11 câu trắc nghiệm Toán 12 Cánh diều Bài 1: Nguyên hàm có đáp án

Ta có \[\int {f(x)dx = } F(x) + C \Leftrightarrow F'\left( x \right) = f\left( x \right)\] nên phương án A, B, D đúng.

Theo tính chất nguyên hàm thì \(\left( I \right)\) và \(\left( {II} \right)\) là đúng, \(\left( {III} \right)\) sai.

Do \[I = \int {\left[ {2g\left( x \right) - f\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x}  = 2\int {g\left( x \right)} {\rm{d}}x - \int {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = 2{F_2}\left( x \right) - {F_1}\left( x \right) + C\].

Ta có:

\[\int {\left( {2x - 1} \right){\rm{d}}x = {x^2} - x + {c_1}} \];

\[\int {\left( {3{x^2} - 2} \right){\rm{d}}x}  = {x^3} - 2x + {c_2}\]

Suy ra \[F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x = } \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x + {C_1}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt}  & {\rm{khi}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} x \ge 1\\{x^3} - 2x + {C_2}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt}  & {\rm{khi}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} x < 1\end{array} \right.\]

Mà ta có \[F\left( 0 \right) = 2 \Rightarrow {C_2} = 2\]

Mặt khác hàm số \[F\] là nguyên hàm của \[f\] trên \[\mathbb{R}\] nên \[y = F\left( x \right)\] liên tục tại \[x = 1\]

Suy ra \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} F\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} F\left( x \right) \Rightarrow {C_1} = 1\].

Khi đó ta có: \[F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x + 1{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt}  & {\rm{khi}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} x \ge 1\\{x^3} - 2x + 2{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt}  & {\rm{khi}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} x < 1\end{array} \right.\] suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}F\left( { - 1} \right) = 3\\F\left( 2 \right) = 3\end{array} \right..\]

Vậy \[F\left( { - 1} \right) + 2F\left( 2 \right) = 9\].

Khi \(x \ge 1\) thì \(F(x) = \int f (x)dx = \int {(2x + 3)} dx = {x^2} + 3x + {C_1}\)

Khi \(x < 1\) thì \(F(x) = \int f (x)dx = \int {\left( {3{x^2} + 2} \right)} dx = {x^3} + 2x + {C_2}\)

Theo giả thiết \(F(0) = 2 \Rightarrow {C_2} = 2\) Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = f(1) = 5\) nên hàm số \(f(x)\) liên tục tại \(x = 1\).

Suy ra hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Do đó hàm số \(F(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} F(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} F(x) \Rightarrow {C_1} + 4 = {C_2} + 3 \Rightarrow {C_1} = 1\)

\[F\] là nguyên hàm của \[f\] trên \[\mathbb{R}\] nên \[F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2x + {C_1}\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x \ge 1\\{x^3} + x + {C_2}\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x < 1\end{array} \right.\].

Ta có: \[F\left( 0 \right) = 2 \Rightarrow {C_2} = 2\]. \(\left( 1 \right)\)

Do \[F\] liên tục tại \[x = 1\] nên \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} F\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} F\left( x \right) = F\left( 1 \right)\]

\[ \Leftrightarrow {C_1} + 3 = {C_2} + 2\mathop  \Leftrightarrow \limits^{\left( 1 \right)} {C_1} + 3 = 4 \Leftrightarrow {C_1} = 1\].

Do đó \[F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2x + 1\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x \ge 1\\{x^3} + x + 2\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x < 1\end{array} \right.\].

Ta có: \[f'\left( x \right) = 12{x^2} + 2,\,\forall x \in \mathbb{R}\]\[ \Rightarrow \]\[f\left( x \right) = 4{x^3} + 2x + {C_1}\].

Mà \[f\left( 1 \right) = 3\]\[ \Rightarrow \]\[3 = 6 + {C_1}\]\[ \Rightarrow \]\[{C_1} =  - 3\]\[ \Rightarrow \]\[f\left( x \right) = 4{x^3} + 2x - 3\]\[ \Rightarrow \]\[F\left( x \right) = {x^4} + {x^2} - 3x + {C_2}\].

Lại có: \[F\left( 0 \right) = 2\]\[ \Rightarrow \]\[{C_2} = 2\]\[ \Rightarrow \]\[F\left( x \right) = {x^4} + {x^2} - 3x + 2\].

Khi đó: \[F\left( 1 \right) = 1\].

Cách khác: Ta có: \[F\left( 1 \right) = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  + F\left( 0 \right) = \int\limits_0^1 {\left( {4{x^3} + 2x - 3} \right){\rm{d}}x}  + 2 =  - 1 + 2 = 1\].

\(F'\left( x \right) = {\left( {x\sin x + \cos x + 2024} \right)^\prime } = \sin x + x\cos x - \sin x = x\cos x\), \(\forall x \in \mathbb{R}\)

Ta có \[F'\left( x \right) = {\left( {\sqrt[3]{x} + 2\sqrt x  + x\sqrt x } \right)^\prime } = {\left( {{x^{\frac{1}{3}}} + 2\sqrt x  + {x^{\frac{3}{2}}}} \right)^\prime } = \frac{1}{{3\sqrt[3]{{{x^2}}}}} + \frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{3}{2}\sqrt x \].