Giải SBT Toán 11 KNTT Bài 26. Khoảng cách có đáp án
9 câu hỏi
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh bằng a, SA ⊥ (ABC) và SA = 2a. Tính theo a khoảng cách:
a) Từ điểm B đến mặt phẳng (SAC).
a) Kẻ BH ⊥ AC tại H.
Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ BH mà BH ⊥ AC. Suy ra, BH ⊥ (SAC).
Vì ABC là tam giác đều cạnh a có BH là đường cao nên BH=a32.
Do đó d(B, (SAC)) = BH = a32.
b) Từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).
b) Kẻ AM ⊥ BC tại M, AK ⊥ SM tại K
Do SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ BC mà AM ⊥ BC nên BC ⊥ (SAM), suy ra BC ⊥ AK.
Vì AK ⊥ SM và BC ⊥ AK thì AK ⊥ (SBC).
Suy ra d(A, (SBC)) = AK.
Tam giác ABC đều cạnh bằng a có AM là đường cao nên AM=a32.
Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥AM.
Xét tam giác SAM vuông tại A, có 1AK2=1SA2+1AM2=14a2+43a2=1912a2. Vậy d(A, (SBC)) = ⇒AK=2a319.
c) Giữa hai đường thẳng AB và SC.
c) Dựng hình bình hành ABCD thì AB // CD nên AB // (SCD) và mặt phẳng (SCD) chứa SC nên d(AB, SC) = d(AB, (SCD)). Mà d(AB, (SCD)) = d(A, (SCD)).
Kẻ AN ⊥ DC tại N, kẻ AQ ⊥ SN tại Q
Vì ADC là tam giác đều, AN là đường cao nên AN=a32.
Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ (ABCD), suy ra SA ⊥ DC mà AN ⊥ DC nên DC ⊥ (SAN).
Vì DC ⊥ (SAN) nên DC ⊥ AQ mà AQ ⊥ SN nên AQ ⊥ (SDC).
Khi đó d(A, (SCD)) = AQ.
Xét tam giác SAN vuông tại A, có 1AQ2=1SA2+1AN2=14a2+43a2=1912a2 ,⇒AQ=2a319. Vậy d(AB, SC) = 2a319.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, góc ABC bằng 60°, biết tam giác SBC đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính theo a khoảng cách:
a) Từ điểm S đến mặt phẳng (ABC).
b) Từ điểm B đến mặt phẳng (SAC).
c) Giữa hai đường thẳng AB và SC.
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A và AB = AC = AA' = a. Tính theo a khoảng cách:
a) Từ điểm A đến đường thẳng B'C'.
a) Hạ AH ^ B'C' tại H. Khi đó d(A, B'C') = AH.
Vì ABC.A'B'C' là lăng trụ đứng nên các mặt bên là hình chữ nhật, do đó AA' = BB' = CC' = a, AB = A'B' = a; AC = A'C' = a, BC = B'C'.
Xét tam giác ABB' vuông tại B, có AB'=AB2+BB'2=a2+a2=a2.
Xét tam giác ACA' vuông tại A, có A'C=AA'2+AC2=a2+a2=a2.
Suy ra AC' = a2.
Xét tam giác ABC vuông tại A, có BC=AB2+AC2=a2+a2=a2.
Suy ra B'C' = a2.
Do đó AB' = AC' = B'C' = a2. Suy ra tam giác AB'C' đều.
Xét tam giác AB'C' đều có AH là đường cao nên AH=AB'32=a2⋅32=a62.
Vậy d(A, B'C') = a62.
b) Giữa hai đường thẳng BC và AB'.
b) Do BCC'B' là hình chữ nhật nên BC // B'C'.
Suy ra BC // (AB'C') nên d(BC, AB') = d(BC, (AB'C')) = d(C, (AB'C')).
Do ACC'A' là hình chữ nhật nên CA' cắt AC' tại trung điểm của CA' do đó
d(C, (AB'C')) = d(A', (AB'C')).
Đặt d(A', (AB'C')) = h. Áp dụng kết quả bài 7.7 trang 28 SBT Toán 11 tập 2, ta có:
1h2=1A'A2+1A'B'2+1A'C'2=1a2+1a2+1a2=3a2⇒h=a33.
Vậy d(BC, AB') = a33.
Trên một mái nhà nghiêng 30° so với mặt phẳng nằm ngang, người ta dựng một chiếc cột vuông góc với mái nhà. Hỏi chiếc cột tạo với mặt phẳng nằm ngang một góc bao nhiêu độ? Vì sao?
