10 Bài tập Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (có lời giải)
10 câu hỏi
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với đáy ABCD. Gọi K, H theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A và O lên SD. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
Đoạn vuông góc chung của AC và SD là AK;
Đoạn vuông góc chung của AC và SD là CD;
Đoạn vuông góc chung của AC và SD là OH;
Các khẳng định trên đều sai.
Đáp án đúng là: D
Vì SA ^ (ABCD) nên SA ^ AB mà AB ^ AD Þ AB ^ (SAD) Þ AB ^ AK.
Nếu AK ^ AC mà AB ^ AK Þ AK ^ (ABC) Þ AK º SA vì SA ^ (ABC).
Þ SA ^ SD ÞDSAD có hai góc vuông (vô lý). Suy ra đáp án A sai.
Vì ABCD là hình vuông AC và CD không vuông góc với nhau. Do đó đáp án B sai.
Nếu AC ^ OH mà AC ^ BD nên AC ^ (SBD) Þ AC ^ SO
ÞDSOA có hai góc vuông (vô lý).
Do đó đáp án C sai.
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tính khoảng cách giữa AB và CD.
a32
a23
a22
a33
Đáp án đúng là: C
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
Vì các DACD, DBCD đều nên AN=BN=a32.
Do đó DANB cân tại N, suy ra MN ^ AB
Chứng minh tương tự ta có MN ^ CD, nên d(AB, CD) = MN.
Vì M là trung điểm của AB nên AM=AB2=a2.
Xét DAMN vuông tại M, có MN=AN2−AM2=3a24−a24=a22 .
Cho hình chóp S.ABCD có SA ^ (ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật với AC=a5 và BC=a2. Tính khoảng cách giữa SD và BC.
3a4
2a3
a32
a3
Đáp án đúng là: D
Vì SA ^ (ABCD) Þ SA ^ CD mà CD ^ AD Þ CD ^ (SAD) Þ CD ^ SD (1).
Mặt khác BC ^ CD (2).
Từ (1), (2), ta có CD là đoạn vuông góc chung của BC và SD.
Do đó d(BC, SD) = CD = AB (do ABCD là hình chữ nhật).
Xét DABC vuông tại B, có AB=AC2−BC2=5a2−2a2=3a.
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa BB' và AC bằng:
a2
a3
a22
a33
Đáp án đúng là: C
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD nên O là trung điểm của AC, BD.
Vì ABCD là hình vuông nên AC ^ BD tại O.
Do đó BO ^ AC (1).
Mà BB' ^ (ABCD) Þ BB' ^ BO (2).
Từ (1) và (2), ta có BO là đoạn vuông góc chung của AC và BB'.
Do đó d(AC, BB') = BO.
Mà BO=12BD=12AB2+AD2=a22.
Do đó d(AC, BB') = a22.
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 1. Khoảng cách giữa AA' và BD' bằng:
33
22
225
357
Đáp án đúng là: B
Vì AA' // BB' nên AA' // (BB'D'D).
Do đó d(AA', BD') = d(AA', (BB'D'D)) = d(A, (BB'D'D)).
Gọi O là tâm hình vuông ABCD.
Vì ABCD là hình vuông nên AO ^ BD mà BB' ^ AO (do BB' ^ (ABCD)).
Suy ra AO ^ (BB'D'D).
Do đó d(A, (BB'D'D)) = AO =12AC=AB2+BC2=22.
Cho khối lập phương ABCD.A'B'C'D'. Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau AD và A'C' là:
AA';
BD;
DA';
DD'.
Đáp án đúng là: A
Vì AA' ^ (ABCD) Þ AA' ^ AD.
Vì AA' ^ (A'B'C'D') Þ AA' ^ A'C'.
Do đó AA' là đoạn vuông góc chung của AD và A'C'.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD nhận giá trị nào trong các giá trị sau?
a
a2
a3
2a
Đáp án đúng là: A
Có CD // AB Þ CD // (SAB).
Do đó d(CD, SB) = d(CD, (SAB)) = d(C, (SAB)).
Vì SA ^ (ABCD) Þ SA ^ CB mà CB ^ AB nên CB ^ (SAB).
Do đó d(C, (SAB)) = CB = a.
Cho tứ diện OABC trong đó OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau, OA = OB = OC = a. Gọi I là trung điểm BC. Khoảng cách giữa AI và OC bằng bao nhiêu?
a
a5
a32
a2
Đáp án đúng là: B
Gọi J là trung điểmOB. Kẻ OH vuông góc AJ tạiH.
Vì J là trung điểm của OB nên OJ=OB2=a2 .
Tam giác AOJ vuông tạiO, có OH là đường cao
Ta có: 1OH2=1OA2+1OJ2=1a2+4a2=5a2⇒OH=a55.
Vì I, J là trung điểm của BC và OB nên IJ là đường trung bình của DOBC.
Suy ra IJ // OC Þ OC // (AIJ)
Do đó: d(OC, AI) = d(OC, (AIJ)) = d(O, (AIJ)).
Vì IJ // OC mà OC ^ OB nên IJ ^ OB (1).
Vì OA ^ OB và OA ^ OC nên OA ^ (OBC) Þ OA ^ IJ (2).
Từ (1), (2), suy ra IJ ^ (OAB) Þ IJ ^ OH mà OH ^ AJ Þ OH ^ (AIJ).
Do đó d(O, (AIJ)) = OH = a55.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, AB = BC = a, AD = 2a, SA vuông góc với mặt đáy và SA = a. Tính khoảng cách giữa SB và CD.
a24
a2
a33
a22
Đáp án đúng là: C
Gọi H là trung điểm của AD. Khi đó AH = HD = a.
Vì BC // HD và BC = HD = a nên BCDH là hình bình hành.
Do đó CD // BH Þ CD // (SBH).
Do đó d(SB, CD) = d(CD, (SBH)) = d(D, (SBH)) = d(A, (SBH)).
Gọi h = d(A, (SBH)).
Vì SA, AH, AB đôi một vuông góc với nhau nên ta có :
1h2=1SA2+1AH2+1AB2=1a2+1a2+1a2=3a2⇒h=a33.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SA và BD.
ah3a2+h2
aha2+h2
ah2a2+h2
aha2+2h2
Đáp án đúng là: D
Gọi O = AC Ç BD. Gọi H là hình chiếu của O lên SA.
Vì S.ABCD là hình chóp đều nên SO ^ (ABCD) Þ SO ^ BD.
Mà AC ^ BD nên BD ^ (SAC) Þ BD ^ OH.
Mà OH ^ SA. Do đó OH là đoạn vuông góc chung của SA và BD.
Suy ra d(SA, BD) = OH.
Xét DABC vuông tại B, ta có AC=AB2+BC2=a2.
Lại có O là trung điểm của AC nên OA=AC2=a22.
Xét DSOA vuông tại O, có 1OH2=1SO2+1OA2=1h2+2a2=a2+2h2a2h2.
Þ OH=aha2+2h2.
