20 câu Trắc nghiệm Toán 12 Cánh diều Bài 1. Nguyên hàm có đáp án
20 câu hỏi
I. Nhận biết
Hàm số \[F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right)\] trên khoảng \[K\] nếu
\[F'\left( x \right) = - f\left( x \right),{\rm{ }}\forall x \in K.\]
\[f'\left( x \right) = F\left( x \right),{\rm{ }}\forall x \in K.\]
\[F'\left( x \right) = f\left( x \right),{\rm{ }}\forall x \in K.\]
\[f'\left( x \right) = F\left( x \right),{\rm{ }}\forall x \in K.\]
Đáp án đúng là: C
Hàm số \[F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right)\] trên khoảng \[K\] nếu \[F'\left( x \right) = f\left( x \right),\]\[\forall x \in K\].
Cho \[\int {f\left( x \right)dx = } F\left( x \right),{\rm{ }}\int {g\left( x \right)dx = G\left( x \right)} \]. Khi đó, \[I = \int {\left[ {2g\left( x \right) - f\left( x \right)} \right]dx} \] bằng
\[2F\left( x \right) + G\left( x \right).\]
\[2F\left( x \right) - G\left( x \right).\]
\[2G\left( x \right) - F\left( x \right).\]
\[F\left( x \right) - 2G\left( x \right).\]
Đáp án đúng là: C
Ta có: \[I = \int {\left[ {2g\left( x \right) - f\left( x \right)} \right]dx} \]
\[I = \int {2g\left( x \right)dx} - \int {f\left( x \right)dx} \]
\[I = 2\int {g\left( x \right)dx} - \int {f\left( x \right)dx} \]
\[I = 2G\left( x \right) - F\left( x \right)\]
Cho hàm số \[F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right)\] trên \[K\]. Trong các mệnh đều sau, mệnh đề nào sai?
\[\int {f\left( x \right)dx = F\left( x \right) + C.} \]
\[{\left( {\int {f\left( x \right)dx} } \right)^\prime } = f\left( x \right).\]
\[{\left( {\int {f\left( x \right)dx} } \right)^\prime } = f'\left( x \right).\]
\[{\left( {\int {f\left( x \right)dx} } \right)^\prime } = F'\left( x \right).\]
Đáp án đúng là: C
Mệnh đề nào sau đây là sai?
\[\int {f'\left( x \right)dx = f\left( x \right) + C.} \]
\[\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx = \int {f\left( x \right)dx + \int {g\left( x \right)dx.} } } \]
\[\int {kf\left( x \right)dx = k\int {f\left( x \right)dx} } \] với mọi \[k \in \mathbb{R}.\]
\[\int {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx = \int {f\left( x \right)dx - \int {g\left( x \right)dx.} } } \]
Đáp án đúng là: C
Ta có: \[\int {kf\left( x \right)dx = k\int {f\left( x \right)dx} } \] với mọi \[k \ne 0.\]
Cho hai hàm số \[f\left( x \right),g\left( x \right)\] là hàm số liên tục, có \[F\left( x \right),G\left( x \right)\] lần lượt là nguyên hàm của \[f\left( x \right),g\left( x \right)\]. Xét các mệnh đề sau:
(I). \[F\left( x \right) + G\left( x \right)\] là một nguyên hàm của \[f\left( x \right) + g\left( x \right).\]
(II). \[kF\left( x \right)\] là một nguyên hàm của \[kf\left( x \right)\] với \[k \ne 0.\]
(III). \[F\left( x \right).G\left( x \right)\] là một nguyên hàm của \[f\left( x \right).g\left( x \right)\].
Các mệnh đề đúng là
(I) và (II).
(II) và (III).
(I) và (III).
Cả ba mệnh đề.
Đáp án đúng là: A
II. Thông hiểu
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = 2x + 6\] là
\[{x^2} + C.\]
\[{x^2} + 6x + C.\]
\[2{x^2} + C.\]
\[2{x^2} + 6x + C.\]
Đáp án đúng là: B
Ta có: \[\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {2x + 6} \right)} dx = {x^2} + 6x + C.\]
\[\int {{x^2}dx} \] bằng
\[2x + C.\]
\[\frac{{{x^3}}}{3} + C.\]
\[{x^3} + C.\]
\[3{x^3} + C.\]
Đáp án đúng là: B
Ta có: \[\int {{x^2}dx} = \frac{{{x^3}}}{3} + C.\]
Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số \[y = {x^{2022}}\]?
\[\frac{{{x^{2023}}}}{{2023}} + 1.\]
\[\frac{{{x^{2023}}}}{{2022}} - 1.\]
\[\frac{{{x^{2023}}}}{{2023}} - 2.\]
\[\frac{{{x^{2023}}}}{{2023}}.\]
Đáp án đúng là: B
Ta có: \[\int {{x^{2022}}} dx = \frac{{{x^{2023}}}}{{2023}} + C.\]
Hàm số \[F\left( x \right) = \frac{5}{3}{x^3} + 5\] là nguyên hàm của hàm số nào?
