Gọi m là số tự nhiên cần tìm.

* Ta có: m chia cho 2 dư 1 nên m có chữ số tận cùng là số lẻ

m chia cho 5 thiếu 1 nên m có chữ số tận cùng bằng 4 hoặc bằng 9

Vậy m có chữ số tận cùng bằng 9.

* m chia hết cho 7 nên m là bội số của 7 mà có chữ số tận cùng bằng 9

Ta có: 7 . 7 = 49

       7. 17 = 119

       7. 27 = 189

      7. 37 = 259 (Loại vì a < 200)

Trong các số 49, 119, 189 thì chỉ 49 là chia cho 3 dư 1

Vậy số cần tìm là 49

80 − (4 . 52 – 3 . 23)

= 80 – ( 4 . 25 – 3 . 8)

= 80 – (100 – 24 )

= 80 – 76 = 4

23 . 75 + 25 . 23 + 180

= 23 . (75 + 25) + 180

= 23 . 100 + 180

= 2300 + 180 = 2480

2448 : [119 − (23 − 6)]

= 2448 : (119 – 17)

= 2448 : 102 = 24

(2600 + 6400) – 3x = 1200

9000 – 3x = 1200

3x = 9000 - 1200

3x = 7800

x = 7800 : 3

x = 2600

Vậy x = 2600

[(6x − 72) : 2 − 84] . 28 = 5628

(6x – 72) : 2 – 84 = 5628 : 28

( 6x – 72) : 2 – 84 = 201

(6x – 72) : 2 = 201 + 84

( 6x – 72) : 2 = 285

6x – 72 = 285.2

6x – 72 = 570

6x = 570 + 72

6x = 642

x = 642 : 6

x = 107

Vậy x = 107

C = {23; 12; 60; 49}

D = {4; 30; 41}

E = {120; 32; 675; 180}

G = {2; 3}

Ta có: 12345679 . a . 9

       = (12345679 . 9) . a

       = 111111111 . a

Ta có 270 ⋮ 2; 3105 không chia hết 2; 150 ⋮ 2        Suy ra A không chia hết 2

       270 ⋮ 5; 3105 ⋮ 5; 150 ⋮ 5        Suy ra A ⋮ 5

       270 ⋮ 3; 3105 ⋮ 3; 150 ⋮ 3        Suy ra A ⋮ 3

       270 ⋮ 9; 3105 ⋮ 9; 150 không chia hết 9        Suy ra A không chia hết 9

Ta có: 2 . 3 . 5 + 9 . 31 > 3

       2 . 3 . 5 ⋮ 3 và 9 . 31 ⋮ 3

Vậy tổng 2 . 3 . 5 + 9 . 31 là hợp số

Ta có: 5 . 6 . 7 + 9 . 10 . 11 > 3

       5 . 6 . 7 ⋮ 3 và 9 . 10 . 11 ⋮ 3

Vậy tổng 5 . 6 . 7 + 9 . 10 . 11 là hợp số.

Vì $\overline{1*5*}$ chia hết cho 2 và cho 5 nên chữ số hàng đơn vị là 0

Vì $\overline{1*5*}$ chia hết cho 9

⇒ 1 + (*) + 5 + 0 = [6 + (∗)] ⋮ 9.

Suy ra (*) = 3

Vậy ta có số 1350

Vì 1350 ⋮ 9 nên 1350 ⋮ 3

Vì ƯCLN (2; 3) = 1 nên 1350 ⋮ (2; 3) = 6

Vậy số 1350 chia hết cho tất cả các số 2, 3, 5, 6, 9.

Ta có:

A = 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 210

= (2 + 22) + (23 + 24) + (25 + 26) + (27 + 28) + (29 + 210)

= 2 . (1 + 2) + 23 . (1 + 2) + 25 . (1 + 2) + 27 . (1 + 2) + 29 . (1 + 2)

= 2 . 3 + 23 . 3 + 25 . 3 + 27 . 3 + 29 . 3

= 3 . (2 + 23 + 25 + 27 + 29)

Vậy A ⋮ 3

Ta có: 45 = 32 . 5

204 = 22 . 3 . 17

126 = 2 . 32 . 7

ƯCLN (45; 204; 126) = 3

Ta có: 45 = 32 . 5

204 = 22 . 3 . 17

126 = 2 . 32 . 7

BCNN(45; 204) = 22 . 32 . 5 . 17 = 3060

Gọi n (m) (n ∈ N) là khoảng cách giữa hai cây liên tiếp.

Vì mỗi góc có một cây và khoảng cách giữa hai cây liên tiếp bằng nhau nên n là ước chung của kích thước chiều dài và chiều rộng.

