20 câu trắc nghiệm Toán 12 Cánh diều Bài 1. Nguyên hàm (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án
20 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN
Biết \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K. Khẳng định nào dưới đây đúng?
\(\int {2f\left( x \right)dx} = 2F'\left( x \right) + C\).
\(\int {2f\left( x \right)dx} = 2f\left( x \right) + C\).
\(\int {2f\left( x \right)dx} = 2F\left( x \right) + C\).
\(\int {2f\left( x \right)dx} = F\left( {2x} \right) + C\).
Chọn C
\(\int {2f\left( x \right)dx} = 2F\left( x \right) + C\).
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) cùng liên tục trên ℝ. Khẳng định nào sau đây đúng?
\(\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} = \int {f\left( x \right)dx} + \int {g\left( x \right)dx} \).
\(\int {\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}dx} = \frac{{\int {f\left( x \right)dx} }}{{\int {g\left( x \right)dx} }}\).
\(\int {kf\left( x \right)dx} = k\int {f\left( x \right)dx} ,\forall k \in \mathbb{R}\).
\(\int {\left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]dx} = \int {f\left( x \right)dx} .\int {g\left( x \right)dx} \).
Chọn C
\(\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} = \int {f\left( x \right)dx} + \int {g\left( x \right)dx} \).
Biết \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên ℝ. Tìm \(G\left( x \right) = \int {\left[ {f\left( x \right) - 1} \right]dx} \).
\(G\left( x \right) = xF\left( x \right) - x + C\).
\(G\left( x \right) = F\left( x \right) - x + C\).
\(G\left( x \right) = xF\left( x \right) - 1 + C\).
\(G\left( x \right) = F\left( x \right) - 1 + C\).
Chọn B
\(G\left( x \right) = \int {\left[ {f\left( x \right) - 1} \right]dx} = \int {f\left( x \right)dx} - \int {dx} = F\left( x \right) - x + C\).
Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + 2\) là
\(F\left( x \right) = 2x\).
\(F\left( x \right) = {x^3} + 2x + C\).
\(F\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + 2x + C\).
\(F\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + 2 + C\).
Chọn C
\(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {{x^2} + 2} \right)} dx = \frac{{{x^3}}}{3} + 2x + C\).
Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 2{x^3} - 9\) là
\(\frac{1}{2}{x^4} - 9x + C\).
\(4{x^4} - 9x + C\).
\(\frac{1}{4}{x^4} - 9x + C\).
\(\frac{1}{2}{x^4} - 9x\).
Chọn A
\(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {2{x^3} - 9} \right)dx} = \frac{1}{2}{x^4} - 9x + C\).
Nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + {x^2}\) là
\(\frac{1}{2}{x^4} + \frac{1}{3}{x^3} + C\).
\(3{x^2} + 2x + C\).
\({x^3} + {x^2} + C\).
\({x^4} + {x^3} + C\).
Chọn A
\(\int {f\left( x \right)} dx = \int {\left( {{x^3} + {x^2}} \right)dx} = \frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{{x^3}}}{3} + C\).
Tìm nguyên hàm của hàm số \(y = - 4{x^3} + 2{x^2} + x - 4\).
\( - {x^4} + \frac{2}{3}{x^3} + \frac{{{x^2}}}{2} - 4x + C\).
\( - {x^4} + \frac{2}{3}{x^3} + 2{x^2} - 4x - 1 + C\).
\( - {x^4} + \frac{2}{3}{x^3} + \frac{{{x^2}}}{2} - x - 2 + C\).
\( - \frac{3}{4}{x^4} + \frac{2}{3}{x^3} + \frac{{{x^2}}}{2} - 4x + C\).
Chọn A
\(\int {\left( { - 4{x^3} + 2{x^2} + x - 4} \right)dx} = - {x^4} + \frac{2}{3}{x^3} + \frac{{{x^2}}}{2} - 4x + C\).
Tính \(\int {{{\left( {4x + 2} \right)}^2}dx} \) ta được kết quả
\(\frac{8}{3}{x^3} + 16{x^2} + 4x + C\).
