Giải SGK Toán 9 KNTT Bài 2. Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có đáp án
30 câu hỏi
Một mảnh vườn được đánh thành nhiều luống, mỗi luống trồng cùng một số cây cải bắp. Hãy tính số cây cải bắp được trồng trên mảnh vườn đó, biết rằng:
– Nếu tăng thêm 8 luống, nhưng mỗi luống trồng ít đi 3 cây cải bắp thì số cải bắp của cả vườn sẽ ít đi 108 cây;
– Nếu giảm đi 4 luống, nhưng mỗi luống trồng thêm 2 cây thì số cải bắp cả vườn sẽ tăng thêm 64 cây.
Sau bài học này ta giải quyết được bài toán như sau:
Gọi x là số luống trong vườn, y là số cây cải bắp trồng ở mỗi luống (x, y ∈ ℕ*).
– Nếu tăng thêm 8 luống, nhưng mỗi luống trồng ít đi 3 cây cải bắp thì số cải bắp của cả vườn sẽ ít đi 108 cây;
Số luống trong vườn sau khi tăng thêm 8 luống là x + 8 (luống).
Khi mỗi luống trồng ít đi 3 cây cải bắp thì số cây bắp cải ở mỗi luống là: y – 3 (cây).
Số cây cải bắp của cả vườn là: xy (cây).
Theo đề bài, ta có phương trình là:
(x + 8)(y – 3) = xy – 108
xy – 3x + 8y – 24 = xy – 108
3x – 8y = 84.(1)
– Nếu giảm đi 4 luống, nhưng mỗi luống trồng thêm 2 cây thì số cải bắp cả vườn sẽ tăng thêm 64 cây.
Số luống trong vườn sau khi giảm đi 4 luống là x – 4 (luống).
Khi mỗi luống trồng thêm 2 cây cải bắp thì số cây bắp cải ở mỗi luống là: y + 2 (cây).
Số cây cải bắp của cả vườn là: xy (cây).
Theo đề bài, ta có phương trình là:
(x – 4)( y + 2) = xy + 64
xy + 2x – 4y – 8 = xy + 64
2x – 4y = 72
x – 2y = 36.(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình 
.
Từ phương trình thứ hai, ta có x = 2y + 36. Thế vào phương trình thứ nhất, ta được
3(2y + 36) – 8y = 84, tức là 6y + 216 – 8y = 84, suy ra 2y = 132 hay y = 66.
Từ đó x = 2y + 36 = 2 . 66 + 36 = 168.
Số cây cải bắp được trồng trên mảnh vườn đó là: 168 . 66 = 11 088 (cây).
Vậy số cây cải bắp được trồng trên mảnh vườn đó là11 088 cây.
Cho hệ phương trình 
Giải hệ phương trình theo hướng dẫn sau:
1. Từ phương trình thứ nhất, biểu diễn y theo x rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình với một ẩn x. Giải phương trình một ẩn đó để tìm giá trị của x.
1.Từ phương trình thứ nhất ta có x = 3 – y.
2. Sử dụng giá trị tìm được của x để tìm giá trị của y rồi viết nghiệm của hệ phương trình đã cho.
2. Thế vào phương trình thứ hai, ta được
2(3 – y) – 3y = 1, tức là 6 – 2y – 3y = 1, suy ra –5y = –5 hay y = 1.
Từ đó x = 3 – 1 = 2.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (2; 1).
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
a) 
a) Từ phương trình thứ nhất ta có x = 3y + 1. Thế vào phương trình thứ hai, ta được
–2(3y + 1) + 5y = 1, tức là–6y –2 + 5y = 1, suy ra –y = 3 hay y = –3.
Từ đó x = 3 . (–3) + 1 = –8.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (–8; –3).
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
b) 
b) Từ phương trình thứ nhất ta có y = –4x – 1. Thế vào phương trình thứ hai, ta được
7x + 2(–4x – 1) = –3, tức là 7x – 8x –2 = –3, suy ra –x = –1 hay x = 1.
