Giải SBT Toán 10 Bài 1. Toạ độ của vectơ có đáp án
25 câu hỏi
Cho hai vectơ a→=1;2,b→=3;0
a) Tìm toạ độ của vectơ 2a→+3b→.
a) Ta có 2a→=(2;4); 3b→=(9;0);
Vậy 2a→+3b→=(2+9;4+0)=(11;4).
b) Tính các tích vô hướng: a→.b→,3a→.2b→.
b) Ta có:
a→.b→=1.3+2.0=3
Ta lại có:3a→=(3;6);2b→=(6;0)
Vậy tích vô hướng của 3a→.2b→=3.6+6.0=18.
Cho ba vectơ m→=1;1,n→=2;2,p→=−1;−1. Tìm toạ độ của các vectơ:
a) m→+2n→−3p→
a) m→+2n→−3p→
Ta có 2n→=(4;4);3p→=(−3;−3)
Vậy m→+2n→−3p→ = (1 + 4 – (– 3); 1 + 4 – (– 3))= (8; 8)
Cho tam giác MNP có toạ độ các đỉnh là M(3; 3), N(7; 3) và P(3; 7).
a) Tìm toạ độ trung điểm E của cạnh MN.
a) Gọi E(xE; yE) là trung điểm của MN
Ta có xE=xM+xN2=3+72=5yE=yM+yN2=3+32=3
Vậy E(5; 3).
b) Tim toạ độ trọng tâm G của tam giác MNP.
b) Gọi G(xG; yG) là trọng tâm của tam giác MNP
Ta có xG=xM+xN+xP3=3+7+33=133yG=yM+yN+yP3=3+3+73=133
Vậy G133;133.
Cho tam giác ABC có toạ độ các đỉnh là A(1; 3), B(3; 1) và C(6; 4).
a) Tính độ đài ba cạnh của tam giác ABC và số đo của góc B.
a) + Độ dài các cạnh của tam giác ABC
AB→=(2;−2)⇒AB→=22+(−2)2=22
Suy ra AB = 22.
BC→=(3;3)⇒BC→=32+32=32
Suy ra AB = 32.
AC→=(5;1)⇒BC→=52+12=26
Suy ra AC = 26.
+ Tính số đo góc B
Ta có BA→=(−2;2);BC→=(3;3)⇒BA→.BC→=−2.3+2.3=0
BA→.BC→=BA.BC.cosBA→,BC→⇔cosBA→,BC→=BA→.BC→BA.BC=−2.3+2.3(−2)2+22.32+32=0
⇒BA→,BC→=90o
Mà B^=BA→,BC→ = 90o.
b) Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
b) Gọi I(x; y) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:
AI→=(x−1;y−3);BI→=(x−3;y−1);CI→=(x−6;y−4)
Suy ra AI2=BI2AI2=CI2
⇔(x-1)2+(y-3)2=(x-3)3+(y-1)2(x-1)2+(y-3)2= (x-6)2+(y-4)2
⇔x2−2x+1+y2−6y+9=x2−6x+9+y2−2y+1x2−2x+1+y2−6y+9=x2−12x+36+y2−8y+16
⇔4x−4y=010x+2y=42⇔x=72y=72
Vậy I72;72 .
Cho năm điểm A(2 ; 0), B(0; – 2), C(3; 3), D(– 2; – 2), E(1; – 1). Trong các điểm đã cho, hãy tìm điểm:
a) Thuộc trục hoành;
a) Điểm thuộc trục hoành là điểm có tung độ bằng 0. Do đó các điểm thuộc trục hoành là: A(2; 0).
b) Thuộc trục tung;
b) Điểm thuộc trục hoành là điểm có hoành độ bằng 0. Do đó các điểm thuộc trục tung là: B(0; – 2).
Cho năm điểm A(2; 0), B(0; – 2), C(3; 3), D(– 2; –2), E(1; –1). Trong các điểm đã cho, hãy tìm điểm:
a) Thuộc trục hoành
b) Thuộc trục tung
c) Thuộc đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.
c) Điểm thuộc đường phân giác của góc phần tư thứ nhất có hoành độ bằng tung độ. Do đó các điểm thuộc đường phân giác của góc phần tư thứ nhất là: C(3; 3); D(– 2; – 2).
Cho điểm M(4; 5). Tìm toạ độ:
a) Điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Ox;
a) Gọi H(a; 0) (a ≠ 0) là hình chiếu vuông góc của M trên trục Ox
Ta có OH→.MH→=0
Mà OH→=(a;0);MH→=(a−4;−5)
OH→.MH→=a.(a−4)+0.(−5)=a2−4a=0⇔a=0a=4
Do đó chỉ có a = 4 là thỏa mãn điều kiện.
Vậy H(4; 0) là hình chiếu vuông góc của M trên trục Ox.
b) Điểm M’ đối xứng với M qua trục Ox;
b) Ta có điểm M’(x’; y’) đối xứng với điểm M(x; y) qua trục Ox ⇒x=x'y=−y'
Vậy M’(4; – 5) là điểm đối xứng với M qua trục Ox.
c) Điểm K là hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Oy;
c) Gọi K(0; b) (b ≠ 0) là hình chiếu vuông góc của M trên trục Oy.
Ta có OK→.MK→=0
Mà OK→=(0;b);MK→=(−4;b−5)
OK→.MK→=0.(−4)+b.(b−5)=b2−5b=0⇔b=0b=5
Do đó chỉ có b = 5 là thỏa mãn điều kiện.
