20 câu trắc nghiệm Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 1. Tọa độ của vectơ (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án
20 câu hỏi
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho điểm \(M\left( {1;3} \right)\). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {OM} \) là
\(\overrightarrow {OM} = \left( { - 1;3} \right)\).
\(\overrightarrow {OM} = \left( { - 1; - 3} \right)\).
\(\overrightarrow {OM} = \left( {1; - 3} \right)\).
\(\overrightarrow {OM} = \left( {1;3} \right)\).
\(\overrightarrow {OM} = \left( {1;3} \right)\). Chọn D.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho vectơ \(\overrightarrow a = - 2\overrightarrow j \). Khi đó tọa độ vectơ \(\overrightarrow a \) là
\(\overrightarrow a = \left( { - 2;0} \right)\).
\(\overrightarrow a = \left( {0; - 2} \right)\).
\(\overrightarrow a = \left( { - 2; - 2} \right)\).
\(\overrightarrow a = \left( {2;0} \right)\).
\(\overrightarrow a = - 2\overrightarrow j \)\( \Rightarrow \overrightarrow a = \left( {0; - 2} \right)\). Chọn B.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho \(A\left( {5;2} \right),B\left( {10;8} \right)\). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} \) bằng
\(\left( { - 50;16} \right)\).
\(\left( {5;10} \right)\).
\(\left( { - 5; - 6} \right)\).
\(\left( {5;6} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {10 - 5;8 - 2} \right) = \left( {5;6} \right)\). Chọn D.
Cho \(\overrightarrow a = \left( { - 4;1} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( { - 3; - 2} \right)\). Tọa độ \(\overrightarrow c = \overrightarrow a + 2\overrightarrow b \) là
\(\overrightarrow c = \left( {12; - 2} \right)\).
\(\overrightarrow c = \left( { - 10; - 3} \right)\).
\(\overrightarrow c = \left( { - 1;3} \right)\).
\(\overrightarrow c = \left( {1; - 3} \right)\).
\(\overrightarrow c = \overrightarrow a + 2\overrightarrow b = \left( { - 4 + 2 \cdot \left( { - 3} \right);1 + 2 \cdot \left( { - 2} \right)} \right) = \left( { - 10; - 3} \right)\). Chọn B.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho \(ABCD\) là hình bình hành biết \(B\left( {1;3} \right),D\left( { - 3;5} \right)\). Tọa độ tâm \(O\) của hình bình hành là
\(O\left( { - 2;1} \right)\).
\(O\left( { - 1;4} \right)\).
\(O\left( { - 2;8} \right)\).
\(O\left( { - 4;2} \right)\).
Do \(ABCD\) là hình bình hành nên \(O\) là trung điểm của \(BD\).
Do đó \(O\left( { - 1;4} \right)\). Chọn B.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho \(\overrightarrow a = \left( {1; - 2} \right),\overrightarrow b = \left( { - 2; - 6} \right)\). Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) bằng
\(45^\circ \).
\(135^\circ \).
\(60^\circ \).
\(30^\circ \).
Ta có \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|}}\)\( = \frac{{1 \cdot \left( { - 2} \right) + \left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 6} \right)}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 45^\circ \). Chọn A.
Cho \(\overrightarrow a = \left( {x - 4;3} \right),\overrightarrow b = \left( { - 2;y + 1} \right)\). Giá trị của \(x\) và \(y\) để \(\overrightarrow a = \overrightarrow b \) là
\(x = 6;y = 2\).
\(x = 2;y = - 2\).
\(x = - 2;y = 2\).
\(x = 2;y = 2\).
Để \(\overrightarrow a = \overrightarrow b \) thì \(\left\{ \begin{array}{l}x - 4 = - 2\\y + 1 = 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 2\end{array} \right.\). Chọn D.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), biết \(\overrightarrow u = 7\overrightarrow i - 2\overrightarrow j \). Độ dài vectơ \(\overrightarrow u \) là
\(\sqrt {53} \).
\(3\sqrt 5 \).
\(\sqrt 5 \).
\(3\).
\(\overrightarrow u = 7\overrightarrow i - 2\overrightarrow j \)\( \Rightarrow \overrightarrow u = \left( {7; - 2} \right)\). Khi đó \(\left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{7^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = \sqrt {53} \). Chọn A.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho ba điểm \(A\left( {2;1} \right),B\left( {2;5} \right),C\left( { - 3;2} \right)\). Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} .\)
\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 4\).
\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = - 1\).
