ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Bài toán cực trị có tham số đối với một số hàm số cơ bản

TXĐ: D=R

TH1: m=0→y=x−1.

Hàm số không có cực trị.

TH2: m≠0

Ta có: y=mx33−mx2+x−1⇒y'=mx2−2mx+1.

Để hàm số cho có cực đại, cực tiểu thì phương trình  y'=0 phải có 2 nghiệm phân biệt

⇒Δ'=m2−m>0⇔m<0m>1

Đáp án cần chọn là: B

 

y=−x4+2mx2⇒y'=−4x3+4mx=−4xx2−m⇒y'=0⇔x=0x2=m

Để hàm số có ba điểm cực trị thì phương trình y'=0  có ba nghiệm phân biệt hay phương trình x2=m  có hai nghiệm phân biệt ≠0  hay m>0

Đáp án cần chọn là: C

y'=8x3−2m+1x=2x4x2−m+1⇒y'=0⇔x=04x2=m+1 (1)

Ta có yêu cầu bài toán để hàm số có một điểm cực trị ⇔y'=0có 1 nghiệm duy nhất ⇔(1) có 1 nghiệm x = 0 hoặc (1) vô nghiệm ⇔m+1⩽0⇔m⩽−1

Đáp án cần chọn là: D

TXĐ D=ℝ

y'=−x2+23mx⇒y''=−2x+23m

Hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 2

⇔y'(2)=0y''(2)<0⇔−22+23m.2=0−2.2+23m.<0⇔−4+43m=0−4+23m<0⇔m=3m<6⇔m=3

Đáp án cần chọn là: C

TXĐ: D=R

Ta có: y'=3x2−4mx+m2⇒y''=6x−4m

Để x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số  thì:

y'(1)=0y''(1)>0⇔m2−4m+3=06−4m>0⇔m=1;m=3m<32⇔m=1.

Đáp án cần chọn là: D

y=x3−3m+1x2+m2+3m+2x+3

y'=3x2−6m+2x+m2+3m+2

Để cực tiểu và cực đại của đồ thị hàm số y nằm về hai phía của trục tung thì x1x2<0, với x1,x2 là hai nghiệm của phương trình y'=0.

⇔3(m2+3m+2)<0⇔m2+3m+2<0⇔−2<m<−1

Đáp án cần chọn là: B

y'=x2−2mx+2m−4

Để hàm số có cực đại cực tiểu ⇔>0,∀m⇔m2−2m+4>0,∀m

Khi đó phương trình y'=0 có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn 
x1+x2=−ba=2mx1x2=ca=2m−4
Ta có: x12+x22=x1.x2+10⇔(x1+x2)2−2x1x2−x1x2−10=0⇔(x1+x2)2−3x1x2−10=0⇔(2m)2−3.(2m−4)−10=0⇔4m2−6m+2=0⇔m=1m=12

Đáp án cần chọn là: C

Ta có: y'=3x2−6x+3m

Hàm số có 2 điểm cực trị nhỏ hơn 2 ⇔y′ có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn

x1<x2<2⇔Δ'>0a.f(2)>0S2<2⇔9−9m>03.(3.22−6.2+3m)>01<2(∀m)⇔m<1m>0

⇔0<m<1

Đáp án cần chọn là: C

Ta có: y'=4x3−4mx=0⇔x=0x2=m

Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị ⇔ pt y'=0  có 3 nghiệm phân biệt ⇔m>0

⇒x=0x=mx=−m

⇒ Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là: A(0;2);   B(−m;2−m2);  C(m;2−m2)

AB→=−m;−m2,AC→=m;−m2

Dễ thấy ΔABC cân tại A, để ΔABC vuông cân thì nó phải vuông tại A

⇒AB→.AC→=0⇔−m+m4=0⇔m(m3−1)=0⇔m=0m3−1=0

⇔m=0m=1

Kết hợp điều kiện m > 0 ta có m = 1

Đáp án cần chọn là: C

y'=4x3+4(1−m2)xy'=0⇔4x3+4(1−m2)x=0⇔4x(x2+1−m2)=0⇔x=0x2=m2−1⇔x=0x=±m2−1

Điều kiện để hàm số có 3 cực trị: m2−1>0⇔m>1m<−1

x=0⇒A0;m+1x=−m2−1⇒y=−m2−14+21−m2−m2−12+m+1⇒y=m2−12−2m2−12+m+1=−m2−12+m+1⇒B−m2−1;−m2−12+m+1x=m2−1⇒Cm2−1;−m2−12+m+1

