ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Hàm số y = f(x) đồng biến trên D nên:

Với mọi x1,x2∈D màx1>x2  thì fx1>fx2

Đáp án cần chọn là: A

Vì y=fx  nghịch biến trên (−5;5) nên f'x≤0,∀x∈−5;5 Vậy f'0≤0.

Đáp án cần chọn là: B

Hàm số y=f'x  dương trong khoảng 2;+∞

⇒  Hàm số y=fx đồng biến trên 2;+∞

Đáp án cần chọn là: C

Bước 1:

Đặt gx=fx−2x−1⇒fx=x−1gx+2

⇒limx→1fx=limx→1x−1gx+2=2

Bước 2:

Ta có:

limx→1fx−2x2−1fx+1=limx→1fx−2x−1.1x+1fx+1=12.12.2+1=2

Ta có:f'(x)=x2−4>0⇔x>2x<−2 và f'x=x2−4<0⇔−2<x<2

Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng −∞;−2 và 2;+∞;nghịch biến trên khoảng (−2;2).

Đáp án cần chọn là: A

Từ bảng biến thiên ta thấy:f'x>0 trên (2;3) nên hàm số đồng biến trên (2;3).

f'x<0 trên −∞;2và 3;+∞ nên hàm số nghịch biến trên các khoảng −∞;2và 3;+∞
Đáp án cần chọn là: B

Đáp án A: Nếu f'(x)≥0,∀x∈(a;b)  thì f(x) chưa chắc đã đồng biến trên (a;b), chẳng hạn hàm số y=fx=2  có f'x=0≥0,∀x nhưng đây là hàm hằng nên không đồng biến, do đó A sai.

Đáp án B: Nếu f'(x)>0,∀x∈(a;b)  thì f(x) đồng biến trên (a;b) đúng.

Đáp án C: Nếu f'(x)=0,∀x∈(a;b)  thì f(x) không đổi trên (a;b), chưa chắc nó đã có giá trị bằng 0 nên C sai.

Đáp án D: Nếu f'(x)≤0,∀x∈(a;b)  thì f(x) không đổi trên (a;b) sai.

Đáp án cần chọn là: B

Ta có:f'x=2x2≥0,∀x∈R và f'x=0⇔x=0 nên hàm số đồng biến trên R.

Đáp án cần chọn là: A

Dựa vào đồ thị hàm số ta có hàm số y=fx  đồng biến trên các khoảng −∞; 0và 2; +∞.

Hàm số y=fx  nghịch biến trên (0;2).

Xét hàm số: y=−2fx ta có: y'=−2f'x.

Hàm số đồng biến ⇔−2f'x≥0⇔f'x≤0⇔0≤x≤2.

Vậy hàm số y=−2f(x)  đồng biến ⇔ x∈0;2.

Đáp án cần chọn là: A

A, B sai vì hàm số chỉ nghịch biến trên các khoảng −∞;−2và (0;2)

D sai vì hàm số chỉ đồng biến trên khoảng (−2;0) và 2;+∞

C đúng vì giá trị thấp nhất của y trên bảng biến thiên là 0.

Đáp án cần chọn là: C

TXĐ: R.

Ta có:

y'=−4x3−4x=−4x(x2+1)

⇒y'=0⇔x=0

Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm nghịch biến trên khoảng 0;+∞

Đáp án cần chọn là: D

fx=−2x3+3x2+12x−5⇒f'x=−6x2+6x+12=0⇔x=2;x=−1

Ta có: y'<0,∀x∈−∞;−1∪2;+∞ nên hàm số nghịch biến trên các khoảng −∞;−1;2;+∞ và y'>0,∀x∈−1;2

nên nó đồng biến trên khoảng (−1;2).

Đối chiếu với các đáp án đã cho ta thấy các Đáp án A, B, C đều đúng vì các khoảng đó đều là khoảng nằm trong khoảng nghịch biến hoặc đồng biến của hàm số, chỉ có đáp án D sai.

Đáp án cần chọn là: D

 

TXĐ: D=R

Ta có: y'=3x2−6x

⇒y'=0⇔x=0 hoặc x=2

Ta có bảng biến thiên

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng −∞;0và 2;+∞

Đáp án cần chọn là: B

Ta có: y'=x2+2mx−m

Vì nên a=1>0 hàm số đồng biến trên R

⇔x2+2mx−m≥0,∀x∈R⇔=m2+m≤0⇔−1≤m≤0

Đáp án cần chọn là: B

Ta có : y'=−3x2−2x+m

Để hàm số y là hàm số nghịch biến trên R thì y'≤0,∀x∈R

⇔−3x2−2x+m≤0,∀x∈R

⇔−3<0Δ'=1+3m≤0⇔m≤−13

Đáp án cần chọn là: B

Ta có: y'=3x2−6mx⇒y'=0⇔x=0

Trường hợp 1: m<0

Dễ thấy hàm số trên khoảng (0;1) đồng biến với mọi m<0 (loại)

Trường hợp 2: m=0

Với m=0 thì y'=3x2≥0 nên hàm số đồng biến trên RR .

