Ôn tập các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông có đáp án

Do Oz là tia phân giác $\widehat{\mathrm{xOy}}$ nên $\widehat{\mathrm{AOB}}=\widehat{\mathrm{AOC}}$

Suy ra $∆$OAB = $∆$OAC (cạnh huyền - góc nhọn).

Xét tam giác vuông ABH và tam giác vuông ACH

Có AB = AC (gt)

     AH cạnh góc vuông chung

Vậy $∆$ABH = $∆$ACH (ch - cgv)

=> BH = HC (cạnh tương ứng )

Ta có: BM$\perp$AC; CN$\perp$AB

=> $\widehat{\mathrm{BNC}}={90}^0$; $\widehat{\mathrm{CMB}}={90}^0$

Xét $∆$BNC và $∆$CMB có:

$\widehat{\mathrm{BNC}}=\widehat{\mathrm{CMB}}={90}^0$ (cmt)

BC là cạnh chung

CN = BM  (gt)                              

=> $∆$ BNC = $∆$CMB (ch - cgv)

=> $\hat{\mathrm{B}}=\hat{\mathrm{C}}$ (2 góc tương ứng) => $∆$ABC cân tại A

Xét tam giác vuông AMB và tam giác vuông CPB có:

AB = AC (gt)

$\hat{\mathrm{B}}$ chung

=> $∆$AMB = $∆$CPB (ch - gn)

=> AM = CP (cạnh tương ứng) (1)

Xét tam giác vuông ANB và tam giác vuông APC có:

AB = AC (gt)

$\hat{\mathrm{A}}$ chung

=> $∆$ANB = $∆$APC (ch - gn)

=> BN = CP (cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) => AM = BN = CP

Xét tam giác vuông AMB và tam giác vuông CPB có:

AB = AC (gt)

$\hat{\mathrm{B}}$ chung

=> $∆$AMB = $∆$CPB (ch - gn)

=> AM = CP (cạnh tương ứng) (1)

Xét tam giác vuông ANB và tam giác vuông APC có:

AB = AC (gt)

$\hat{\mathrm{A}}$ chung

=> $∆$ANB = $∆$APC (ch - gn)

=> BN = CP (cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) => AM = BN = CP

Kẻ IH$\perp$BC

$∆$BID = $∆$BIH (cạnh huyền – góc nhọn) suy ra ID = IH (1)

$∆$CIE = $∆$CIH (cạnh huyền – góc nhọn) suy ra IE = IH (2)

Từ (1) và (2) suy ra ID = IE. 

$∆$IAD = $∆$IAE (cạnh huyền – cạnh góc vuông) suy ra  AD = AE

Ta có:

AB$\perp$AC (gt)

KH$\perp$AC (gt)

=> AB // HK (cùng vuông góc với AC)

Xét $∆$vuông AKH và $∆$vuông AIH có:

HK = HI (gt)

AH chung

Vậy $∆$vuông AKH = $∆$vuông AIH (cgv)

Nên AK = AI (cạnh tương ứng)

Do đó tam giác AIK cân tại A

Chứng mình tam giác AIK cân tại A

=> $\widehat{\mathrm{AIK}}=\widehat{\mathrm{AKI}}$ (góc đáy) (1)

Mà $\widehat{\mathrm{AKI}}=\widehat{\mathrm{BAK}}$ (so le trong) (2)

Từ (1) và (2) => $\widehat{\mathrm{AIK}}=\widehat{\mathrm{BAK}}$

Xét $∆$AIC và $∆$AKC có:

AK = AI (gt)

$\widehat{\mathrm{KAH}}=\widehat{\mathrm{IAH}}$

AC chung

Vậy $∆$AIC = $∆$AKC

Áp dụng định lý Pitago vào các tam giác vuông

Tam giác ABH có $\hat{\mathrm{H}}={90}^0$

$∆$AHC có $\hat{\mathrm{H}}={90}^0$ => ${\mathrm{AC}}^2={\mathrm{AH}}^2+{\mathrm{HC}}^2$

=> ${\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{CH}}^2={\mathrm{AC}}^2+{\mathrm{BH}}^2$