Bài tập Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng, mặt phẳng lớp 11 (có lời giải)
10 câu hỏi
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), DABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng
57a3
257a19
257a3
57a12
Đáp án đúng là: B
Gọi M là trung điểm BC, H là hình chiếu vuông góc của A trên SM.
Vì DABC đều nên AM ^ BC và AM=a32.
Vì SA ^ (ABC) nên SA ^ BC mà AM ^ BC nên BC ^ (SAM) ⇒ BC ^ AH.
Lại có AH ^ SM do đó AH ^ (SBC) ⇒ d(A, (SBC)) = AH.
Xét DSAM vuông tại A, có 1AH2=1AS2+1AM2=14a2+43a2=1912a2⇒AH=2a5719.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành với BC=a2,ABC^=60°. Tam giác SAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SAB) bằng
a62
a22
a2
2a63
Đáp án đúng là: A
Dựng SH ^ AB. Do (SAB) ^ (ABCD)và (SAB) Ç (ABCD)= AB nên SH ^ (ABCD).
Dựng CK ^ AB.
Vì SH ^ (ABCD)⇒ SH ^ CK mà CK ^ AB nên CK ^ (SAB).
Do CD // AB nên d(D, (SAB)) = d(C, (SAB)) = CK.
Xét DCKB vuông tại K, có CK = BC.sin60° = a2.32=a62.
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) bằng
a62
a33
2a63
a63
Đáp án đúng là: D
Gọi M là trung điểm CD và H là hình chiếu vuông góc của A trên BM.
Vì DBCD, DACD đều nên BM ^ CD, AM ^ CD.
Do đó CD ^ (ABM) ⇒ CD ^ AH.
Vì AH ^ BM và AH ^ CD nên AH ^ (BCD).
Do đó d(A, (BCD)) = AH.
Mà ABCD là tứ diện đều nên H là trọng tâm của DBCD.
Vì DBCD, DACD đều cạnh a nên BM=AM=a32 và HM=13BM=a36
Xét DAHM vuông tại H, có AH=AM2−HM2=3a24−a212=a63.
Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau, AB = a, AC = b, AD = c. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD) bằng
11a2+1b2+1c2
1a2+1b2+1c2
a2+b2+c2
1a2+b2+c2
Đáp án đúng là: A
Kẻ AK ^ BC (K Î BC) và AH ^ DK (H Î DK)
Vì AD ^ AB, AD ^ AC nên AD ^ (ABC) ⇒ AD ^ BC.
Mà AK ^ BC. Do đó BC ^ (ADK) ⇒ BC ^ AH mà AH ^ DK nên AH ^ (BCD).
Do đó d(A, (BCD)) = AH.
Xét DABC vuông tại A có: 1AK2=1AB2+1AC2=1a2+1b2.
Xét DADK vuông tại A có: 1AH2=1AK2+1AD2=1a2+1b2+1c2.
Vậy dA,BCD=AH=11a2+1b2+1c2.
Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông cân tại A với AB = AC = 3a. Hình chiếu vuông góc của B' lên mặt đáy là điểm H thuộc BC sao cho HC = 2HB. Biết cạnh bên của lăng trụ bằng 2a. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (B'AC) bằng
2a3
a3
3a32
a2
Đáp án đúng là: B
Xét DABC vuông tại A, có BC=AB2+AC2=3a2⇒BH=a2.
Xét DB'HB vuông tại H, có B'H=BB'2−BH2=4a2−2a2=a2.
Kẻ HE ^ AC tại E, HF ^ B'E tại F.
Vì B'H ^ (ABC) ⇒ B'H ^ AC mà AC ^ HE nên AC ^ (B'HE) ⇒ AC ^ HF.
Mà HF ^ B'E nên HF ^ (B'AC).
Do đó d(H, (B'AC)) = HF.
Có HE // AB (vì cùng vuông góc với AC) nên HEAB=CHCB=23⇒HE=2a.