Vậy K(0; 5) là hình chiếu vuông góc của M trên trục Oy.
d) Điểm M’’ đối xứng với M qua trục Oy;
d) Ta có điểm M”(x”; y”) đối xứng với điểm M(x; y) qua trục Oy ⇒x=−x"y=y"
Vậy M”(– 4; 5) là điểm đối xứng với M qua trục Oy.
e) Điểm C đối xứng với M qua gốc O.
e) Gọi C(x; y) là điểm đối xứng với M qua gốc toạ độ O
Suy ra O là trung điểm của MC.
Ta có x+42=0y+52=0⇔x=−4y=−5
Vậy C(– 4; – 5).
Cho ba điểm A(1; 1), B(2; 4), C(4; 4).
a) Tìm toạ độ điểm D sao cho ABCD là một hình bình hành.
a)
Giả sử D(x; y)
Ta có AB→=(1;3);DC→=(4−x;4−y)
Để ABCD là hình bình hành thì AB→=DC→⇔4−x=14−y=3⇔x=3y=1
Vậy D(3; 1).
b) Tìm toạ độ giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD.
b) Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD
Vậy I là trung điểm của AC và BD theo tính chất hình hành
Ta có xI=xA+xC2=1+42=52yI=yA+yC2=1+42=52
Vậy I52;52.
Cho tam giác ABC có toạ độ các đỉnh là A(1; 1), B(7; 3), C(4; 7) và cho các điểm M(2; 3), N(3; 5).
a) Chứng minh bốn điểm A, M, N, C thẳng hàng.
a) Ta có AM→=(1;2);AN→=(2;4) suy ra AN→=2AM→. Do đó 3 điểm A, M, N thẳng hàng
Ta có AM→=(1;2);AC→=(3;6) suy ra AC→=3AM→. Do đó 3 điểm A, M, C thẳng hàng
Vì 3 điểm A, M, N thẳng hàng nên N thuộc đường thẳng AM; 3 điểm A, M, C thẳng hàng nên C thuộc đường thẳng AM.
Vậy 4 điểm A, M, N, C thẳng hàng.
b) Chứng minh trọng tâm của các tam giác ABC và MNB trùng nhau.
b) Goi G(x; y) là trọng tâm tam giác ABC
Ta có x=xA+xB+xC3=1+7+43=4y=yA+yB+yC3=1+3+73=113
Suy ra G 4;113 .
Goi G’(x’; y’) là trọng tâm tam giác MNB
Ta có x'=xM+xN+xB3=2+3+73=4y'=yM+yN+yB3=3+5+33=113
Suy ra G’4;113.
Do đó điểm G trùng G’.
Vậy trọng tâm tam giác ABC và MNB trùng nhau.
Cho bốn điểm M(6; – 4), N(7; 3), P(0; 4), Q(– 1; -3). Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình vuông.
Ta có MN→=(1;7);QP→=(1;7)⇒MN→=QP→ nên hai véc tơ cùng phương suy ra MN song song với PQ và MN = QP (1)
Ta có MQ→=(−7;1);NP→=(−7;1)⇒MQ→=NP→ nên hai véc tơ cùng phương suy ra MQ song song với NP và MQ = NP (2)
Mà MN→=NP→=PQ→=MQ→=50 vậy MN = NP = PQ = MQ (3)
Từ (1); (2); (3) suy ra tứ giác MNPQ là hình thoi (4)
Ta có MN→.NP→=1.(−7)+7.1=0⇒MN→⊥NP→ vậy MN ⊥ NP.
Tứ giác MNPQ là hình thoi và có 1 góc vuông nên tứ giác MNPQ là hình vuông.
Tính góc giữa hai vectơ a→ và b→ trong các trường hợp sau:
a) a→=1;−4,b→=5;3
a) Ta có cosa→,b→=a→.b→a→.b→=1.5+(−4).312+(−4)2.52+32=−7234
Vậy a→,b→=106o56'.
b) a→=4;3,b→=6;0
b) Ta có cosa→,b→=a→.b→a→.b→=4.6+3.042+32.62+02=45
Vậy a→,b→=36o52'.
c) a→=2;23,b→=−3;3
c) Ta có cosa→,b→=a→.b→a→.b→=2.(−3)+23.322+(23)2.(−3)2+32=0.
Vậy a→,b→=90o.
Cho điểm A(1; 4). Gọi B là điểm đối xứng với điểm A qua gốc toạ độ O. Tìm toạ độ của điểm C có tung độ bằng 3, sao cho tam giác ABC vuông tại C.
Vì B là điểm đối xứng với A qua gốc toạ độ nên B(– 1; – 4)
Giả sử C(x; 3) ⇒CA→(1−x;1); CB→(−1−x;−7).
Vì tam giác ABC vuông tại C nên ta có CA→.CB→=0.
⇒(1−x).(−1−x)+1.(−7)=0⇔x2−8=0⇔x=22x=−22
Vậy C22;3 hoặc C-22;3.
Cho vectơ a→= (2; 2). Hãy tìm toạ độ một vectơ đơn vị e→ cùng hướng với vectơ a→.
Ta có a→=22+22=22
Đặt e→=1a→a→=22;22
Ta có vectơ e→ là vectơ đơn vị cùng hướng với a→.