SABC=42⇔12AH.BC=42⇔yA−yC.HC=42⇔yA−yC.xC=42⇔m+1+m2−12−m−1.m2−1=42⇔m2−12.m2−1=42⇔m2−15=32⇔m2−1=2⇔m2=3⇔m=±3

 

 m=±3 thỏa mãn điều kiện m>1m<−1

Đáp án cần chọn là: C

y'=4x3−4mxy'=0⇔4x3−4mx=0⇔4x(x2−m)=0⇔x=0x=±m

Điều kiện để hàm số có 3 cực trị: m > 0

x=0⇒A0; m2+mx=−m⇒y=−m4−2m−m2+m2+m=m2−2m2+m2+m=m⇒B−m; mx=m⇒Cm; m

AB→=(−m;−m2),AC→=(m;−m2)BAC^=1200

⇔AB→.AC→AB→.AC→=cos1200⇔−m+m4m+m4.m+m4=−12⇔2(m4−m)=−(m+m4)⇔3m4−m=0⇔m(3m3−1)=0⇔m=0(loai)m=133

Đáp án cần chọn là: A

Có: yx=x3+3mx2−3x⇒y'x=3x2+6mx−3

Phương trình đường thẳng d đi qua 2 cực trị của (C) nên xo;yo∈d thỏa mãn:

y'(xo)=0yo=x03+3mx02−3xo⇔3x02+6mxo−3=0yo=xo(x02+2mo2)−3x0+mx02⇔x02+2mxo=1yo=−2xo+mxo2⇔xo2=−2mxo+1yo=−2xo+m(−2mxo+1)⇒yo=−2(m2+1)xo+m

Đáp án cần chọn là: B

y'=6x2−6m+1x+6m

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A,B ⇔ phương trình y'=0 có hai nghiệm phân biệt

⇔=9m+12−36m>0⇔9m2−18m+9>0⇔9m−12>0⇔m≠1

Khi đó,

y=y'.13x−m+16+4m−m+12x+mm+1

Đường thẳng AB:y=4m−m+12x+mm+1 có hệ số góc k=4m−m+12

Đường thẳng d: y=x−9 có hệ số góc k=1

AB⊥d⇔[4m−m + 12].1=−1⇔4m−m2−2m−1=−1⇔−m2+2m=0⇔m=0m=2

Đáp án cần chọn là: C

Hàm số g(x) có duy nhất một cực trị ⇔ pt g'x=0có đúng một nghiệm x0 thỏa mãn g′(x) đổi dấu qua nghiệm đó.

Theo đề bài ta có: g'x=fx+m

⇒g'x=0⇔fx+m=0⇔fx=−m =>Số nghiệm của pt g'(x)=0  là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng y = −m.

Quan sát đồ thị ta thấy đường thẳng y = −m cắt đồ thị hàm số y = f(x)) tại một điểm duy nhất

⇔−m<0−m>4⇔m>0m<−4

Ngoài ra, với m = 0 hoặc m = −4 thì đồ thị hàm số y=fx  có hai điểm chung với đường thẳng y=m  nhưng một điểm là điểm tiếp xúc nên phương trình g'(x)=0  có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm kép và một nghiệm đơn.

Nên trong trường hợp này, hàm số  y=gx  vẫn chỉ có một cực trị.

Vậy m≥0  hoặc m≤−4.

Đáp án cần chọn là: B

 

Ta có y'=3x2+12x+3m+2=3x2+4x+m+2.

Yêu cầu bài toán⇔y'=0có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn x1<−1<x2

- Hàm số có hai điểm cực trị ⇔=4−m+2=2−m>0⇔m<2

Hai điểm cực trị thỏa mãn x1<−1<x2  ⇔ phương trình y'=0 có hai nghiệm phân biệt ⇔y'−1<0⇔m<1.

Đáp án cần chọn là: B

 

Ta có y'=6x2+2mx−12.

Do ∆'=m2+72>0,∀m∈ℝ nên hàm số luôn có hai điểm cực trị x1,x2với x1,x2là hai nghiệm của phương trình y'=0.

Theo định lí Viet, ta có x1+x2=−m3.

Gọi Ax1;y1 và Bx2;y2là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Yêu cầu bài toán  ⇔x1=x2⇔x1=−x2  (do x1≠x2)

⇔x1+x2=0⇔−m3=0⇔m=0.