Từ đó y = –4 . 1 – 1 = –4 – 1 = –5.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (1; –5).
Giải hệ phương trình
bằng phương pháp thế.
Từ phương trình thứ nhất ta có y = 2x + 3. Thế vào phương trình thứ hai, ta được
4x– 2(2x + 3) = –4, suy ra 4x – 4x – 6 = –4hay 0x = 2.(1)
Do không có giá trị nào của x thỏa mãn hệ thức (1) nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Giải hệ phương trình 
bằng phương pháp thế.
Từ phương trình thứ nhất ta có
. (1)
Thế vào phương trình thứ hai, ta được
, suy ra 
hay 0x = 0.(2)
Ta thấy mọi giá trị của x đều thỏa mãn hệ thức (2).
Với mọi giá trị tùy ý của x, giá trị tương ứng của y được tính bởi (1).
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là 
với x∈ ℝ tùy ý.
Xét bài toán trong tình huống mởđầu. Gọi x là số luống trong vườn, y là số cây cải bắptrồng ở mỗi luống (x, y ∈ ℕ*).
a) Lập hệ phương trình đối với hai ẩn x, y.
b) Giải hệ phương trình nhận được ở câu a để tìm câu trả lời cho bài toán.
Gọi x là số luống trong vườn, y là số cây cải bắp trồng ở mỗi luống (x, y ∈ ℕ*).
– Nếu tăng thêm 8 luống, nhưng mỗi luống trồng ít đi 3 cây cải bắp thì số cải bắp của cả vườn sẽ ít đi 108 cây;
Số luống trong vườn sau khi tăng thêm 8 luống là x + 8 (luống).
Khi mỗi luống trồng ít đi 3 cây cải bắp thì số cây bắp cải ở mỗi luống là: y – 3 (cây).
Số cây cải bắp của cả vườn là: xy (cây).
Theo đề bài, ta có phương trình là:
(x + 8)(y – 3) = xy – 108
xy – 3x + 8y – 24 = xy – 108
3x – 8y = 84.(1)
– Nếu giảm đi 4 luống, nhưng mỗi luống trồng thêm 2 cây thì số cải bắp cả vườn sẽ tăng thêm 64 cây.
Số luống trong vườn sau khi giảm đi 4 luống là x – 4 (luống).
Khi mỗi luống trồng thêm 2 cây cải bắp thì số cây bắp cải ở mỗi luống là: y +2 (cây).
Số cây cải bắp của cả vườn là: xy (cây).
Theo đề bài, ta có phương trình là:
(x – 4)( y + 2) = xy+ 64
xy+ 2x – 4y – 8 = xy+ 64
2x – 4y = 72
x – 2y = 36.(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình 
.
Từ phương trình thứ hai, ta có x = 2y + 36. Thế vào phương trình thứ nhất, ta được
3(2y + 36) – 8y = 84, tức là 6y + 216 – 8y = 84, suy ra 2y = 132 hay y = 66.
Từ đó x = 2y + 36 = 2 . 66 + 36 = 168.
Số cây cải bắp được trồng trên mảnh vườn đó là: 168 . 66 = 11 088 (cây).
Vậy số cây cải bắp được trồng trên mảnh vườn đó là11 088 cây.
Cho hệ phương trình 
Ta thấy hệ số của y trong hai phương trình là hai số đối nhau (tổng của chúng bằng 0). Từ đặc điểm đó, hãy giải hệ phương trình đã cho theo hướng dẫn sau:
1. Cộng từng vế của hai phương trình trong hệ để được phương trình một ẩn x. Giải phương trình này để tìm x.
1. Cộng từng vế của hai phương trình trong hệ, ta được 3x = 9, suy ra x = 3.
2. Sử dụng giá trị x tìm được, thay vào một trong hai phương trình của hệ để tìm được giá trị của y rồi viết nghiệm của hệ phương trình đã cho.
