Giải SGK Toán 12 CD Bài 1. Nguyên hàm có đáp án
63 câu hỏi
Một hòn đá rơi từ mỏm đá có độ cao 150 m so với mặt đất theo phương thẳng đứng. Biết tốc độ rơi của hòn đá (tính theo đơn vị m/s) tại thời điểm t (tính theo giây) được cho bởi công thức v(t) = 9,8t.
Quãng đường rơi được S của hòn đá tại thời điểm t được cho bởi công thức nào? Sau bao nhiêu giây thì hòn đá chạm đến mặt đất?
Sau bài học này, ta giải quyết được bài toán trên như sau:
Gọi S = S(t) là quãng đường rơi được của hòn đá tại thời điểm t (S(t) tính theo m, t tính theo giây).
Suy ra S'(t) = v(t), do đó S(t) là một nguyên hàm của v(t).
Ta có 
. Suy ra S(t) = 4,9t2 + C.
Mà hòn đá rơi từ mỏm đá có độ cao 150 m so với mặt đất theo phương thẳng đứng tức là tại thời điểm t = 0 thì S = 0 hay S(0) = 0, suy ra C = 0.
Vậy công thức tính quãng đường rơi được S(t) của hòn đá tại thời điểm t là:
S(t) = 4,9t2.
Khi hòn đá chạm đất thì S(t) = 150. Ta có 4,9t2 = 150. Suy ra 
.
Mà t > 0 nên 
.
Vậy sau 
giây thì hòn đá chạm đến mặt đất.
Cho hàm số F(x) = x3, x ∈ (– ∞; + ∞). Tính F'(x).
Ta có F'(x) = (x3)' = 3x2.
Hàm số F(x) = cot x là nguyên hàm của hàm số nào? Vì sao?
Hàm số F(x) = cot x là nguyên hàm của hàm số f(x) = 
vì (cot x)' = với mọi x ∈ ℝ \ {kπ| k ∈ ℤ}.
Cho hàm số F(x) = x3 – 1, x ∈ ℝ và G(x) = x3 + 5, x ∈ ℝ.
Cả hai hàm số F(x) và G(x) có phải là nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x2 trên ℝ hay không?
Ta có F'(x) = (x3 – 1)' = 3x2; G'(x) = (x3 + 5)' = 3x2.
Do đó, cả hai hàm số F(x) và G(x) có phải là nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x2 trên ℝ.
Cho hàm số F(x) = x3 – 1, x ∈ ℝ và G(x) = x3 + 5, x ∈ ℝ.
Hiệu F(x) – G(x) có phải là một hằng số C (không phụ thuộc vào x) hay không?
Ta có F(x) – G(x) = (x3 – 1) – (x3 + 5) = – 6 là một hằng số C.
Tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = cos x trên ℝ.
Do (sin x)' = cos x nên sin x là một nguyên hàm của hàm số f(x) = cos x trên ℝ.
Vậy mọi nguyên hàm của hàm số f(x) = cos x đều có dạng sin x + C, với C là một hằng số.
Chứng tỏ rằng 
.
Do 
nên 
là một nguyên hàm của hàm số f(x) = kx2 trên ℝ.
Vậy 
.
Cho f(x) là hàm số liên tục trên K, k là hằng số thực khác 0. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K. Hỏi kF(x) có phải là nguyên hàm của hàm số kf(x) trên K hay không?
Vì F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nên F'(x) = f(x).
Suy ra kF'(x) = kf(x). Vì k là hằng số thực khác 0 nên kF'(x) = (kF(x))'.
Do đó, (kF(x))' = kf(x). Vậy kF(x) là một nguyên hàm của hàm số kf(x) trên K.
Cho f(x) là hàm số liên tục trên K, k là hằng số thực khác 0. Giả sử G(x) là một nguyên hàm của hàm số kf(x) trên K. Đặt G(x) = kH(x) trên K. Hỏi H(x) có phải là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K hay không?
Vì G(x) là một nguyên hàm của hàm số kf(x) trên K nên G'(x) = kf(x).
Lại có G(x) = kH(x), lấy đạo hàm hai vế ta được G'(x) = kH'(x).