Ta có: 105 ⋮ n và 60 ⋮ n

Vì n lớn nhất nên n là ƯCLN(60; 105)

Ta có: 60 = 22 . 3 . 5

105 = 3. 5 . 7

ƯCLN (60; 105) = 3. 5 = 15

Vậy khoảng cách lớn nhất giữa hai cây là 15m

Chu vi của vườn cây là: (105 + 60). 2 = 330 (m)

Tổng số cây phải trồng là: 330 : 15 = 22 (cây)

Gọi m (m ∈ N) là số phần thưởng được chia.

Vì sau khi chia còn dư 13 quyển vở nên ta có: m > 13

Số vở được chia: 133 – 13 = 120 (quyển)

Số bút được chia: 80 – 8 = 72 (cây)

Số tập giấy được chia: 170 – 2 = 168 (tập)

Vì trong mỗi phần thưởng số vở, bút và giấy bằng nhau nên m là ước chung của 120, 72 và 168.

Ta có 120 = 23 . 3 . 5; 72 = 23 . 32; 168 = 23 . 3 . 7

ƯCLN (120; 72; 168) = 23 . 3 = 24

ƯC (120; 72; 168) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}

Vì m > 13 nên m = 24

Vậy có 24 phần thưởng.

Gọi m (cm) là cạnh của hình lập phương (m ∈ N*).

Vì hình lập phương xếp khít cả theo chiều dài, chiều rộng và chiều cao của thùng nên cạnh hình lập phương là ước chung của kích thước chiều dài, chiều rộng , chiều cao của thùng .

Ta có: 320 ⋮ m, 192 ⋮ m và 224 ⋮ m

Vì m lớn nhất nên m là ƯCLN (320; 192; 224)

Ta có 320 = 26 . 5; 192 = 26 . 3; 224 = 25 . 7

ƯCLN(320; 192; 224) = 25 = 32

Vậy cạnh hình lập phương lớn nhất bằng 32(cm).

Gọi m (phút) (m ∈ N*) là thời gian từ lúc taxi và xe buýt cùng rời bến lần này đến lúc taxi và xe buýt cùng rời bến lần tiếp theo.

Ta có: m ⋮ 10 và m ⋮ 12

Vì m nhỏ nhất nên m là BCNN(10; 12)

Ta có: 10 = 2 . 5

12 = 22 . 3

BCNN(10; 12) = 22 . 3 . 5 = 60

Vậy sau 60 phút = 1 giờ thì taxi và xe buýt cùng rời bến lần tiếp theo. Lúc đó là 6 + 1 = 7 giờ

Gọi m (m ∈ N và 200 ≤ m ≤ 400) là số học sinh khối 6 cần tìm.

Vì khi xếp hàng 12, hàng 15, hàng 18 đều dư 5 nên ta có:

       m - 5 ⋮ 12; m - 5 ⋮ 15 và m - 5 ⋮ 18

Suy ra: m - 5 là bội chung của 12, 15 và 18

Ta có: 12 = 22.3 ; 15 = 3.5 và 18 = 2 . 32

BCNN(12; 15; 18) = 22.32.5 = 180

BC = (12; 15; 18) = {0; 180; 360; 540; ...}

⇒ (m – 5) ∈ {0; 180; 360; 540; ...}

Suy ra: m ∈ {5; 185; 365; 545; ...}

Vì 200 < m < 400 suy ra: m = 365

Vậy số học sinh khối 6 là 365 em.

Gọi m (mm) là chiều cao nhỏ nhất của ba chồng sách (m ∈ N*).

Vì ba chồng sách cao bằng nhau nên chiều cao của mỗi chồng sách là bội chung của bề dày ba quyển sách.

Vì m nhỏ nhất nên m là BCNN(15; 6; 8)

Ta có: 15 = 3.5

       6 = 2. 3

       8 = 23

BCNN(15; 6; 8) = 23 . 3 . 5 = 120

Vậy chiều cao nhỏ nhất của mỗi chồng sách là 120mm.

Thời gian hai người đi được cho đến lúc gặp nhau: 9 – 7 = 2 ( giờ)

Tổng vận tốc của hai người: 110 : 2 = 55 (km/h)

Vận tốc của người thứ nhất: (55 + 5) : 2 = 30 (km/h)

Vận tốc của người thứ hai: 30 – 5 = 25 (km/h).

Mỗi bước nhảy của chó dài hơn bước nhảy của thỏ: 9 – 7 = 2(dm)

Vậy muốn đuổi kịp thỏ, chó phải nhảy: 150 : 2 = 75 ( bước).

