(Đúng sai) 6 bài tập Nguyên hàm (có lời giải)
24 câu hỏi
Cho \[f\left( x \right)\] là hàm số liên tục trên R
\[\int {f\left( x \right)dx = f'\left( x \right) + C.} \]
Sai
Do định nghĩa của nguyên hàm ta có kết quả trên.
\[\int {f'\left( x \right)dx = f\left( x \right) + C.} \]
Đúng
Do định nghĩa của nguyên hàm ta có kết quả trên.
\[\int {f'\left( x \right)dx = f\left( x \right).} \]
Sai
Do định nghĩa của nguyên hàm ta có kết quả trên.
\[\int {f''\left( x \right)dx = f'\left( x \right) + C.} \]
Đúng
Do định nghĩa của nguyên hàm ta có kết quả trên.
Giả sử \[v\left( t \right)\] là phương trình vận tốc của một vật chuyển động theo thời gian \[t\] (giây), \[a(t)\] là phương trình gia tốc của vật đó chuyển động theo thời gian \[t\] (giây).
\[\int {a\left( t \right)dt = v\left( t \right) + C.} \]
Đúng
Do nguyên hàm của hàm gia tốc là hàm vận tốc. Suy ra đúng.
\[\int {v\left( t \right)dt = a\left( t \right) + C.} \]
Sai
Do nguyên hàm của hàm vận tốc là hàm quãng đường. Suy ra sai.
Giả sử \[v\left( t \right)\] là phương trình vận tốc của một vật chuyển động theo thời gian \[t\] (giây), \[a(t)\] là phương trình gia tốc của vật đó chuyển động theo thời gian \[t\] (giây).
Sai
Do \[\int {v'\left( t \right)dt = v\left( t \right) + C.} \] Suy ra sai
\[\int {v'\left( t \right)dt = v\left( t \right) + C.} \]
Đúng
Do định nghĩa nguyên hàm. Suy ra đúng.
Giả sử \(s(t)\)là phương trình quãng đường chuyển động của một vật theo thời gian \(t\) (giây) và \(v(t)\)là phương trình vận tốc của chuyển động đó theo thời gian \(t\) (giây).
\(\int s (t){\rm{dt}} = v(t) + C\).
Sai
Vì \(s(t)\), \(v(t)\) lần lượt là phương trình quãng đường và phương trình vận tốc của chuyển động đó theo thời gian \(t\) (giây) nên ta có \(s'(t) = v(t)\) và \(\int v (t){\rm{dt}} = s(t) + C\).
\(\int s (t){\rm{dt}} = v(t) + C\) . Suy ra Sai.
\(\int v (t){\rm{dt}} = s(t) + C\). Suy ra Đúng.
Đúng
\(\int v (t){\rm{dt}} = s(t) + C\). Suy ra Đúng.
\[\int {s'} (t){\rm{dt}} = v(t) + C\].
Sai
\[\int {s'} (t){\rm{dt}} = v(t) + C\]. Suy ra Sai.
\(\int {s'} (t){\rm{dt}} = s(t) + C\).
Đúng
\(\int {s'} (t){\rm{dt}} = s(t) + C\). Suy ra Đúng.
Cho hàm số \(F(x) = {x^3} - 2x + 1\), \(x \in \mathbb{R}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\).
Nếu hàm số \(G(x)\) cũng là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\)và \(G( - 1) = 3\) thì \[G\left( x \right) = F\left( x \right) - 1\],\(x \in \mathbb{R}\).
Sai
Vì \(G(x)\)là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\)trên \(\mathbb{R}\)nên \(G(x) = F(x) + C\), với \(C\)1à một hằng số. Mà \(G( - 1) = 3\)nên ta có \[G( - 1) = F( - 1) + C \Leftrightarrow 3 = 2 + C \Leftrightarrow C = 1\]. Vậy \[G\left( x \right) = F\left( x \right) + 1\],\(x \in \mathbb{R}\).
Suy ra Sai.
Nếu hàm số\(H(x)\) cũng là một nguyên hàm của hàm số\(f(x)\) và \(H(1) = - 3\)thì\[H\left( x \right) = F\left( x \right) - 3\],\(x \in \mathbb{R}\).