Từ đó suy ra kH'(x) = kf(x), tức là H'(x) = f(x). Vậy H(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K.
Cho f(x) là hàm số liên tục trên K, k là hằng số thực khác 0.
Nêu nhận xét về 
và 
.
Từ câu a, ta có 
. (1)
Lại có 
, suy ra 
.
Vì C1 tùy ý thuộc ℝ và k ≠ 0 nên C = kC1 tùy ý thuộc ℝ.
Do đó, 
. (2)
Từ (1) và (2) suy ra 
.
Chứng tỏ rằng 
với n là số nguyên dương.
Do (xn + 1)' = (n + 1)xn nên xn + 1 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = (n + 1)xn trên ℝ.
Vậy 
.
Cho f(x), g(x) là hai hàm số liên tục trên K. Giả sử F(x), G(x) lần lượt là nguyên hàm của các hàm số f(x), g(x) trên K. Hỏi F(x) + G(x) có phải là nguyên hàm của hàm số f(x) + g(x) trên K hay không?
Vì F(x), G(x) lần lượt là nguyên hàm của các hàm số f(x), g(x) trên K nên ta suy ra F'(x) = f(x), G'(x) = g(x).
Do đó, F'(x) + G'(x) = f(x) + g(x).
Mà F'(x) + G'(x) = [F(x) + G(x)]' nên [F(x) + G(x)]' = f(x) + g(x).
Từ đó suy ra F(x) + G(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) + g(x) trên K.
Cho f(x), g(x) là hai hàm số liên tục trên K. Giả sử H(x), F(x) lần lượt là nguyên hàm của các hàm số f(x) + g(x), f(x) trên K. Đặt G(x) = H(x) – F(x) trên K. Hỏi G(x) có phải là nguyên hàm của hàm số g(x) trên K hay không?
Vì H(x), F(x) lần lượt là nguyên hàm của các hàm số f(x) + g(x), f(x) trên K nên ta suy ra H'(x) = f(x) + g(x), F'(x) = f(x).
Ta có G(x) = H(x) – F(x).
Suy ra G'(x) = [H(x) – F(x)]' = H'(x) – F'(x) = f(x) + g(x) – f(x) = g(x).
Vậy G(x) là một nguyên hàm của hàm số g(x) trên K.
Cho f(x), g(x) là hai hàm số liên tục trên K. Nêu nhận xét về 
và 
.
Từ câu a, ta suy ra 
. (1)
Lại có 
.
Vì C, C1, C2 là các hằng số tùy ý trên K nên ta có C1 + C2 = C tùy ý trên K.
Do đó, 
. (2)
Từ (1) và (2) suy ra 
.
Tìm 
.
Ta có 
.
Hàm số F(x) = x3 + 5 là nguyên hàm của hàm số:
A. f(x) = 3x2.
B. f(x) = 
+ 5x + C.
C. f(x) = + 5x.
D. f(x) = 3x2 + 5x.
Đáp án đúng là: A
Ta có F'(x) = (x3 + 5)' = 3x2 nên F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x2.
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
f(x) = 3x2 + x;
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: f(x) = 9x2 – 2x + 7
.
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: f(x) = (4x – 3)(x2 + 3).
Ta có f(x) = (4x – 3)(x2 + 3) = 4x3 – 3x2 + 12x – 9.
= x4 – x3 + 6x2 – 9x + C.
Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 6x5 + 2x – 3, biết F(– 1) = – 5.
Ta có 
= x6 + x2 – 3x + C.
Vì F(– 1) = – 5 nên (– 1)6 + (– 1)2 – 3 ∙ (– 1) + C = – 5, suy ra C = – 10.
Vậy F(x) = x6 + x2 – 3x – 10.
Một vườn ươm cây cảnh bán một cây sau 6 năm trồng và uốn tạo dáng. Tốc độ tăng trưởng trong suốt 6 năm được tính xấp xỉ bởi công thức h'(t) = 1,5t + 5, trong đó h(t) (cm) là chiều cao của cây sau t (năm) (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e Cengage 2014). Biết rằng, cây con khi được trồng cao 12 cm. Viết công thức tính chiều cao của cây sau t năm.