\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = - 4\).
\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = - 26\).
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {0;4} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 5;1} \right)\).
Khi đó \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 0 \cdot \left( { - 5} \right) + 4 \cdot 1 = 4\). Chọn A.
Cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {2;3} \right),B\left( {1; - 3} \right),C\left( {0;6} \right)\), \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\). Khi đó:
\(\overrightarrow {AG} = \left( { - 1; - 1} \right)\).
\(\overrightarrow {AG} = \left( {1;2} \right)\).
\(\overrightarrow {AG} = \left( { - 1;2} \right)\).
\(\overrightarrow {AG} = \left( {1;3} \right)\).
Vì \(G\)là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(G\left( {1;2} \right)\).
Khi đó \(\overrightarrow {AG} = \left( { - 1; - 1} \right)\). Chọn A.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A\left( {1; - 2} \right),B\left( { - 3; - 1} \right)\).
\(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow i - 2\overrightarrow j \).
\(\overrightarrow {AB} = \left( { - 4;1} \right)\).
Tọa độ của điểm \(C\) sao cho \(OABC\) là hình bình hành là \(C\left( {4;1} \right)\).
Tọa độ trung điểm \(I\) của đoạn thẳng \(AB\) là \(I\left( { - 1; - \frac{3}{2}} \right)\).
a) \(A\left( {1; - 2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OA} = \overrightarrow i - 2\overrightarrow j \).
b) \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 4;1} \right)\).
c) Gọi \(C\left( {x;y} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {OA} = \left( {1; - 2} \right),\overrightarrow {CB} = \left( { - 3 - x; - 1 - y} \right)\).
Để \(OABC\) là hình bình hành thì \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {CB} \)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 - x = 1\\ - 1 - y = - 2\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 4\\y = 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow C\left( { - 4;1} \right)\).
d) Tọa độ trung điểm \(I\) của đoạn thẳng \(AB\) là\(I\left( {\frac{{1 - 3}}{2};\frac{{ - 2 - 1}}{2}} \right)\) hay\(I\left( { - 1; - \frac{3}{2}} \right)\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho điểm \(A\left( {1;3} \right),B\left( {1;6} \right),C\left( {4;3} \right)\), điểm \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) và \(D\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG} \).
\(G\left( {6;12} \right)\).
\(D\left( {4;6} \right)\).
Tứ giác \(ABDC\) là hình vuông.
\(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} = 0\).
a) \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(G\left( {\frac{{1 + 1 + 4}}{3};\frac{{3 + 6 + 3}}{3}} \right)\) hay \(G\left( {2;4} \right)\).
b) Gọi \(D\left( {x;y} \right)\). Khi đó \(\overrightarrow {AD} = \left( {x - 1;y - 3} \right),\overrightarrow {AG} = \left( {1;1} \right)\).
Vì \(\overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG} \) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 3\\y - 3 = 3\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 6\end{array} \right. \Rightarrow D\left( {4;6} \right)\).
c) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {0;3} \right);\overrightarrow {BD} = \left( {3;0} \right);\overrightarrow {DC} = \left( {0; - 3} \right);\overrightarrow {AC} = \left( {3;0} \right)\).
Có \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {BD} } \right| = \left| {\overrightarrow {DC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = 3\). Do đó \(ABDC\) là hình thoi (1).
Lại có \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 0 \cdot 3 + 3 \cdot 0 = 0\)\( \Rightarrow AB \bot AC\) (2).
Từ (1) và (2), suy ra \(ABDC\) là hình vuông.
d) \(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} = 3 \cdot 3 + 0 \cdot 0 = 9\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho ba điểm \(A\left( {4;1} \right);B\left( {2; - 3} \right);C\left( {8;9} \right)\).
Tọa độ của vectơ \(3\overrightarrow {AB} \) là \(\left( {6;12} \right)\).
Vectơ \(\overrightarrow {BA} \) cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow {BC} \).
\(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {CB} = 120\).
Gọi \(D\) là điểm thỏa mãn \(30\overrightarrow {OD} + 19\overrightarrow {DB} - 3\overrightarrow {DC} = \overrightarrow 0 \). Khi đó \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BD} } \right) = 45^\circ \).
a) Có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 4} \right) \Rightarrow 3\overrightarrow {AB} = \left( { - 6; - 12} \right)\).
b) Có \(\overrightarrow {BA} = \left( {2;4} \right);\overrightarrow {BC} = \left( {6;12} \right) = 3\left( {2;4} \right) = 3\overrightarrow {BA} \).
