểm của ($d_2$) và ($d_3$):

- (4/3).x – 2 = (1/3).x + 3 ⇔ (1/3).x + (4/3).x = -2 – 3 ⇔ (5/3).x = -5 ⇔ x = -3

Tung độ giao điểm: y = (1/3).(-3) + 3 ⇔ y = -1 + 3 = 2

Vậy tọa độ điểm B là B(-3; 2)

Ta có:

$$\begin{gathered} A{B}^2={\left(x_A-x_B\right)}^2+{\left(y_A-y_B\right)}^2 \\ ={\left(3+3\right)}^2+{\left(4-2\right)}^2=40 \end{gathered}$$

AB = $\sqrt{40}=2\sqrt{10}$