Công thức chiều cao h(t) của cây sau t năm là một nguyên hàm của hàm số h'(t).
Ta có 
.
Suy ra h(t) = 0,75t2 + 5t + C.
Vì cây con khi được trồng cao 12 cm nên h(0) = 12.
Do đó 0,75 ∙ 02 + 5 ∙ 0 + C = 12, suy ra C = 12.
Vậy công thức tính chiều cao của cây sau t năm là h(t) = 0,75t2 + 5t + 12.
Một vườn ươm cây cảnh bán một cây sau 6 năm trồng và uốn tạo dáng. Tốc độ tăng trưởng trong suốt 6 năm được tính xấp xỉ bởi công thức h'(t) = 1,5t + 5, trong đó h(t) (cm) là chiều cao của cây sau t (năm) (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e Cengage 2014). Biết rằng, cây con khi được trồng cao 12 cm. Khi được bán, cây cao bao nhiêu centimét?
Khi cây được bán, tức là t = 6, ta có h(6) = 0,75 ∙ 62 + 5 ∙ 6 + 12 = 69.
Vậy khi được bán, cây cao 69 cm.
Tại một lễ hội dân gian, tốc độ thay đổi lượng khách tham dự được biểu diễn bằng hàm số
B'(t) = 20t3 – 300t2 + 1 000t,
trong đó t tính bằng giờ (0 ≤ t ≤ 15), B'(t) tính bằng khách/giờ.
(Nguồn: A. Bigalke et al., Mathematik, Grundkurs ma-1, Cornelsen 2016)
Biết rằng sau một giờ, 500 người đã có mặt tại lễ hội.
Viết công thức của hàm số B(t) biểu diễn số lượng khách tham dự lễ hội với 0 ≤ t ≤ 15.
Hàm số B(t) là một nguyên hàm của hàm số B'(t).
Ta có 
.
Suy ra B(t) = 5t4 – 100t3 + 500t2 + C.
Vì sau một giờ, 500 người đã có mặt tại lễ hội nên B(1) = 500.
Do đó, 5 ∙ 14 – 100 ∙ 13 + 500 ∙ 12 + C = 500, suy ra C = 95.
Vậy công thức của hàm số B(t) biểu diễn số lượng khách tham dự lễ hội là
B(t) = 5t4 – 100t3 + 500t2 + 95 (0 ≤ t ≤ 15).
Tại một lễ hội dân gian, tốc độ thay đổi lượng khách tham dự được biểu diễn bằng hàm số
B'(t) = 20t3 – 300t2 + 1 000t,
trong đó t tính bằng giờ (0 ≤ t ≤ 15), B'(t) tính bằng khách/giờ.
(Nguồn: A. Bigalke et al., Mathematik, Grundkurs ma-1, Cornelsen 2016)
Biết rằng sau một giờ, 500 người đã có mặt tại lễ hội.
Sau 3 giờ sẽ có bao nhiêu khách tham dự lễ hội?
Ta có B(3) = 5 ∙ 34 – 100 ∙ 33 + 500 ∙ 32 + 95 = 2 300.
Vậy sau 3 giờ có 2 300 khách tham dự lễ hội.
Tại một lễ hội dân gian, tốc độ thay đổi lượng khách tham dự được biểu diễn bằng hàm số
B'(t) = 20t3 – 300t2 + 1 000t,
trong đó t tính bằng giờ (0 ≤ t ≤ 15), B'(t) tính bằng khách/giờ.
(Nguồn: A. Bigalke et al., Mathematik, Grundkurs ma-1, Cornelsen 2016)
Biết rằng sau một giờ, 500 người đã có mặt tại lễ hội.
Số lượng khách tham dự lễ hội lớn nhất là bao nhiêu?
Số lượng khách tham dự lễ hội lớn nhất chính là giá trị lớn nhất của hàm số B(t) trên đoạn [0; 15].
Ta có B'(t) = 20t3 – 300t2 + 1 000t.
Trên khoảng (0; 15), B'(t) = 0 khi t = 5 hoặc t = 10.