\(\frac{{25}}{3}{x^3} + 8{x^2} + 4x + C\).
\(\frac{{16}}{3}{x^3} + 8{x^2} + 4x + C\).
\(\frac{{16}}{3}{x^3} + 8{x^2} + 7x + C\).
Chọn C
\(\int {{{\left( {4x + 2} \right)}^2}dx} = \int {\left( {16{x^2} + 16x + 4} \right)dx} \)\( = \frac{{16{x^3}}}{3} + 8{x^2} + 4x + C\).
Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số \(y = 12{x^5}\)?
\(y = 12{x^6} + 5\).
\(y = 2{x^6} + 3\).
\(y = 12{x^4}\).
\(y = 60{x^4}\).
Chọn B
Vì \(y' = {\left( {2{x^6} + 3} \right)^\prime } = 12{x^5}\) nên \(y = 2{x^6} + 3\) là một nguyên hàm của hàm số \(y = 12{x^5}\).
Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 1 + 2x + 3{x^2}\) thỏa mãn \(F\left( 1 \right) = 2\). Tính \(F\left( 0 \right) + F\left( { - 1} \right)\)
\( - 3\).
\( - 4\).
\(3\).
\(4\).
Chọn A
\[F\left( x \right) = \int {\left( {1 + 2x + 3{x^2}} \right)} dx = x + {x^2} + {x^3} + C\] .
Mà \(F\left( 1 \right) = 1 + {1^2} + {1^2} + C = 2 \Rightarrow C = - 1\). Khi đó \[F\left( x \right) = x + {x^2} + {x^3} - 1\].
Khi đó \[F\left( 0 \right) = - 1,F\left( { - 1} \right) = - 2\]. Vậy \(F\left( 0 \right) + F\left( { - 1} \right) = - 3\).
PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2x - 1\) và \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} \).
a) \(F'\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2x - 1\).
b) Hàm số \(y = \frac{1}{4}{x^4} - {x^3} + {x^2} - x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\).
c) \(F\left( x \right) = \frac{1}{4}{x^4} - {x^3} + {x^2} - x\).
d) Biết \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = 1\). Khi đó \(F\left( 1 \right) = \frac{5}{4}\).
a) Do \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} \) nên \(F'\left( x \right) = f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2x - 1\).
b) \(y' = {x^3} - 3{x^2} + 2x - 1 = f\left( x \right)\).
c) Do \(y = \frac{1}{4}{x^4} - {x^3} + {x^2} - x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) nên \(F\left( x \right) = \frac{1}{4}{x^4} - {x^3} + {x^2} - x + C\).
d) Có \(F\left( 0 \right) = C = 1 \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{1}{4}{x^4} - {x^3} + {x^2} - x + 1\).
Suy ra \(F\left( 1 \right) = \frac{1}{4}\).
Đáp án: a) Đúng;b) Đúng; c) Sai;d) Sai.
Một ô tô đang chạy với tốc độ 72 km/h thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường. Người lái xe phản ứng một giây sau đó bằng cách đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với tốc độ \(v\left( t \right) = - 10t + 30\) (m/s), trong đó \[t\] là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi \(s\left( t \right)\) là quãng đường xe ô tô đi được trong \(t\) giây kể từ lúc đạp phanh.
a) Công thức biểu diễn hàm số \(s\left( t \right) = - 5{t^2} + 30t + 72\) (m).
b) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi ô tô dừng hẳn là 3 giây.
c) Sau 3 giây kể từ lúc đạp phanh, quãng đường xe ô tô di chuyển được là 45 m.
d) Quãng đường xe ô tô đã di chuyển kể từ lúc người lái xe phát hiện chướng ngại vật trên đường đến khi ô tô dừng hẳn là 120 m.
a) Ta có \(s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt} = \int {\left( { - 10t + 30dt} \right) = - 5{t^2} + 30t + C} \).
Do \(s\left( 0 \right) = 0\) nên C = 0.