Do đó vectơ \(\overrightarrow {BA} \) cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow {BC} \).
c) Có \(\overrightarrow {AC} = \left( {4;8} \right),\overrightarrow {CB} = \left( { - 6; - 12} \right)\).
Khi đó \(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {CB} = 4 \cdot \left( { - 6} \right) + 8 \cdot \left( { - 12} \right) = - 120\).
d) Gọi \(D\left( {x;y} \right)\). Khi đó \(\overrightarrow {OD} = \left( {x;y} \right),\overrightarrow {DB} = \left( {2 - x; - 3 - y} \right),\overrightarrow {DC} = \left( {8 - x;9 - y} \right)\).
Suy ra
\(30\overrightarrow {OD} + 19\overrightarrow {DB} - 3\overrightarrow {DC} = \left( {30x + 19\left( {2 - x} \right) - 3\left( {8 - x} \right);30y + 19\left( { - 3 - y} \right) - 3\left( {9 - y} \right)} \right) = \left( {14x + 14;14y - 84} \right)\).
Mà \(30\overrightarrow {OD} + 19\overrightarrow {DB} - 3\overrightarrow {DC} = \overrightarrow 0 \) nên \(\left\{ \begin{array}{l}14x + 14 = 0\\14y - 84 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 6\end{array} \right.\)\( \Rightarrow D\left( { - 1;6} \right)\).
Có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 4} \right);\overrightarrow {BD} = \left( { - 3;9} \right)\).
Có \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BD} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BD} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BD} } \right|}}\)\( = \frac{{\left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 3} \right) + \left( { - 4} \right) \cdot 9}}{{\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {9^2}} }} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BD} } \right) = 135^\circ \).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho ba điểm \(A\left( { - 2; - 1} \right),B\left( {1;3} \right),C\left( {2; - 3} \right)\).
Điểm \(I\left( {0; - 2} \right)\) là trung điểm của \(AC\).
\(A,B,C\) là ba đỉnh của một tam giác.
Tọa độ điểm \(C'\left( { - 2; - 3} \right)\) đối xứng với điểm \(C\) qua trục \(Oy\).
Điển \(N\) thuộc \(Oy\) sao cho \(BN + CN\) bé nhất có tung độ bằng 1.
a) Điểm \(I\) là trung điểm của \(AC\) nên \(I\left( {0; - 2} \right)\).
b) Có \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;4} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {4; - 2} \right)\).
Vì \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) không cùng phương nên \(A,B,C\) là ba đỉnh của một tam giác.
c) Tọa độ điểm \(C'\left( { - 2; - 3} \right)\) đối xứng với điểm \(C\) qua trục \(Oy\).
d) Dễ thấy \(B,C\) nằm cùng phía với trục \(Oy\).
Gọi \(C'\left( { - 2; - 3} \right)\) đối xứng với điểm \(C\) qua trục \(Oy\).
Khi đó \(CN = C'N\).
Do đó \(BN + CN = BN + C'N \ge BC'\).
Để \(BN + CN\) bé nhất thì \(N\) là giao điểm của \(BC'\) với \(Oy\) hay \(B,N,C'\) thẳng hàng
Vì \(N \in Oy \Rightarrow N\left( {0;b} \right)\).
Có \(\overrightarrow {NB} = \left( {1;3 - b} \right);\overrightarrow {C'B} = \left( {3;6} \right)\).
Để \(B,N,C'\) thẳng hàng thì \(\overrightarrow {NB} \) và \(\overrightarrow {C'B} \) cùng phương hay \(\frac{1}{3} = \frac{{3 - b}}{6} \Rightarrow b = 1\).
Vậy điểm \(N\) có tung độ là 1.
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(\overrightarrow {OA} = 4\overrightarrow i + \overrightarrow j \), \(B\left( {2;4} \right),C\left( {2; - 2} \right)\).
\(A\left( {4;1} \right)\).
Tọa độ \(\overrightarrow {BC} = \left( {0;6} \right)\).
\(BC = 6\).
Tam giác \(ABC\) cân tại \(B\).
a) \(\overrightarrow {OA} = 4\overrightarrow i + \overrightarrow j \Rightarrow A\left( {4;1} \right)\).
b) \(\overrightarrow {BC} = \left( {0; - 6} \right)\).
c) \(BC = \sqrt {{0^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} = 6\).
d) Có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;3} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {3^2}} = \sqrt {13} \).