2. Thế x = 3 vào phương trình thứ hai, ta được 3 – 2y = 6 hay 2y = –3, suy ra
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là 
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:
a) 
a) Cộng từng vế của hai phương trình ta được–4x + 3y + 4x – 5y = –8 hay–2y = –8, suy ra y = 4.
Thế y = 4 vào phương trình thứ nhất, ta được –4x + 3. 4 = 0 hay 4x = 12, suy ra x = 3.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (3; 4).
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:
b) 
b) Trừ từng vế của hai phương trình ta được 4x + 3y – x – 3y = –9 hay 3x = –9, suy ra x = –3.
Thế x = –3 vào phương trình thứ hai, ta được –3+3y = 9 hay 3y = 12, suy ra x = 4.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (–3; 4).
Giải hệ phương trình 
bằng phương pháp cộng đại số.
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 2 và nhân hai vế của phương trình thứ hai với 3, ta được:
Trừ từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được 23x = 0 hay x = 0.
Thế x = 0 vào phương trình thứ nhất của hệ đã cho, ta có 4 . 0 + 3y = 6, suy ra y = 2.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (0; 2).
Bằng phương pháp cộng đại số,giải hệ phương trình 
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với (–2) và chia hai vế của phương trình thứ hai cho(–2), ta được:
Trừ từng vế hai phương trình của hệ mới ta có 0x + 0y = 2. (1)
Do không có giá trị nào của x thỏa mãn hệ thức (1) nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Dùng MTCT thích hợp để tìm nghiệm của các hệ phương trình sau:
a) 
a) Ta có a1 = 2, b1 = 3, c1 = –4, a2 = –3, b2 = –7, c2 = 13.Lần lượt thực hiện các bước sau (với máy tính thích hợp):
Bước 1. Vào chức năng giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng cách bấm các phím 
(xem màn hình sau bước 1, con trỏ ở vị trí a1).
Bước 2.Nhập các số a1 = 2, b1 = 3, c1 = –4, a2 = –3, b2 = –7, c2 = 13 bằng cách bấm:
(xem màn hình sau bước 2).
Bước 3. Đọc kết quả: Sau khi kết thúc bước 2, bấm , màn hình cho 
bấm tiếp bàn phím ), màn hình cho 
(xem màn hình sau bước 3).
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là 
Dùng MTCT thích hợp để tìm nghiệm của các hệ phương trình sau:
b) 
b) Ta có a1 = 2, b1 = 3, c1 = 1, a2 = –1, b2 = –1,5, c2 = 1. Lần lượt thực hiện các bước sau (với máy tính thích hợp):
Bước 1. Vào chức năng giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng cách bấm các phím 
(xem màn hình sau bước 1, con trỏ ở vị trí a1).
Bước 2. Nhập các số a1 = 2, b1 = 3, c1 = 1, a2 = –1, b2 = –1,5, c2 = 1 bằng cách bấm:
(xem màn hình sau bước 2).
Bước 3. Đọc kết quả: Sau khi kết thúc bước 2, bấm (xem màn hình sau bước 3).
Vậy hệphương trình đã cho vô nghiệm.
Dùng MTCT thích hợp để tìm nghiệm của các hệ phương trình sau:
c) 
c) Ta đưa hệ phương trình đã cho về dạng 
.
Ta có a1 = 8, b1 = –2, c1 = 6, a2 = 4, b2 = –1, c2 = 3. Lần lượt thực hiện các bước sau (với máy tính thích hợp):
Bước 1. Vào chức năng giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng cách bấm các phím 
(xem màn hình sau bước 1, con trỏ ở vị trí a1).
Bước 2. Nhập các số a1 = 8, b1 = –2, c1 = 6, a2 = 4, b2 = –1, c2 = 3 bằng cách bấm:
(xem màn hình sau bước 2).
Bước 3. Đọc kết quả: Sau khi kết thúc bước 2, bấm (xem màn hình sau bước 3).
Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.