Vậy \(s\left( t \right) = - 5{t^2} + 30t\) (m).
b) Xe ô tô dừng hẳn khi \(v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 10t + 30 = 0 \Leftrightarrow t = 3\).
c) Sau 3 giây kể từ lúc đạp phanh, quãng đường xe ô tô di chuyển được là
\(s\left( 3 \right) = - {5.3^2} + 30.3 = 45\) m.
d) Ta có 72 km/h = 20 m/s.
Vậy quãng đường xe ô tô đã di chuyển kể từ lúc người lái xe phát hiện chướng ngại vật trên đường đến khi xe ô tô dừng hẳn là 20 + 45 = 65 (m).
Đáp án: a) Sai;b) Đúng; c) Đúng;d) Sai.
Cho \(F\left( x \right)\)là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 3{x^2} + 2x - 4\).
a) Nếu \(F\left( 1 \right) = 0\) thì \(F\left( 2 \right) = 6\).
b) Nếu \(F\left( 0 \right) = 0\)thì \(F\left( { - 1} \right) = - 4\).
c) \(F\left( 1 \right) - F\left( { - 1} \right) = - 6\).
d) \(F\left( 1 \right) + F\left( 2 \right) - 2F\left( 0 \right) = 2\).
\(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)} dx = \int {\left( {3{x^2} + 2x - 4} \right)dx} = {x^3} + {x^2} - 4x + C\).
a) \(F\left( 1 \right) = 0 \Rightarrow - 2 + C = 0 \Rightarrow C = 2\).
Khi đó \(F\left( x \right) = {x^3} + {x^2} - 4x + 2\). Do đó \(F\left( 2 \right) = 6\).
b) \(F\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0\).
Khi đó \(F\left( x \right) = {x^3} + {x^2} - 4x\). Do đó \(F\left( { - 1} \right) = 4\).
c) Có \(F\left( 1 \right) - F\left( { - 1} \right) = - 2 + C - \left( {4 + C} \right) = - 6\).
d) \(F\left( 1 \right) + F\left( 2 \right) - 2F\left( 0 \right) = - 2 + C + 4 + C - 2C = 2\).
Đáp án: a) Đúng;b) Sai; c) Đúng;d) Đúng.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = 2{x^2} - x - 3,\forall x \in \mathbb{R}\). Biết \(F\left( x \right)\)là nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) và tiếp tuyến của \(F\left( x \right)\) tại \(M\left( {0;2} \right)\) có hệ số góc bằng 0.
a) \(f'\left( { - 1} \right) = 0\).
b) \(f\left( x \right) = \frac{2}{3}{x^3} - \frac{{{x^2}}}{2} - 3x\).
c) \(f\left( 2 \right) = - \frac{7}{3}\).
d) \(F\left( 1 \right) = \frac{1}{2}\).
a) \(f'\left( { - 1} \right) = 2.{\left( { - 1} \right)^2} - \left( { - 1} \right) - 3 = 0\).
b) \(f\left( x \right) = \int {\left( {2{x^2} - x - 3} \right)dx} = \frac{2}{3}{x^3} - \frac{{{x^2}}}{2} - 3x + C\).
Vì tiếp tuyến của \(F\left( x \right)\) tại \(M\left( {0;2} \right)\)có hệ số góc bằng 0 nên f(0) = 0 \( \Rightarrow C = 0\).
Do đó \(f\left( x \right) = \frac{2}{3}{x^3} - \frac{{{x^2}}}{2} - 3x\).
c) \(f\left( 2 \right) = \frac{2}{3}{.2^3} - \frac{{{2^2}}}{2} - 3.2 = - \frac{8}{3}\).
d) \(F\left( x \right) = \int {\left( {\frac{2}{3}{x^3} - \frac{{{x^2}}}{2} - 3x} \right)dx} = \frac{{{x^4}}}{6} - \frac{{{x^3}}}{6} + 3.\frac{{{x^2}}}{2} + C\).