B(0) = 95; B(5) = 3 220; B(10) = 95; B(15) = 28 220.
Do đó, 
tại t = 15.
Vậy số lượng khách tham dự lễ hội lớn nhất là 28 220 khách sau 15 giờ.
Tại một lễ hội dân gian, tốc độ thay đổi lượng khách tham dự được biểu diễn bằng hàm số
B'(t) = 20t3 – 300t2 + 1 000t,
trong đó t tính bằng giờ (0 ≤ t ≤ 15), B'(t) tính bằng khách/giờ.
(Nguồn: A. Bigalke et al., Mathematik, Grundkurs ma-1, Cornelsen 2016)
Biết rằng sau một giờ, 500 người đã có mặt tại lễ hội.
Tại thời điểm nào thì tốc độ thay đổi lượng khách tham dự lễ hội là lớn nhất?
Tốc độ thay đổi lượng khách tham dự lễ hội lớn nhất chính là giá trị lớn nhất của hàm số B'(t) trên đoạn [0; 15].
Ta có B''(t) = (20t3 – 300t2 + 1 000t)' = 60t2 – 600t + 1 000.
Trên khoảng (0; 15), B''(t) = 0 khi 
hoặc 
.
B'(0) = 0; 
; B'(15) = 15 000.
Do đó, 
tại t = 15.
Vậy tại thời điểm t = 15 giờ thì tốc độ thay đổi lượng khách tham dự lễ hội là lớn nhất.
Đối với các dự án xây dựng, chi phí nhân công lao động được tính theo số ngày công. Gọi m(t) là số lượng công nhân được sử dụng ở ngày thứ t (kể từ khi khởi công dự án). Gọi M(t) là số ngày công được tính đến hết ngày thứ t (kể từ khi khởi công dự án). Trong kinh tế xây dựng, người ta đã biết rằng M'(t) = m(t).
Một công trình xây dựng dự kiến hoàn thành trong 400 ngày. Số lượng công nhân được sử dụng cho bởi hàm số
m(t) = 800 – 2t,
trong đó t tính theo ngày (0 ≤ t ≤ 400), m(t) tính theo người.
(Nguồn: A. Bigalke et al., Mathematik, Grundkurs ma-1, Cornelsen 2016)
Đơn giá cho một ngày công lao động là 400 000 đồng.
Tính chi phí nhân công lao động của công trình đó (cho đến lúc hoàn thành).
Hàm số M(t) là một nguyên hàm của hàm số m(t).
Ta có 
.
Suy ra M(t) = 800t – t2 + C.
Tại t = 0 thì M(t) = M(0) = 0.
Do đó 800 ∙ 0 – 02 + C = 0, suy ra C = 0.
Khi đó, M(t) = 800t – t2 (0 ≤ t ≤ 400).
Số ngày công tính đến khi hoàn thành dự án là
M(400) = 800 ∙ 400 – 4002 = 160 000 (ngày công).
Chi phí nhân công lao động của công trình đó (cho đến lúc hoàn thành dự án) là
160 000 ∙ 400 000 = 6,4 ∙ 1010 (đồng) = 64 (tỷ đồng).
Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang trên mặt phẳng không ma sát như Hình 1, có vận tốc tức thời cho bởi v(t) = 4 cos t, trong đó t tính bằng giây và v(t) tính bằng centimét/giây. Tại thời điểm t = 0, con lắc đó ở vị trí cân bằng.
Phương trình chuyển động của con lắc đó được xác định bằng cách nào?
Sau bài học này, ta giải quyết được bài toán trên như sau:
Giả sử con lắc chuyển động theo phương trình: s = s(t). Suy ra s'(t) = v(t), do đó s(t) là một nguyên hàm của v(t). Ta có:
.
Suy ra s(t) = 4sin t + C.
Tại thời điểm t = 0, ta có s(0) = 0, tức là 4sin 0 + C = 0, hay C = 0.
Vậy phương trình chuyển động của con lắc là: s(t) = 4sin t.
Hàm số F(x) = 
có là nguyên hàm của hàm số f(x) = x hay không?