Xét DB'HE vuông tại H, có 1HF2=1B'H2+1HE2=12a2+14a2=34a2⇒HF=2a33.
Mặt khác dB,B'ACdH,B'AC=BCHC=32. Do đó dB,B'AC=32.HF=a3.
Cho hình chóp S.ABCD có SA ^ (ABCD), SA = 2a, ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Gọi O là tâm của ABCD, tính khoảng cách từ O đến SC.
a24
a33
a34
a23
Đáp án đúng là: B
Kẻ OH ^ SC ⇒ d(O, SC) = OH.
Xét DABC vuông tại B, có AC=AB2+BC2=a2 .
Vì ABCD là hình vuông nên O là trung điểm của AC nên OA=OC=a22 .
Xét DSAC vuông tại A, có SC=SA2+AC2=4a2+2a2=a6.
Vì DCHO đồng dạng với DCAS nên OHOC=SASC⇒OH=OC.SASC=a2.2a2a6=a33
Cho hình chóp tam giác S.ABC với SA vuông góc với (ABC) và SA = 3a. Diện tích tam giác ABC bằng 2a2, BC = a. Khoảng cách từ S đến BC bằng bao nhiêu?
2a;
4a;
3a;
5a.
Đáp án đúng là: D
Kẻ AH ^ BC tại H .
Có SΔABC=12AH.BC⇒AH=2SΔABCBC=4a2a=4a.
Vì SA ^ (ABC) ⇒ SA ^ BC mà AH ^ BC ⇒ BC ^ (SAH) ⇒ BC ^ SH.
Do đó d(S, BC) = SH.
Xét DSAH vuông tại A, có SH=SA2+AH2=9a2+16a2=5a .
Cho hình chóp A.BCD có cạnh AC ^ (BCD) và BCD là tam giác đều cạnh bằng a. Biết AC=a2 và M là trung điểm của BD. Khoảng cách từ C đến đường thẳng AM bằng
a75
a47
a611
a23
Đáp án đúng là: C
Kẻ CH ^ AM tại H. Khi đó d(C, AM) = CH.
Do DBCD đều cạnh a nên MC là đường cao và MC=a32 .
Vì AC ^ (BCD) nên AC ^ CM.
Xét DACM vuông tại C, ta có 1CH2=1AC2+1CM2=12a2+43a2=116a2⇒CH=a6611.
Cho tứ diện SABC trong đó SA, SB, SC vuông góc với nhau từng đôi một và SA = 3a, SB = a, SC = 2a. Khoảng cách từ A đến đường thẳng BC bằng:
3a22
7a55
8a33
5a66
Đáp án đúng là: B
Dựng AH ^ BC tại H ⇒ d(A, BC) = AH.
Vì SA ^ SB và SA ^ SC nên SA ^ (SBC) ⇒ SA ^ BC.
Lại có AH ^ BC nên BC ^ (SAH) ⇒ BC ^ SH.
Xét DSBC vuông tại S, có 1SH2=1SB2+1SC2=1a2+14a2=54a2⇒SH=2a55 .
Vì SA ^ (SBC) nên SA ^ SH.
Xét DASH vuông tại S, có AH=SA2+SH2=9a2+4a25=7a55 .
Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và góc hợp bởi một cạnh bên và mặt đáy bằng a. Khoảng cách từ tâm của đáy đến một cạnh bên bằng
a2cotα
a2tanα
a22cosα
a22sinα
Đáp án đúng là: D
Gọi O là tâm hình vuông ABCD.
Vì S.ABCD là hình chóp đều nên SO ^ (ABCD).
Do đó hình chiếu của SD trên mặt phẳng (ABCD) là OD. Khi đó α=SDO^.
Kẻ OH ^ SD tại H. Khi đó d(O, SD) = OH.
Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên BD=a2 mà O là trung điểm của BD nên OD=a22 .
Xét DOHD vuông tại H, có OH = OD.sina = a22.sinα
.