Mà \(F\left( 0 \right) = 2 \Rightarrow C = 2\). Do đó \(F\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{6} - \frac{{{x^3}}}{6} + 3.\frac{{{x^2}}}{2} + 2\).
Do đó \(F\left( 1 \right) = \frac{{{1^4}}}{6} - \frac{{{1^3}}}{6} + 3.\frac{{{1^2}}}{2} + 2 = \frac{7}{2}\).
Đáp án: a) Đúng;b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2x + 1\).
a) \(\int {f\left( x \right)dx} = {x^2} + x + C\).
b) \(\int {\left( {x - 1} \right)f\left( x \right)dx} \)\( = \frac{2}{3}{x^3} - \frac{{{x^2}}}{2} - x + C\).
c) Nếu \(G\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) với \(G\left( 2 \right) = 5\) thì \(G\left( x \right) = {x^2} + x - 1\).
d) Gọi \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\), biết \(F\left( 1 \right) = 2\) và \(\frac{1}{{F\left( 1 \right)}} + \frac{1}{{F\left( 2 \right)}} + ... + \frac{1}{{F\left( {99} \right)}} + \frac{1}{{F\left( {100} \right)}} = \frac{a}{b}\) (\(a,b \in \mathbb{N},\frac{a}{b}\) tối giản) thì \(a + b = 201\).
a) \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {2x + 1} \right)dx} = {x^2} + x + C\).
b) \(\int {\left( {x - 1} \right)f\left( x \right)dx} \)\( = \int {\left( {x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)dx} \)\( = \int {\left( {2{x^2} - x - 1} \right)dx} \)\( = \frac{2}{3}{x^3} - \frac{{{x^2}}}{2} - x + C\).
c) \(G\left( x \right) = {x^2} + x + C\). Có \(G\left( 2 \right) = 6 + C = 5 \Rightarrow C = - 1\).
Do đó \(G\left( x \right) = {x^2} + x - 1\).
d) \(F\left( x \right) = {x^2} + x + C\). Có \(F\left( 1 \right) = 2 + C = 2 \Rightarrow C = 0\).
Do đó \(F\left( x \right) = {x^2} + x = x\left( {x + 1} \right)\).
Khi đó \(F\left( 1 \right) = 1.2;F\left( 2 \right) = 2.3;...;F\left( {99} \right) = 99.100;F\left( {100} \right) = 100.101\).
Khi đó \(\frac{1}{{F\left( 1 \right)}} + \frac{1}{{F\left( 2 \right)}} + ... + \frac{1}{{F\left( {99} \right)}} + \frac{1}{{F\left( {100} \right)}} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + ... + \frac{1}{{99.100}} + \frac{1}{{100.101}}\)
\( = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{99}} - \frac{1}{{100}} + \frac{1}{{100}} - \frac{1}{{101}} = 1 - \frac{1}{{101}} = \frac{{100}}{{101}}\).
Suy ra \(a = 100;b = 101\). Do đó \(a + b = 201\).
Đáp án: a) Đúng;b) Đúng; c) Đúng;d) Đúng.
PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN
\(F\left( x \right)\)là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^2}\). Tính \(F'\left( {25} \right)\).
Vì \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^2}\) nên \(F'\left( x \right) = f\left( x \right) = {x^2} \Rightarrow F'\left( {25} \right) = {25^2} = 625\).
Trả lời: 625.
Cá hồi Thái Bình Dương đến mùa sinh sản chúng thường bơi từ biển đến thượng nguồn con sông để đẻ trứng trên sỏi đá rồi chết. Khi nghiên cứu một con cá hồi sinh sản người ta phát hiện ra một quy luật nó chuyển động trong nước yên lặng là \(s\left( t \right) = - \frac{{{t^2}}}{{10}} + 4t\), với t (giờ) là khoảng thời gian từ lúc con cá bắt đầu chuyển động và s (km) là quãng đường con cá bơi trong khoảng thời gian đó. Nếu thả con cá hồi vào dòng nước có vận tốc dòng nước chảy là 2 km/h. Tính khoảng cách (km) xa mà con cá hồi có thể bơi ngược dòng nước đến nơi đẻ trứng.