Do \(AB \ne BC\) nên tam giác \(ABC\) không cân tại \(B\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A\left( {1;3} \right),B\left( {2; - 4} \right)\). Gọi \(N\left( {x;y} \right)\) sao cho \(\overrightarrow {NA} = - 3\overrightarrow {BN} \). Tính \(x - y\).
Có \(\overrightarrow {NA} = \left( {1 - x;3 - y} \right);\overrightarrow {BN} = \left( {x - 2;y + 4} \right)\).
Vì \(\overrightarrow {NA} = - 3\overrightarrow {BN} \) nên \(\left\{ \begin{array}{l}1 - x = - 3\left( {x - 2} \right)\\3 - y = - 3\left( {y + 4} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{5}{2}\\y = - \frac{{15}}{2}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow x - y = \frac{5}{2} - \left( { - \frac{{15}}{2}} \right) = 10\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hình thang \(ABCD\) có hai đáy \(AB\) và \(CD\), \(CD = 2AB\). Biết \(C\left( {4;7} \right),D\left( {2;6} \right)\) và điểm \(E\left( {8;3} \right)\) là giao điểm của hai đường chéo hình thang. Tọa độ điểm \(A\left( {a;b} \right)\) với \(a,b \in \mathbb{N}\). Tính giá trị của biểu thức \(T = {a^2} + {b^2}\).
Do \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AB//CD\)\( \Rightarrow \frac{{EA}}{{EC}} = \frac{{AB}}{{DC}} = \frac{1}{2}\).
Gọi \(A\left( {a;b} \right)\). Khi đó \(\overrightarrow {EA} = \left( {a - 8;b - 3} \right),\overrightarrow {EC} = \left( { - 4;4} \right)\).
Lại có \(\overrightarrow {EA} ,\overrightarrow {EC} \) ngược hướng nên \(\overrightarrow {EA} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {EC} \)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 8 = 2\\b - 3 = - 2\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 10\\b = 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow A\left( {10;1} \right)\).
Suy ra \(T = {10^2} + {1^2} = 101\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) với \(A\left( {1;1} \right),B\left( { - 2;3} \right),C\left( { - 1; - 5} \right)\). Biết \(B\) là trọng tâm của tam giác \(ACD\) với \(D\left( {a;b} \right)\). Giá trị của \(a + 2b\) bằng bao nhiêu?
Do \(B\) là trọng tâm của tam giác \(ACD\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{1 - 1 + a}}{3} = - 2\\\frac{{1 - 5 + b}}{3} = 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 6\\b = 13\end{array} \right. \Rightarrow D\left( { - 6;13} \right)\).
Vậy \(a + 2b = - 6 + 2 \cdot 13 = 20\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho điểm \(E\left( {a;a - b} \right);A\left( { - 3;4} \right);B\left( {7; - 1} \right)\) thỏa mãn \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BE} = 2025\). Tính \(a + b\).
Có \(\overrightarrow {AB} = \left( {10; - 5} \right),\overrightarrow {BE} = \left( {a - 7;a - b + 1} \right)\).
Vì \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BE} = 2025\) nên \(10\left( {a - 7} \right) - 5\left( {a - b + 1} \right) = 2025\)\( \Rightarrow 5a + 5b = 2025 + 75\)\( \Rightarrow a + b = 420\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) biết \(A\left( {2; - 1} \right),B\left( {4;8} \right),C\left( { - 3;5} \right)\). Điểm \(D\left( {x;y} \right)\) sao cho tứ giác \(ABCD\) là hình thang có đáy \(AD\) và diện tích hình thang \(ABCD\) bằng 3 lần diện tích tam giác \(ABD\). Tính \(x - y\).
Ta có \({S_{ABCD}} = 3{S_{ABD}} \Rightarrow {S_{BDC}} = 2{S_{ABD}}\)\( \Rightarrow \frac{{BC}}{{AD}} = 2\).
Gọi \(D\left( {x;y} \right)\). Khi đó \(\overrightarrow {AD} = \left( {x - 2;y + 1} \right),\overrightarrow {BC} = \left( { - 7; - 3} \right)\).
Lại có \(ABCD\) là hình thang nên \(\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {BC} \) cùng hướng.
Do đó \(\overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow {AD} \)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left( {x - 2} \right) = - 7\\2\left( {y + 1} \right) = - 3\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{3}{2}\\y = - \frac{5}{2}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow x - y = - \frac{3}{2} - \left( { - \frac{5}{2}} \right) = 1\).