Ta có F'(x) = 
= f(x).
Vậy hàm số F(x) = 
là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x.
Tìm: 
.
Ta có 
.
Tìm:
;
Tìm: 
Tính đạo hàm của hàm số y = ln|x| trên khoảng (0; + ∞).
Với x ∈ (0; + ∞) thì |x| = x. Do đó, y = ln|x| = ln x.
Ta có y' = (ln x)' = 
.
Tính đạo hàm của hàm số y = ln|x| trên khoảng (– ∞; 0).
Với x ∈ (– ∞; 0) thì |x| = – x. Do đó, y = ln|x| = ln (– x).
Ta có y' = [ln (– x)]' = 
.
Tìm 
.
Ta có 
.
Hàm số y = – cos x có là nguyên hàm của hàm số y = sin x hay không?
Ta có (– cos x)' = – (cos x)' = – (– sin x) = sin x.
Vậy hàm số y = – cos x là một nguyên hàm của hàm số y = sin x.
Hàm số y = sin x có là nguyên hàm của hàm số y = cos x hay không?
Ta có (sin x)' = cos x.
Vậy hàm số y = sin x là một nguyên hàm của hàm số y = cos x.
Với x ≠ kπ (k ∈ ℤ), hàm số y = – cot x có là nguyên hàm của hàm số 
hay không?
Với x ≠ kπ (k ∈ ℤ), ta có (– cot x)' = – (cot x)' = – 
.
Vậy hàm số y = – cot x là một nguyên hàm của hàm số 
.
Với x ≠ 
+ kπ (k ∈ ℤ), hàm số y = tan x có là nguyên hàm của hàm số 
hay không?
Với x ≠ 
+ kπ (k ∈ ℤ), ta có (tan x)' = 
.
Vậy hàm số y = tan x là một nguyên hàm của hàm số 
.
Tìm:
;
Tìm: 
.
Tìm:
;
Tìm 
.
Tính đạo hàm của hàm số 
(a > 0, a ≠ 1). Từ đó, nêu một nguyên hàm của hàm số f(x) = ax.
Với a > 0, a ≠ 1, ta có 
.
Vậy một nguyên hàm của hàm số f(x) = ax là 
.
Tìm:
;
Tìm
.
bằng:
A. 2cos x – 3sin x + C.
B. 2cos x + 3sin x + C.
C. – 2cos x + 3sin x + C.
D. – 2cos x – 3sin x + C.
Đáp án đúng là: D
Ta có 
.
bằng:
A. 7x ∙ ln7 + C.
B. 
.
C. 
.
D. 7x + C.
Đáp án đúng là: C
Ta có 
.
Nguyên hàm của hàm số 
bằng:
A. 
.
B. 
.
C. 
.
D. 
.
Đáp án đúng là: D
Ta có 
.
Nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 – tan2 x bằng:
A. 2 – tan x + C.
B. 2x – tan x + C.
C. 
.
D. – 2 tan x + C.
Đáp án đúng là: B
Ta có 
= 2x – tan x + C.
Tìm:
;
.
Tìm:
.
Tìm:
.
Tìm
.
Tìm:
;
.
Tìm
.
Tìm
Tìm
.
Cây cà chua khi trồng có chiều cao 5 cm. Tốc độ tăng chiều cao của cây cà chua sau khi trồng được cho bởi hàm số
v(t) = – 0,1t3 + t2,
trong đó t tính theo tuần, v(t) tính bằng centimét/tuần. Gọi h(t) (tính bằng centimét) là độ cao của cây cà chua ở tuần thứ t (Nguồn: A. Bigalke et aL, Mathematik, Grundkurs ma-1, Cornelsen 2016).
Viết công thức xác định hàm số h(t) (t ≥ 0).
Hàm số h(t) là một nguyên hàm của hàm số v(t).
Ta có 
.
Suy ra 
.
Vì cây cà chua khi trồng có chiều cao 5 cm nên h(0) = 5, suy ra C = 5.
Vậy công thức xác định hàm số h(t) là: 
.