\[{x^2} + 5.\]
\[5{x^2} + 5.\]
\[5{x^2}.\]
\[\frac{1}{3}{x^2} + 5.\]
Đáp án đúng là: C
Ta có: \[F'\left( x \right) = {\left( {\frac{5}{3}{x^3} + 5} \right)^\prime } = 5{x^2}.\]
Cho hàm số \[f\left( x \right) = {x^2} + 4\]. Khẳng định nào sau đây là đúng?
\[\int {f\left( x \right)dx} = 2x + C.\]
\[\int {f\left( x \right)dx} = {x^2} + 4x + C.\]
\[\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{{x^3}}}{3} + 4x + C.\]
\[\int {f\left( x \right)dx} = {x^3} + 4x + C.\]
Đáp án đúng là: C
Ta có: \[\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {{x^2} + 4} \right)dx = } \frac{{{x^3}}}{3} + 4x + C.\]
\[\int {16{x^{15}}dx} \] bằng
\[{x^{15}} + C.\]
\[{x^{16}} + C.\]
\[\frac{{{x^{16}}}}{{16}} + C.\]
\[\frac{{{x^{15}}}}{{15}} + C.\]
Đáp án đúng là: B
Ta có: \[\int {16{x^{15}}dx} = x{}^{16} + C.\]
Hàm số \[F\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3}\] là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây trên \[\left( { - \infty ; + \infty } \right).\]
\[f\left( x \right) = 3{x^2}.\]
\[f\left( x \right) = {x^3}.\]
\[f\left( x \right) = {x^2}.\]
\[f\left( x \right) = \frac{1}{4}{x^4}.\]
Đáp án đúng là: C
Ta có: \[F'\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{3}{x^3}} \right)^\prime } = {x^2}.\]
Tìm nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + x - 2019\]
\[\frac{1}{{12}}{x^4} - \frac{2}{3}{x^3} + \frac{{{x^2}}}{2} + C.\]
\[\frac{1}{9}{x^4} - \frac{2}{3}{x^3} + \frac{{{x^2}}}{2} - 2019x + C.\]
\[\frac{1}{{12}}{x^4} - \frac{2}{3}{x^3} + \frac{{{x^2}}}{2} - 2019x + C.\]
\[\frac{1}{9}{x^4} + \frac{2}{3}{x^3} - \frac{{{x^2}}}{2} - 2019x + C.\]
Đáp án đúng là: C
Ta có: \[\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {\frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + x - 2019} \right)} dx\]\[ = \frac{1}{{12}}{x^4} - \frac{2}{3}{x^3} + \frac{{{x^2}}}{2} - 2019x + C.\]
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {x^3} + {x^2}\] là
\[\frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{{x^3}}}{3} + C.\]
\[{x^4} + {x^3} + C.\]
\[3{x^2} + 2x + C.\]
\[\frac{{{x^4}}}{3} + \frac{{{x^3}}}{4} + C.\]
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[\int {f\left( x \right)} dx = \int {\left( {{x^3} + {x^2}} \right)} dx = \frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{{x^3}}}{3} + C.\]
Biết \[F\left( x \right)\] là nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {x^2} + 4\] và \[F\left( 0 \right) = 4\]. Tính \[F\left( 3 \right).\]
\[F\left( 3 \right) = 43.\]
\[F\left( 3 \right) = 21.\]
\[F\left( 3 \right) = 25.\]
\[F\left( 3 \right) = 16.\]
Đáp án đúng là: C
Ta có: \[F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx = \int {\left( {{x^2} + 4} \right)dx} } \]\[ = \frac{{{x^3}}}{3} + 4x + C.\]
Mà \[F\left( 0 \right) = 4\] nên C = 4.
Suy ra \[F\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + 4x + 4.\]
Vậy \[F\left( 3 \right) = \frac{{{3^3}}}{3} + 4.3 + 4 = 25.\]
III. Vận dụng
Một vật chuyển động với gia tốc \[a\left( t \right) = 3{t^2} + t{\rm{ }}\left( {m/{s^2}} \right)\]. Biết rằng vận tốc ban đầu của vật là \[2{\rm{ }}\left( {m/s} \right).\] Vận tốc của vật đó sau hai giây là.
\[{\rm{8 }}\left( {m/s} \right).\]
\[{\rm{12 }}\left( {m/s} \right).\]
\[{\rm{10 }}\left( {m/s} \right).\]
\[{\rm{16 }}\left( {m/s} \right).\]
Đáp án đúng là: B
Phương trình vận tốc của vật là \[v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)} dt = \int {\left( {3{t^2} + t} \right)dt} = {t^3}{\rm{ + }}\frac{{{t^2}}}{2}{\rm{ + C}}{\rm{. }}\]
Mà vận tốc ban đầu của vật là \[2{\rm{ }}\left( {m/s} \right)\] hay \[v\left( 0 \right) = 2{\rm{ }}\left( {m/s} \right)\].
Do đó, ta có C = 2.