Thực hiện lần lượt các yêu cầu sau để tính số mililítdung dịch acidHCl nồng độ 20% và số mililít dung dịch acidHCl nồng độ 5% cần dùng để pha chế 2 lít dung dịch acidHCl nồng độ 10%.
a) Gọi x là số mililít dung dịch acidHCl nồng độ 20%, y số mililít dung dịch acidHCl nồng độ 5% cần lấy. Hãy biểu thị qua x và y:
– Thể tích của dung dịch acidHCl 10% nhận được sau khi trộn lẫn hai dung dịch acid ban đầu.
– Tổng số gamacidHCl nguyên chất có trong hai dung dịch acid này.
a)
– Thể tích của dung dịch acidHCl 10% nhận được sau khi trộn lẫn bằng tổng thể tích của dung dịch acidHCl nồng độ 20% và thể tích dung dịch acidHCl nồng độ 5%.
Theo đề bài, ta cần pha chế 2 lít (hay 2000 mililít) dung dịch acidHCl nồng độ 10%.
Do đó, thể tích của dung dịch acidHCl 10% nhận được sau khi trộn lẫn hai dung dịch acid ban đầu là: x +y=2000 (mililít).(1)
– Số gamacidHCl nồng độ 20%nguyên chất là: 20%.x = 0,2x (g).
Số gamacidHCl nồng độ 5%nguyên chất là: 5%.y = 0,05y (g).
Số gamacidHCl nồng độ 10%nguyên chất là: 2000.10%= 200 (g).
Do đó, tổng số gamacidHCl nguyên chất có trong hai dung dịch acid này là:
0,2x+0,05y=200 (g).(2)
b) Sử dụng kết quả ở câu a, hãy lập một hệ phương trình bậc nhất với hai ẩn là x, y. Giải hệ phương trình này để tính số mililít cần lấy của mỗi dung dịch acidHCl ở trên.
b) Theo kết quả ở câu a, từ (1) và (2) ta lập được hệ phương trình bậc nhất như sau:
.
Từ phương trình thứ nhất ta có y = 2000 – x. Thế vào phương trình thứ hai, ta được:
0,2x + 0,05(2000 – x) = 200, tức là 0,2x + 100 – 0,05x = 200, suy ra 0,15x = 100 hay 
Từ đó
.
Vậycó 
mililítdung dịch acidHCl nồngđộ 20% và 
mililít dung dịchacidHCl nồngđộ 5% đểphachếthành 2 lít dung dịch acidHCl nồng độ 10%.
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
a) 
a) Từ phương trình thứ nhất ta có x = y + 3. Thế vào phương trình thứ hai, ta được
3(y + 3) – 4y = 2, tức là 3y + 9– 4y = 2, suy ra –y = –7 hay y = 7.
Từ đó x = 7 + 3 = 10.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (10; 7).
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
b) 
b) Từ phương trình thứ hai ta có y = –4x + 2. Thế vào phương trình thứ nhất, ta được
7x – 3(–4x + 2) = 13, tức là 7x + 12x – 6 = 13, suy ra 19x = 19 hay x = 1.
Từ đó y = –4 . 1 + 2 = –2.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (1; –2).
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
c) 
c) Từ phương trình thứ hai ta có x = 3y – 2. Thế vào phương trình thứ nhất, ta được
0,5(3y – 2) – 1,5y = 1, tức là 1,5y – 1 – 1,5y = 1, suy ra 0y = 2.(1)
Do không có giá trị nào của y thỏa mãn hệ thức (1) nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:
a) 
a) Cộng từng vế của hai phương trình ta được 3x + 2y + 2x – 2y = 20 hay 5x = 20, suy ra x = 4.
Thế x = 4 vào phương trình thứ nhất, ta được 3 . 4 + 2y = 6 hay 2y = –6, suy ra y = –3.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (4; –3).
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:
b) 
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:
b)
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:
c) 
c) Chia hai vế của phương trình thứ nhất cho 2 và chia hai vế của phương trình thứ hai với 3, ta được:
Cộng từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được 0x + 0y = 0. Hệ thức này luôn thỏa mãn với các giá trị tùy ý của x và y.