Đúng
Vì \(H(x)\)là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\)trên \(\mathbb{R}\)nên \(H(x) = F(x) + C\), với \(C\)1à một hằng số. Mà \(H(1) = - 3\)nên ta có \[H(1) = F(1) + C \Leftrightarrow - 3 = 0 + C \Leftrightarrow C = - 3\]. Vậy \[H\left( x \right) = F\left( x \right) - 3\],\(x \in \mathbb{R}\).
Suy ra đúng
Nếu hàm số\(K(x)\) cũng là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\)và \(K(0) = 0\) thì \[K\left( x \right) = F\left( x \right) + 1\],\(x \in \mathbb{R}\).
Sai
Vì \(K(x)\)là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\)trên \(\mathbb{R}\)nên \(K(x) = F(x) + C\), với \(C\)1à một hằng số. Mà \(K(0) = 0\)nên ta có \[K(0) = F(0) + C \Leftrightarrow 0 = 1 + C \Leftrightarrow C = - 1\]. Vậy \[K\left( x \right) = F\left( x \right) - 1\],\(x \in \mathbb{R}\).
Suy ra Sai.
Nếu hàm số\(M(x)\)cũng là một nguyên hàm của hàm số\(f(x)\)và \(M(2) = 4\) thì \[M\left( x \right) = F\left( x \right) - 1\],\(x \in \mathbb{R}\).
Đúng
Vì \(K(x)\)là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\)trên \(\mathbb{R}\)nên \(K(x) = F(x) + C\), với \(C\)1à một hằng số. Mà \(K(0) = 0\)nên ta có \[K(0) = F(0) + C \Leftrightarrow 0 = 1 + C \Leftrightarrow C = - 1\]. Vậy \[K\left( x \right) = F\left( x \right) - 1\],\(x \in \mathbb{R}\).
Suy ra Sai.
Tại một khu di tích vào ngày lễ hội hằng năm, tốc độ thay đổi lượng khách tham quan được biểu diễn bằng hàm số \[Q'\left( t \right) = 4{t^3} - 72{t^2} + 288t\] , trong đó t tính bằng giờ (\[0 \le t \le 13\]) , \[Q'\left( t \right)\]tính bằng khách/giờ . Nguồn: R.Larson and B. Eawads, Calculus 10e, Cengage). Sau 2 giờ đã có 500 người có mặt.
a) Lượng khách tham quan được biểu diễn bởi hàm số \[Q\left( t \right) = {t^4} - 24{t^3} + 144{t^2}\].
Ta có \[Q\left( t \right) = \int {Q'\left( t \right).dt} = {t^4} - 24{t^3} + 144t + C \Rightarrow Q\left( 2 \right) = 500 \Rightarrow C = 100.\]
Suy ra \[Q\left( t \right) = {t^4} - 24{t^3} + 144t + 100 \Rightarrow \] a) sai.
b) Sau 5 giờ lượng khách tham quan là 1325 người.
Sau 5 giờ lượng khách tham quan là \[Q\left( 5 \right) = 1325\]. Do đó b) đúng.
c) Lượng khách tham quan lớn nhất là 1296 người.
Ta có \[\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;\,13} \right]} Q\left( t \right) = Q\left( 6 \right) = 1396.\] . Do đó, c) Sai
d) Tốc độ thay đổi lượng khách tham quan lớn nhất tại thời điểm \[t = 6\].
Ta có \[\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;\,13} \right]} Q\left( t \right) = Q\left( 6 \right) = 1396.\]Do đó d) đúng
\(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\). Khẳng định tính đúng sai cho từng mệnh đề sau
a) \[\int {f(x)dx{\rm{ }} = F(x) + C} \].
a) Đúng (Theo định nghĩa nguyên hàm)
b). \(F'(x) = f(x)\).
b) Đúng (Theo định nghĩa nguyên hàm)
c)\(\int {kf(x)dx = k\int {f(x)dx\,\,\,\,\forall \,k \in \mathbb{R}} } \).
c) Sai (Vì khi k = 0 thì không còn đúng nữa)
d)\[\left( {\int {f(x)dx} } \right)' = f(x)\].
d) Đúng vì:
\[\left( {\int {f(x)dx} } \right)' = \left( {F(x) + C} \right)' = F'(x) + C' = f(x) + 0 = f(x)\]
