6 bài tập Một số bài toán thực tế liên quan đến Nguyên hàm (có lời giải)

a) Gọi h(t) là độ cao của quả bóng tại thời điểm t (h(t) tính theo mét, t tính theo giây).

Khi đó, ta có: h(t) = \[\int {\left( { - 9,8t + 19,6} \right)dt} \] = -4,9t² +19,6t+C.

Mà quả bóng được ném lên từ độ cao 24,5 m tức là tại thời điểm t = 0 thì h = 24,5 hay h(0) = 24,5.

Suy ra C = 24,5.

Vậy công thức tính độ cao h (t) của quả bóng theo thời gian là: h(t)=-4,9t² +19,6t +24,5.

b) Khi quả bóng chạm đất thì h(t) = 0. Ta có: – 4,9t² + 19,6t + 24,5 = 0. Giải phương trình ta được:

t = - l; t =5. Mà t > 0 nên t = 5. Vậy sau 5 giây kể từ khi được ném lên thì quả bóng chạm đất.

Giả sử con lắc chuyển động theo phương trình: s = s(1). Suy ra s' (t) = v(t), do đó s(t) là một nguyên hàm của v(t). Ta có: \[\int {v\left( t \right)dt}  = \int {4cost{\rm{dt}}}  = 4sint + C.\]

Suy ra s(t)=4sint+C.

Tại thời điểm t = 0, ta có s(0) = 0, tức là 4sin0 + C = 0, hay C = 0. Vậy phương trình chuyển động của con lắc là: s(t) = 4sint.

Kí hiệu v(t) là tốc độ của vật, s(t) là quãng đường vật đi được cho đến thời điểm t giây kể từ khi vật bắt đầu rơi.Vì a(t) = v’(t) nên: \[v(t) = \int {a(t)dt} = \int {10dt = 10t + C} \].Ta có: v(0) = 0 nên 10.0 + C = 0 hay C = 0. Vậy v(t) = 10t (m/s)Vì v(t) = s’(t) nên: \[s(t) = \int {v(t)dt} = \int {10tdt = 5{t^2} + C} \].Ta có: s(0) = 0 nên 5.0² + C = 0 hay C = 0. Vậy s(t) = 5t² (m)Vật rơi từ độ cao 20m nên \[s(t) \le 20\], suy ra \[0 \le t \le 2\].Vậy sau khi vật rơi được t giây (\[0 \le t \le 2\]) thì vật có tốc độ v(t) = 10t (m/s) và đi được quãng đườngs(t) = 5t² (m)

Gọi \({\rm{S}} = {\rm{S}}({\rm{t}})\) là quãng đường rơi được của hòn đá tại thời điểm \({\rm{t}}({\rm{S}}({\rm{t}})\) tính theo m , t tính theo giây).

Suy ra \({S^\prime }({\rm{t}}) = {\rm{v}}({\rm{t}})\), do đó \({\rm{S}}({\rm{t}})\) là một nguyên hàm của \(v({\rm{t}})\).

Ta có \(\int v (t)dt = \int 9 ,8tdt = 4,9{t^2} + C\). Suy ra \({\rm{S}}({\rm{t}}) = 4,9{{\rm{t}}^2} + {\rm{C}}\).

Mà hòn đá rơi từ mỏm đá có độ cao 150 m so với mặt đất theo phương thẳng đứng tức là tại thời điểm \({\rm{t}} = 0\) thì \({\rm{S}} = 0\) hay \({\rm{S}}(0) = 0\), suy ra \({\rm{C}} = 0\).

Vậy công thức tính quãng đường rơi được \({\rm{S}}({\rm{t}})\) của hòn đá tại thời điểm t là: \(S(t) = 4,9{t^2}.\)

Khi hòn đá chạm đất thì \({\rm{S}}({\rm{t}}) = 150\). Ta có \(4,9{{\rm{t}}^2} = 150\). Suy ra \(t =  \pm \frac{{10\sqrt {15} }}{7}\).

Mà \({\rm{t}} > 0\) nên \(t = \frac{{10\sqrt {15} }}{7}\). Vậy sau \(t = \frac{{10\sqrt {15} }}{7} \approx 5,53\) giây thì hòn đá chạm đến mặt đất.

Gọi \(S(t)(0 \le t \le 30)\) là quãng đường máy bay di chuyển được sau \(t\) giây kể từ lúc bắt đầu chạy đà.

Ta có \(v(t) = {S^\prime }(t)\). Do đó, \(S(t)\) là một nguyên hàm của hàm số vận tốc \(v(t)\). Sử dụng tính chất của nguyên hàm ta được: \(S(t) = \int v (t){\rm{d}}t = \int {(5 + 3t)} {\rm{d}}t = 5\int {\rm{d}} t + 3\int t \;{\rm{d}}t = 5t + \frac{3}{2}{t^2} + C.\)

Theo giả thiết, \(S(0) = 0\) nên \(C = 0\) và ta được \(S(t) = \frac{3}{2}{t^2} + 5t(\;{\rm{m}})\).

Máy bay rời đường băng khi \(t = 30\) (giây) nên \(S = S(30) = \frac{3}{2} \cdot {30^2} + 5 \cdot 30 = 1500(\;{\rm{m}})\).

Vậy quãng đường máy bay đã di chuyển từ khi bắt đầu chạy đà đến khi nó rời đường băng là \(S = 1500\;{\rm{m}}\).

a) Công thức chiều cao \(h(t)\) của cây sau \(t\) năm là một nguyên hàm của hàm số \({h^\prime }({\rm{t}})\).

Ta có \(\int {{h^\prime }} (t)dt = \int {(1,5t + 5)} dt = \int 1 ,5tdt + \int 5 dt = 0,75{t^2} + 5t + C\).

Suy ra \(h(t) = 0,75{t^2} + 5t + C\).

Vì cây con khi được trồng cao 12 cm nên \({\rm{h}}(0) = 12\).

Do đó \(0,75 \cdot {0^2} + 5 \cdot 0 + C = 12\), suy ra \(C = 12\).

Vậy công thức tính chiều cao của cây sau t năm là \(h(t) = 0,75{t^2} + 5t + 12\).

b) Khi cây được bán, tức là \({\rm{t}} = 6\), ta có \({\rm{h}}(6) = 0,75 \cdot {6^2} + 5 \cdot 6 + 12 = 69\).

Vậy khi được bán, cây cao 69 cm.