Vận tốc của con cá là \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = - \frac{t}{5} + 4\).
Vận tốc thực của cá khi bơi ngược dòng là \(v\left( t \right) - 2 = - \frac{t}{5} + 2\).
Có \(s\left( t \right) = \int {\left( { - \frac{t}{5} + 2} \right)dt} = - \frac{{{t^2}}}{{10}} + 2t + C\).
Mà \(S\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0\) \( \Rightarrow S\left( t \right) = - \frac{{{t^2}}}{{10}} + 2t = - \frac{1}{{10}}\left( {{t^2} - 20t} \right) = - \frac{1}{{10}}{\left( {t - 10} \right)^2} + 10 \le 10\).
Vậy khoảng cách xa nhất mà cá hồi có thể bơi ngược dòng để đẻ trứng là 10 km.
Trả lời: 10.
Trong thí nghiệm nuôi cấy một loại vi sinh vật, giả sử \(f\left( x \right)\) là tổng số lượng vi sinh vật sau x giờ làm thí nghiệm. Biết rằng sau 3 giờ đầu tiên thì tổng số lượng vi sinh vật là 50 con. Trong 7 giờ tiếp theo, số lượng vi sinh vật thay đổi với tốc độ tăng trưởng là \(f'\left( x \right) = {x^2} + 8x\) (con/giờ). Tính số lượng vi khuẩn sau 6 giờ tính từ lúc bắt đầu làm thí nghiệm.
Số lượng vi sinh vật tại thời điểm \(x\) giờ chính là
\(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} = \int {\left( {{x^2} + 8x} \right)dx} = \frac{{{x^3}}}{3} + 4{x^2} + C\).
Có \(f\left( 3 \right) = 50\)\( \Rightarrow C = 5\).
Vậy \(f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + 4{x^2} + 5\).
Khi đó \(f\left( 6 \right) = \frac{{{6^3}}}{3} + {4.6^2} + 5 = 221\).
Trả lời: 221.
Biết rằng hàm số \(F\left( x \right) = x + 2024\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\); hàm số \(G\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{4} + 2025\) là một nguyên hàm của hàm số \(g\left( x \right)\). Gọi \(H\left( x \right) = \int {f\left( x \right).g\left( x \right)dx} \), biết \(H\left( 4 \right) = 4\). Tính \(H\left( 1 \right)\).
Ta có \(f\left( x \right) = F'\left( x \right) = 1;g\left( x \right) = G'\left( x \right) = \frac{x}{2}\).
Ta có \(H\left( x \right) = \int {f\left( x \right).g\left( x \right)dx} = \int {\frac{x}{2}dx} = \frac{{{x^2}}}{4} + C\).
Vì \(H\left( 4 \right) = 4\) nên \(C = 0\). Do đó \(H\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{4}\).
Suy ra \(H\left( 1 \right) = \frac{1}{4} = 0,25\).
Trả lời: 0,25.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm là \(f'\left( x \right) = 12{x^2} + 2,\forall x \in \mathbb{R}\) và \(f\left( 1 \right) = 3\). Biết \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = 2\). Tính \(F\left( 1 \right)\).
Ta có \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} = \int {\left( {12{x^2} + 2} \right)dx} = 4{x^3} + 2x + C\).
Mà \(f\left( 1 \right) = 3 \Rightarrow C = - 3\). Do đó \(f\left( x \right) = 4{x^3} + 2x - 3\).
Lại có \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {4{x^3} + 2x - 3} \right)dx} = {x^4} + {x^2} - 3x + C\).
Mà \(F\left( 0 \right) = 2 \Rightarrow C = 2\). Do đó \(F\left( x \right) = {x^4} + {x^2} - 3x + 2\).
Vậy \(F\left( 1 \right) = {1^4} + {1^2} - 3.1 + 2 = 1\).
Trả lời: 1.