Cây cà chua khi trồng có chiều cao 5 cm. Tốc độ tăng chiều cao của cây cà chua sau khi trồng được cho bởi hàm số
v(t) = – 0,1t3 + t2,
trong đó t tính theo tuần, v(t) tính bằng centimét/tuần. Gọi h(t) (tính bằng centimét) là độ cao của cây cà chua ở tuần thứ t (Nguồn: A. Bigalke et aL, Mathematik, Grundkurs ma-1, Cornelsen 2016).
Giai đoạn tăng trưởng của cây cà chua đó kéo dài bao lâu?
Xét hàm số 
.
Ta có h'(t) = v(t) = – 0,1t3 + t2; h'(t) = 0 khi t = 0 hoặc t = 10.
Bảng biến thiên của hàm số h(t) trên [0; + ∞) như sau:
Từ bảng biến thiên ta thấy giai đoạn tăng trưởng của cây cà chua đó kéo dài 10 tuần.
Cây cà chua khi trồng có chiều cao 5 cm. Tốc độ tăng chiều cao của cây cà chua sau khi trồng được cho bởi hàm số
v(t) = – 0,1t3 + t2,
trong đó t tính theo tuần, v(t) tính bằng centimét/tuần. Gọi h(t) (tính bằng centimét) là độ cao của cây cà chua ở tuần thứ t (Nguồn: A. Bigalke et aL, Mathematik, Grundkurs ma-1, Cornelsen 2016).
Chiều cao tối đa của cây cà chua đó là bao nhiêu centimét?
Từ bảng biến thiên ở câu b, ta thấy chiều cao tối đa của cây cà chua đó là 
cm.
Cây cà chua khi trồng có chiều cao 5 cm. Tốc độ tăng chiều cao của cây cà chua sau khi trồng được cho bởi hàm số
v(t) = – 0,1t3 + t2,
trong đó t tính theo tuần, v(t) tính bằng centimét/tuần. Gọi h(t) (tính bằng centimét) là độ cao của cây cà chua ở tuần thứ t (Nguồn: A. Bigalke et aL, Mathematik, Grundkurs ma-1, Cornelsen 2016).
Vào thời điểm cây cà chua đó phát triển nhanh nhất thì cây cà chua cao bao nhiêu centimét?
Xét hàm tốc độ tăng chiều cao của cây cà chua: v(t) = – 0,1t3 + t2 (t ≥ 0).
Ta có v'(t) = – 0,3t2 + 2t; v'(t) = 0 khi t = 0 hoặc t = 
.
Bảng biến thiên của hàm số v(t) trên [0; + ∞) như sau:
Từ bảng biến thiên ta suy ra vào thời điểm cây cà chua đó phát triển nhanh nhất thì cây cà chua cao 
cm.
Một quần thể vi khuẩn ban đầu gồm 500 vi khuẩn, sau đó bắt đầu tăng trưởng. Gọi P(t) là số lượng vi khuẩn của quần thể đó tại thời điểm t, trong đó t tính theo ngày (0 ≤ t ≤ 10). Tốc độ tăng trưởng của quần thể vi khuẩn đó cho bởi hàm số P'(t) = 
, trong đó k là hằng số. Sau 1 ngày, số lượng vi khuẩn của quần thể đó đã tăng lên thành 600 vi khuẩn (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage 2014). Tính số lượng vi khuẩn của quần thể đó sau 7 ngày (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Hàm số P(t) là một nguyên hàm của hàm số P'(t).
Ta có 
.
Suy ra 
.
Quần thể vi khuẩn ban đầu gồm 500 vi khuẩn nên với t = 0 thì P = 500 hay P(0) = 500, suy ra 
, do đó C = 500.
Suy ra 
.
Vì sau 1 ngày, số lượng vi khuẩn của quần thể đó đã tăng lên thành 600 vi khuẩn, tức là khi t = 1 thì P = 600, hay P(1) = 600, suy ra 
, do đó k = 150.
Khi đó, công thức tính số lượng vi khuẩn của quần thể đó tại thời điểm t là:
.
Vậy số lượng vi khuẩn của quần thể đó sau 7 ngày là:
(vi khuẩn).