Gọi m là số mà tôi nghĩ (m ∈ N; m ≥ 9).

Vì m – 7 ⋮ 7; m – 8 ⋮ 8; m – 9 ⋮ 9 nên m ⋮ 7, m ⋮ 8, m ⋮ 9

Suy ra: m là bội chung của 7, 8, 9.

Vì 7, 8, 9 đôi là một nguyên tố cùng nhau nên ta có:

       BCNN(7, 8, 9) = 7 . 8 . 9 = 504

       BC(7, 8, 9) = {0; 504; 1008; ...}

Vì m là số có ba chữ số nên m = 504

Vậy số mà tôi suy nghĩ 504.

Gọi m (m ∈ N* và m < 400) là số trứng có trong rổ.

Theo đề bài, ta có:

m - 1 ⋮ 2; m - 1 ⋮ 3; m - 1 ⋮ 4; m - 1 ⋮ 5 và m - 1 ⋮ 6

Suy ra: m – 1 là bội chung của 2; 3; 4; 5; 6

Ta có: 2 = 2; 3 = 3; 4 = 22; 5 = 5 và 6 = 2.3

BCNN(2; 3; 4; 5; 6) = 22 . 3 . 5 = 60

BC(2; 3; 4; 5; 6) = {0; 60; 120; 180; 240; 300; 360; 420; ...}

Suy ra: m – 1 ∈ {0; 60; 120; 180; 240; 300; 360; ....}

m = {1; 61; 121; 181; 241; 301; 361;.....}

Vì m ⋮ 7 nên m = 301

Vậy rổ trứng có 301 quả.

P ∩ A = {2}; A ∩ B = ∅

P ⊂ N; P ⊂ N*; N* ⊂ N

A ⊂ N; B ⊂ N; B ⊂ N*

{75; 84; 15; 24}

{65; 56; 5}

{350; 980; 50; 140}

{14; 5; 2}

Minh họa bằng hình vẽ

T ⊂ A

V ⊂ A

K ⊂ A

T ∩ V = M

T ∩ M = M

V ∩ M = M

K ∩ T = ∅

K ∩ V = ∅

Số học sinh của lớp 6A là:

(24 + 25 – 13) + 9 = 45 (học sinh)

Ta có: 5.34 – 6.72 = 5. 81 – 6 . 49

= 405 - 294 = 111

Chọn (C) 111

Ta có: 96 = 3.25

160 = 5.25

192 = 3.26

ƯCLN(96;160;192) = 25 = 32

Chọn (C) 32.

Ta có: 36 = 32.22

104 = 13. 23

378 = 33.2.7

BCNN(36, 104, 378) = 13.23.33.7 = 19656

Chọn (D) 19656.

Ta có: ab − ba = 72 nên (10a + b) - (10b + a) = 72

⇒ 9a - 9b = 72

⇒ 9(a - b) = 72

⇒ a - b = 8.

Do a và b khác 0 nên a = 9, b = 1.

Đáp số: 91.

Vì *25* chia hết cho 2 và cho 5 nên chữ số hàng đơn vị là 0

Vì *25* chia hết cho 3 nên 2 + * + 5 + 0 = 7 + * ⋮ 3

Suy ra: * = {2;5;8}

Vậy các số cần tìm là 2250, 5250, 8250.

Ta có: n + 3 ⋮ n + 1 và n + 1 ⋮ n + 1

Suy ra: (n + 3) – (n + 1) ⋮ (n + 1) hay 2 ⋮ (n + 1)

Do đó: n + 1 ∈ {1; 2}

+ Nếu n + 1 = 1 thì n = 0.

+ Nếu n + 1 = 2 thì n = 1.

Vậy có hai số thỏa mãn là 0 và 1

Ta có: abcd = 100.ab + cd = 4.25.ab + cd

Ta có: 4.25.ab ⋮ 4

Nên nếu cd ⋮ 4 thì (4.25.ab + cd) ⋮ 4 nên abcd ⋮ 4

Ta có: abcd = 100.ab + cd = 4.25.ab + cd

Nếu abcd ⋮ 4 mà 4.25.ab ⋮ 4 nên cd ⋮ 4

Gọi m là giá trị nhỏ nhất của các tích 140 . a, 180 . b, 200 . c. Do a, b, c khác 0 nên m ≠ 0. Do đó m = BCNN(140, 180, 200) = 12600.

Vậy a = 12600 ⋮ 140 = 90;

b = 12600 ⋮ 180 = 70;

c = 12600 ⋮ 200 = 63.