Do đó hàm số đồng biến trên (0;1) (loại)

Trường hợp 3: m>0

 

Dễ thấy hàm số trên khoảng (0;1) nghịch biến ⇔2m≥1⇔m≥12

Đáp án cần chọn là: A

Ta có: y'=x2−4mx+4m

Hàm số nghịch biến trên

−2;0⇒y'⩽0,∀x∈−2;0⇔x2−4mx+4m⩽0,∀x∈−2;0

⇔x2−4mx−1⩽0⇔4mx−1⩾x2⇔4m⩽x2x−1(vì −2<x<0)

Xét hàm gx=x2x−1trên (−2;0) ta có:

g'(x)=x2−2x(x−1)2=0⇔x=0∉(−2;0)x=2∉(−2;0)⇒g'(x)>0,∀x∈(−2;0)

Do đó hàm số y=gx đồng biến trên (−2;0)

Suy ra g−2<gx<g0,∀x∈−2;0 hay −43<gx<0,∀x∈−2;0

Khi đó 4m≤gx,∀x∈−2;0⇔4m≤−43⇔m≤−13

Vậy m⩽−13

Đáp án cần chọn là: B

 

Ta có:

g'x=f1−x'=1−x'f'1−x=−f'1−x

=−1−x21−x−21−x2−61−x+m

=−1−x2−1−xx2+4x+m−5=x−12x+1x2+4x+m−5

Hàm số g(x) nghịch biến trên −∞;−1
⇔g'x≤0,∀x∈−∞;−1⇔x+1x2+4x+m−5≤0,∀x∈−∞;−1
⇔x2+4x+m−5≥0,∀x∈−∞;−1 (do x+1<0,∀x∈−∞;−1 ⇔hx=x2+4x−5≥−m  ∀x∈−∞;−1⇔−m≤min−∞;−1hxTa có: h'x=2x+4=0⇔x=−2

BBT:

Dựa vào BBT ta có −m≤−9⇔m≥9

Mà m∈−2019;2019và m nguyên nên m∈9;10;11;...;2019 hay 

có 2019−9+1=2011giá trị của m thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: C

Ta có: y'=f'x−1+2x−2=0⇔f'x−1+2x−1=0

Đặt t=x−1 ta có f't+2t=0⇔f't−−2t=0

Vẽ đồ thị hàm số y=f't và y=−2t trên cùng mặt phẳng tọa độ ta có:

Xét  y'≥0⇔f't≥−2t⇒ Đồ thị hàm số y=f'(t)  nằm trên đường thẳng y=−2t.

Xét x∈1;2⇒t∈0;1⇒ thỏa mãn.

Xét x∈−1;0⇒t∈−2;−1⇒ Không thỏa mãn.

Xét x∈0;1⇒t∈−1;0⇒ Không thỏa mãn.

Xét  x∈−2;−1⇒t∈−3;−2⇒ Không thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: A

Ta có y'=m2−42x+m2

Để hàm số đã cho nghịch biến thì y′ < 0

⇔m2−4<0⇒−2<m<2

Đáp án cần chọn là: B

ĐKXĐ :

2x3+3x2+6x+16⩾04−x⩾0⇔(x+2)(2x2−x+8)⩾04−x⩾0⇔−2⩽x⩽4

Tập xác định:  D=−2;4

Xét hàm số

f(x)=2x3+3x2+6x+16−4−x

⇒f'(x)=6x2+6x+622x3+3x2+6x+16+124−x>0

Suy ra hàm số f(x) đồng biến trên tập xác định

Ta nhận thấy phương trình f1=23⇒với x≥1thì fx⩾f1=23

Suy ra tập nghiệm của bất phương trình là 1;4

Do đó tổng a+b=5.

Đáp án cần chọn là: A

Đặt hx=4fx+x2 ta có h'x=4fx+2x=4f'x+x2

Số nghiệm của phương trình h'(x)=0  là số giao điểm của đồ thị hàm số y=f'(x) và đường thẳng y=−x2.

Vẽ đồ thị hàm số y=f'(x) và đường thẳng y=−x2 trên cùng mặt phẳng tọa độ ta có:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy h'(x)=0⇔x=−2x=0x=4

Khi đó ta có BBT hàm số y=h(x):

Khi đó ta suy ra được BBT hàm số gx=hx như sau:

Dựa vào BBT và các đáp án ta thấy hàm số g(x) đồng biến trên (0;4)

Đáp án cần chọn là: B