ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Hàm số y = f(x) đồng biến trên D nên:

Với mọi $x_1,x_2\in D$ mà$x_1>x_2$  thì $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$

Đáp án cần chọn là: A

Vì $y=f\left(x\right)$ nghịch biến trên (−5;5) nên $f^{\text{'}}\left(x\right)\le 0,\forall x\in \left(-5;5\right)$ Vậy $f\text{'}\left(0\right)\le 0$.

Đáp án cần chọn là: B

Hàm số $y=f\text{'}\left(x\right)$ dương trong khoảng $\left(2;+\infty \right)$

⇒  Hàm số $y=f\left(x\right)$đồng biến trên $\left(2;+\infty \right)$

Đáp án cần chọn là: C

Ta có:$f\text{'}\left(x\right)=x^2-4>0\iff \left\{\begin{array}{c}x>2\\ x<-2\end{array}\right.$ và $f^{\text{'}}\left(x\right)=x^2-4<0\iff -2<x<2$

Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng $\left(-\infty ;-2\right)$và $\left(2;+\infty \right);$nghịch biến trên khoảng (−2;2).

Đáp án cần chọn là: A

Từ bảng biến thiên ta thấy:$f^{\text{'}}\left(x\right)>0$ trên (2;3) nên hàm số đồng biến trên (2;3).

$f^{\text{'}}\left(x\right)<0$ trên $\left(-\infty ;2\right)$và $\left(3;+\infty \right)$ nên hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left(-\infty ;2\right)$và $\left(3;+\infty \right)$
Đáp án cần chọn là: B

Đáp án A: Nếu $f\text{'}\left(x\right)\ge 0,\forall x\in (a;b)$ thì f(x) chưa chắc đã đồng biến trên (a;b), chẳng hạn hàm số $y=f\left(x\right)=2$  có $f^{\text{'}}\left(x\right)=0\ge 0,\forall x$ nhưng đây là hàm hằng nên không đồng biến, do đó A sai.

Đáp án B: Nếu $f\text{'}\left(x\right)>0,\forall x\in (a;b)$ thì f(x) đồng biến trên (a;b) đúng.

Đáp án C: Nếu $f\text{'}\left(x\right)=0,\forall x\in (a;b)$ thì f(x) không đổi trên (a;b), chưa chắc nó đã có giá trị bằng 0 nên C sai.

Đáp án D: Nếu $f\text{'}\left(x\right)\le 0,\forall x\in (a;b)$ thì f(x) không đổi trên (a;b) sai.

Đáp án cần chọn là: B

Ta có:$f^{\text{'}}\left(x\right)=2x^2\ge 0,\forall x\in R$ và $f^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff x=0$ nên hàm số đồng biến trên R.

Đáp án cần chọn là: A

Dựa vào đồ thị hàm số ta có hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến trên các khoảng $\left(-\infty ;0\right)$và $\left(2;+\infty \right).$

Hàm số $y=f\left(x\right)$ nghịch biến trên (0;2).

Xét hàm số: $y=-2f\left(x\right)$ ta có: $y^{\text{'}}=-2f^{\text{'}}\left(x\right).$

Hàm số đồng biến $\iff -2f^{\text{'}}\left(x\right)\ge 0\iff f^{\text{'}}\left(x\right)\le 0\iff 0\le x\le 2.$

Vậy hàm số $y=-2f\left(x\right)$ đồng biến ⇔ $x\in \left[0;2\right].$

Đáp án cần chọn là: A

A, B sai vì hàm số chỉ nghịch biến trên các khoảng $\left(-\infty ;-2\right)$và (0;2)

TXĐ: R.

Ta có:

$y^{\text{'}}=-4x^3-4x=-4x(x^2+1)$

$\Rightarrow y^{\text{'}}=0\iff x=0$

nên nó đồng biến trên khoảng (−1;2).

TXĐ: D=R

Ta có: $y^{\text{'}}=3{\text{x}}^2-6\text{x}$

$\Rightarrow y^{\text{'}}=0\iff x=0$ hoặc x=2

Ta có: $y^{\text{'}}=x^2+2m\text{x}-m$

Ta có : $y^{\text{'}}=-3x^2-2x+m$

Trường hợp 1: $m<0$

Dễ thấy hàm số trên khoảng (0;1) đồng biến với mọi $m<0$ (loại)

Trường hợp 2: $m=0$

Với $m=0$ thì $y^{\text{'}}=3x^2\ge 0$ nên hàm số đồng biến trên RR .

Do đó hàm số đồng biến trên (0;1) (loại)

Trường hợp 3: $m>0$

 

Dễ thấy hàm số trên khoảng (0;1) nghịch biến $\iff 2m\ge 1\iff m\ge \frac{1}{2}$

Đáp án cần chọn là: A

Hàm số nghịch biến trên

$\left(-2;0\right)\Rightarrow y^{\text{'}}⩽0,\forall x\in \left(-2;0\right)\iff x^2-4mx+4m⩽0,\forall x\in \left(-2;0\right)$

$\iff x^2-4m\left(x-1\right)⩽0\iff 4m\left(x-1\right)⩾x^2\iff 4m⩽\frac{x^2}{x-1}$(vì −2<x<0)

Ta có: $y^{\text{'}}=f^{\text{'}}\left(x-1\right)+2x-2=0\iff f^{\text{'}}\left(x-1\right)+2\left(x-1\right)=0$

Ta có $y^{\text{'}}=\frac{m^2-4}{{\left(2x+m\right)}^2}$

ĐKXĐ :

$\left\{\begin{array}{c}2x^3+3x^2+6x+16⩾0\\ 4-x⩾0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}(x+2)(2x^2-x+8)⩾0\\ 4-x⩾0\end{array}\right.\iff -2⩽x⩽4$

Đặt $h\left(x\right)=4f\left(x\right)+x^2$ ta có $h^{\text{'}}\left(x\right)=4f\left(x\right)+2x=4\left[f^{\text{'}}\left(x\right)+\frac{x}{2}\right]$