10 Bài tập Khoảng cách giữa các đường thẳng và mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song song (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Do ABCD là hình vuông tại A, D nên AB // CD ⇒ CD // (SAB).

Do đó d(DC, (SAB)) = d(D, (SAB)).

Kẻ DH ^ SA tại H.

Vì SD ^ (ABCD) nên SD ^ AB mà AB ^ AD suy ra AB ^ (SAD) ⇒ AB ^ HD.

Lại có DH ^ SA nên DH ^ (SAB). Do đó d(D, (SAB)) = DH.

Trong tam giác vuông SAD vuông tại D, ta có: 1DH2=1SD2+1AD2=12a2+14a2=34a2

Đáp án đúng là: D

Vì M và N lần lượt là trung điểm của OA và OB nên MN // AB.

Suy ra MN // (ABC). Do đó d(MN, (ABC)) = d(M, (ABC)).

Ta códM,(ABC)dO,(ABC)=AMAO=12⇒dM,(ABC)=12dO,(ABC).

Mà d(O, (ABC)) = OH = 2a3 .

Do đó d(M,(ABC))=a3.

Đáp án đúng là: B

Gọi O là tâm của hình vuông.

Vì S.ABCD là hình chóp đều nên SO ^ (ABCD) ⇒ SO ^ CD (1).

Gọi I, M lần lượt là trung điểm cạnh AB và CD⇒ IM ^ CD (2).

Từ (1) và (2), suy ra CD ^ (SIM).

Hạ IH ^ SM tại H.

Vì CD ^ (SIM) ⇒ CD ^ IH mà HI ^ SM ⇒ IH ^ (SCD).

Do đó d(AB, (SCD)) = d(I, (SCD)) = IH.

Vì DSCD đều nên SM=2a32=a3 .

Có OM=12IM=a .

Xét DSOM vuông tại O có SO=SM2−OM2=3a2−a2=a2 .

Vì  SΔSIM=12SO.IM=12IH.SM⇒IH=SO.IMSM=a2.2aa3=2a63.

Đáp án đúng là: D

Gọi O là tâm hình vuông ABCD.

Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SO ^ (ABCD) ⇒ SO ^ CD.

Kẻ OI ^ CD và OH ^ SI.

Vì SO ^ CD và OI ^ CD nên CD ^ (SOI) ⇒ CD ^ OH.

Lại có OH ^ SI nên OH ^ (SCD).

Do đó d(O, (SCD)) = OH.

Vì OI là đường trung bình DACD nên OI=AD2=a2.

Vì DSCD đều cạnh a nên SI=a32 .

Xét DSOI vuông tại O, có SO=SI2−IO2=34a2−a24=a22,

1OH2=1SO2+1OI2=2a2+4a2=6a2⇒OH=a66.

 

Vì AB // CD nên AB // (SCD). Do đó d(AB, (SCD)) = d(A, (SCD)).

Mà dA,(SCD)dO,(SCD)=CACO=2⇒dA,(SCD)=2dO,(SCD).

Do đó dA,(SCD)=a63.

Đáp án đúng là: C

Gọi O là giao điểm của AC, BD. Khi đó O là trung điểm của AC, BD.

Vì O, M lần lượt là trung điểm của BD, SD nên OM là đường trung bình của DSBD.

Suy ra OM // SB Þ SB // (AMC) (1).

Qua B, kẻ Bx // AC và qua A kẻ AE vuông góc với Bx tại E. Suy ra BE // (AMC) (2).

Từ (1) và (2), suy ra (SBE) // (AMC).

Kẻ AH ^ SE (3).

Vì AE ^ EB mà SA ^ EB (do SA ^ (ABCD)) Þ EB ^ (SAE) Þ EB ^ AH (4).

Từ (3), (4) Þ AH ^ (SEB).

Ta có d(SB, (ACM)) = d((SBE), (ACM)) = d(A, (SBE)) = AH.

Xét DABD vuông tại A, có BD=AB2+AD2=a2⇒BO=a22 .

Ta có AE=BO=a22.

Xét DSAE vuông tại A, có 1AH2=1SA2+1AE2=14a2+2a2=94a2⇒AH=2a3 .

Đáp án đúng là: D

Xét DADC có M, N lần lượt là trung điểm của AD, DC nên MN là đường trung bình của DADC ⇒ MN //AC. Do đó MN // (ACC') (1).

Tương tự MP // AA' ⇒ MP // (ACC') (2).

Từ (1) và (2), suy ra (MNP) // (ACC').

Gọi O = AC Ç BD, I = MN Ç BD.

Vì OI ^ AC và OI ^ CC' (do CC' ^ (ABCD)) Þ OI ^ (ACC')

Suy ra d(MNP),(ACC')=OI=14AC=a24.

Đáp án đúng là: A

Vì ∆ABC đều và AA' = A'B = A'C Þ A'.ABC là hình chóp đều.

Gọi A'H là chiều cao của lăng trụ, suy ra H là trọng tâm DABC.

Khi đó AH là hình chiếu của AA' trên mặt phẳng ABC Þ A'AH^=60°.

Vì (ABC) // (A'B'C') nên d((ABC), (A'B'C')) = A'H.

Xét DAA'H vuông tại H, có A'H=AH.tan60°=a333=a .

Đáp án đúng là: A

Gọi H là trung điểm của BC. Khi đó A'H ^ (ABC).

Do đó AH là hình chiếu của AA' trên mặt phẳng (ABC) Þ A'AH^=60°.

Vì (ABC) // (ABC) nên d((ABC), (A'B'C')) = A'H.

Xét DA'AH vuông tại H, có A'H=A'A.sin60°=a32.

Đáp án đúng là: B

Kẻ DO ^ AC tại O (1).

Mà DD' ^ (ABCD) Þ DD' ^ AC (2).

Từ (1) và (2) Þ AC ^ (DD'O) Þ AC ^ D'O.

Do đó góc giữa hai mặt phẳng (ACD') và mặt phẳng (ABCD) chính là D'OD^=60° .

Xét DADC vuông tại D, có 1DO2=1AD2+1DC2=132+142=25144⇒DO=125.

Vì (ABCD) // (A'B'C'D') nên d((ABCD), (A'B'C'D')) = DD'.

Xét DD'DO vuông tại D, ta có: DD'=DO.tan60°=1235 .

Đáp án đúng là: C

Vì (ACB') // (DA'C') nên ta có: d((ACB'), (DA'C')) = d(D, (ACB')) = d(B, (ACB')).

Vì BA = BC = BB' = a và AB' = B'C = AC =  nên hình chóp B. ACB' là hình chóp đều.

Gọi I là trung điểm AC, G là trọng tâm tam giác ACB'.

Khi đó d(B, (ACB')) = BG.

Vì tam giác ACB' đều nên B'I=a2.32=a62.

Theo tính chất trọng tâm ta có: B'G=23B'I=a63.

Trong tam giác vuông BGB' có: BG=BB'2−B'G2=a2−6a29=a33.