Với giá trị tùy ý của x, giá trị của y được tính nhờ hệ thức x – 3y = –4, suy ra 
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là 
với x ∈ ℝ.
Cho hệ phương trình
trong đó m là số đã cho. Giải hệ phương trình trong mỗi trường hợp sau:
a) m = –2;
b) m = –3;
c) m = 3.
a) Với m = –2 ta có hệ phương trình 
.
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 4, ta được:
.
Cộng từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được 5y = –9 hay
Thế 
vào phương trình thứ nhất của hệ đã cho, ta có 
hay 
suy ra 
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là 
b) Với m = –3 ta có hệ phương trình 
.
Chia hai vế của phương trình thứ haicho9, ta được:
.
Cộng từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được 0x + 0y = –3.(1)
Do không có giá trị nào của xvà y thỏa mãn hệ thức (1) nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
c) Với m = 3 ta có hệ phương trình 
.
Chia hai vế của phương trình thứ hai cho9, ta được:
.
Cộng từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được 0x + 0y = –1.(1)
Do không có giá trị nào của xvà y thỏa mãn hệ thức (1) nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Dùng MTCT thích hợp để tìm nghiệm của các hệ phương trình sau:
a) 
a) Ta đưa hệ phương trình đã cho về dạng 
.
Ta có a1 = 12, b1 = –5, c1 = –24, a2 = 5, b2 = 3, c2 = –10.
Lần lượt thực hiện các bước sau (với máy tính thích hợp):
Bước 1. Vào chức năng giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng cách bấm các phím 
(xem màn hình sau bước 1, con trỏ ở vị trí a1).
Bước 2. Nhập các số a1 = 12, b1 = –5, c1 = –24, a2 = 5, b2 = 3, c2 = –10 bằng cách bấm:
(xem màn hình sau bước 2).
Bước 3. Đọc kết quả: Sau khi kết thúc bước 2, bấm , màn hình cho x = –2 bấm tiếp bàn phím ), màn hình cho y = 0 (xem màn hình sau bước 3).
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là (–2; 0).
Dùng MTCT thích hợp để tìm nghiệm của các hệ phương trình sau:
b) 
b) Ta có
.
Lần lượt thực hiện các bước sau (với máy tính thích hợp):
Bước 1. Vào chức năng giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng cách bấm các phím 
(xem màn hình sau bước 1, con trỏ ở vị trí a1).
Bước 2. Nhập các số bằng cách bấm:
(xem màn hình sau bước 2).
Bước 3. Đọc kết quả: Sau khi kết thúc bước 2, bấm (xem màn hình sau bước 3).
Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.
Dùng MTCT thích hợp để tìm nghiệm của các hệ phương trình sau:
c) 
c) Ta có 
.
Lần lượt thực hiện các bước sau (với máy tính thích hợp):
Bước 1. Vào chức năng giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng cách bấm các phím 
(xem màn hình sau bước 1, con trỏ ở vị trí a1).
Bước 2. Nhập các số bằng cách bấm:
(xem màn hình sau bước 2).
Bước 3. Đọc kết quả: Sau khi kết thúc bước 2, bấm (xem màn hình sau bước 3).
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Dùng MTCT thích hợp để tìm nghiệm của các hệ phương trình sau:
d) 
d) Ta có 
.
Lần lượt thực hiện các bước sau (với máy tính thích hợp):
Bước 1. Vào chức năng giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng cách bấm các phím 
(xem màn hình sau bước 1, con trỏ ở vị trí a1).
Bước 2. Nhập các số bằng cách bấm:
(xem màn hình sau bước 2).
Bước 3. Đọc kết quả: Sau khi kết thúc bước 2, bấm , màn hình cho 
bấm tiếp bàn phím ), màn hình cho y = –15 (xem màn hình sau bước 3).
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là 
.