Suy ra \[v\left( t \right) = {t^3} + \frac{{{t^2}}}{2} + 2.\]
Vậy vận tốc của vật đó sau 2 giây là: \[v\left( 2 \right) = {2^3} + \frac{{{2^2}}}{2} + 2 = 12{\rm{ }}\left( {m/s} \right)\].
Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ mặt đất. Giả sử tại thời điểm \[t\] giây (coi \[t = 0\] là thời điểm viên đạn được bắn lên trên), vận tốc của nó được cho bởi \[v\left( t \right) = 25 - 9,8t{\rm{ }}\left( {m/s} \right)\]. Độ cao của viên đạn (tính từ mặt đất lên) đạt giá trị lớn nhất là
\[\frac{{125}}{{49}}.\]
\[\frac{{1125}}{{98}}.\]
\[\frac{{2375}}{{392}}.\]
\[\frac{{3125}}{{98}}.\]
Đáp án đúng là: D
Ta có phương trình độ cao của viên đạn là:
\[h\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt} = \int {\left( {25 - 9,8t} \right)} dt = 25t - 4,9{t^2} + C.\]
Do coi \[t = 0\] là thời điểm viên đạn được bắn lên trên nên C = 0.
Suy ra \[h\left( t \right) = 25t - 4,9{t^2} = - 4,9{\left( {t - \frac{{125}}{{49}}} \right)^2} + \frac{{3125}}{{98}}\].
Nhận thấy \[ - 4,9{\left( {t - \frac{{125}}{{49}}} \right)^2} + \frac{{3125}}{{98}} \le \frac{{3125}}{{98}}\] do đó, độ cao của viên đạn đạt giá trị lớn nhất bằng \[\frac{{3125}}{{98}}\] khi \[t = \frac{{125}}{{49}}\].
Một vật chuyển động đều với vận tốc có phương trình \[v\left( t \right) = {t^2} - 2t + 1\], trong đó \[t\] được tính bằng giây, quãng đường \[s\left( t \right)\] được tính bằng mét. Khi đó, quãng đường vật đi được tại thời điểm gia tốc bị triệt tiêu là
1 m.
\[\frac{2}{3}\] m.
\[\frac{1}{3}\] m.
\[\frac{4}{3}\] m.
Đáp án đúng là: C
Ta có: Phương trình biểu diễn quãng đường của vật là \[s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)} dt = \int {\left( {{t^2} - 2t + 1} \right)dt} \]
Suy ra \[s\left( t \right) = \frac{{{t^3}}}{3} - {t^2} + t.\]
Ta có phương trình gia tốc là \[a\left( t \right) = v'\left( t \right) = 2t - 2\].
Thời điểm gia tốc bị triệt tiêu là \[a\left( t \right) = 0\] hay \[t = 1.\]
Quãng đường đi được của vật khi gia tốc bị triệt tiêu là \[s\left( 1 \right) = \frac{{{1^3}}}{3} - {1^2} + 1 = \frac{1}{3}\] (m).
Một ô tô đang chạy với vận tốc 19 m/s thì hãm phanh và chuyển động chậm dần với tốc độ \[v\left( t \right) = 19 - 2t\] (m/s). Kể từ khi hãm phanh, quãng đường ô tô đi được sau 5 giây là bao nhiêu?
70 m.
9 m.
29 m.
85 m.
Đáp án đúng là: A
Ta có phương trình biểu diễn quãng đường của ô tô là
\[s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt} = \int {\left( {19 - 2t} \right)dt = 19t - {t^2} + C} \] (m).
Ta có: \[s\left( 0 \right) = 0\] nên C = 0.
Suy ra \[s\left( t \right) = 19t - {t^2}\].
Vậy sau 5 giây kể từ khi hãm phanh tức t = 5, quãng đường ô tô đi được là
\[s\left( 5 \right) = 19.5 - {5^2} = 70\]m.
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đạo hàm \[f'\left( x \right) = 12x + 2\] với mọi \[x \in \mathbb{R}\] và \[f\left( 1 \right) = 3.\] Biết \[F\left( x \right)\] là nguyên hàm của \[f\left( x \right)\] thỏa mãn \[F\left( 0 \right) = 2\]. Tính giá trị của \[F\left( 1 \right).\]
\[F\left( 1 \right) = 1.\]
\[F\left( 1 \right) = 0.\]
\[F\left( 1 \right) = 9.\]
\[F\left( 1 \right) = 14.\]
Đáp án đúng là: B
Ta có: \[f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx = 6{x^2} + 2x + C.} \]
Mà \[f\left( 1 \right) = 3\]nên \[{6.1^2} + 2.1 + C = 3\] hay C = −5.
Suy ra \[f\left( x \right) = 6{x^2} + 2x - 5.\]
Lại có, \[F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx = 2{x^3} + {x^2} - 5x + {C_1}} \].
Mà \[F\left( 0 \right) = 2\] nên \[{C_1} = 2\].
Suy ra \[F\left( x \right) = 2{x^3} + {x^2} - 5x + 2\]. Vậy \[F\left( 1 \right) = 0\].