Đáp án cần chọn là: D

Ta có: y'=3x2−6mx=3x(x−2m);y'=0⇔x=0x=2m

Đề đồ thị hàm số có hai điểm cực trị  ⇔m≠0

Khi đó tọa độ hai điểm cực trị là A0;4m2−2 và B2m;4m2−4m3−2

Do I(1;0) là trung điểm của AB nên xA+xB=2xIyA+yB=2yI

0+2m=2(4m2−2)+(4m2−4m3−2)=0⇔m=1 thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: C

TXĐ: D=ℝ

Ta có y=x2+mx−5x2+1=1+mx−6x2+1

Suy ra y'=mx2+1−2xmx−6x2+12=−mx2+12x+mx2+12

Để hàm số đã cho có hai cực trị thì phương trình y'=0 có hai nghiệm phân biệt hay −mx2+12x+m=0 có hai nghiệm phân biệt. Ta có ∆'=36+m2>0; ∀m nên hàm số luôn có hai cực trị.

Phương trình đường thẳng AB qua hai điểm cực trị là

y=2−mx−4.−5−4=m2x−5

Đường thẳng AB qua điểm I(1;−3) nên −3=m2.1−5⇔m=4

Suy ra m0=4

Đáp án cần chọn là: D

Hàm số fx=xx2+1−m có TXĐ D=ℝ

Xét hàm số gx=xx2+1−m  ta có:

g'x=x2+1−x.2xx2+12=−x2+1x2+12=0⇔x=±1

⇒ Hàm số y=gx  có 2 điểm cực trị.

Xét phương trình hoành độ giao điểm

xx2+1−m=0⇔x−mx2+1x2+1=0⇔−mx2+x−m=0, phương trình có Δ=1−4m2 chưa xác định dấu nên có tối đa 2 nghiệm.

 

 Vậy hàm số fx=xx2+1−m có tối đa 2+2=4cực trị.

 

Đáp án cần chọn là: D

 

Để đồ thị hàm sốy=mx3−2m−1x2+2mx−m−1 có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành thì phương trình mx3−2m−1x2+2mx−m−1=0  ∗ phải có 3 nghiệm phân biệt.

Ta có: 

mx3−(2m−1)x2+2mx−m−1=0⇔(x−1)[mx2−(m−1)x+m+1]=0⇔x=1mx2−(m−1)x+m+1=0(∗∗)

Để (*) có ba nghiệm phân biệt thì (**) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1.

⇔m≠0m.1−(m−1).1+m+1≠0Δ=(m−1)2−4m(m+1)>0⇔m≠0m−m+1+m+1≠0m2−2m+1−4m2−4m>0⇔m≠0m≠−2−3m2−6m+1>0⇔m≠0m≠−2−3−233<m<−3+233

Mà m∈ℤ⇒m=−1

Vậy có 1 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: C

Bước 1:

Số điểm cực trị của hàm sốy=fxlà 2m+1 trong đó m là số điềm cực trị dương của hàm số y=fx

Do đó để hàm sốy=fx  có đúng 3 điểm cực trị thì m=1⇒ hàm sốy=fxphải có 1 điểm cực trị dương (*).

Bước 2:

Ta có: f'x=x2+2mx+m2−4

Xét f'x=0 có ∆'=m2−m2+4>0  ∀m  nên f'x=0 có 2 nghiệm phân biệt

x1=−m+2x2=−m−2

Bước 3:

∗⇒−m−2≤0<−m+2⇔−2≤m<2

Mà m∈ℤ⇒m∈−2;−1;0;1

Vậy có 4 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: C

Ta có:  y'=x2−2x+m2−8m+16

Để hàm số đã cho có cực trị thì phương trình y'=0 phải có 2 nghiệm phân biệt.

⇒Δ'=1−m2+8m−16>0⇔−m2+8m−15>0⇔3<m<5

Mà m∈ℤ⇒m=4

Vậy có 1 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

=>k = 1

Hàm số y=f(x)  có 3 cực trị

 

⇔ y'=0 có 3 nghiệm phân biệt

⇔(1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0

⇔m > 0.

Gọi 3 điểm cực trị của hàm số lần lượt là A(0;a);B(−m;b);C(m;c) Khi đó:

+)x=0⇒A(0;3m+2)+)x=−m⇒y=(-m)4-2m.(-m)2+3m+2=m2−2m2+3m+2=−m2+3m+2⇒B(−m;−m2+3m+2)+)x=m⇒y=−m2+3m+2⇒C(m;−m2+3m+2)

Ta luôn có AB=AC nên tam giác ABC đều

⇔AB=BC⇔AB2=BC2⇔m2+-m22=2m2+02⇔m+m4=4m⇔m4−3m=0⇔m(m3−3)=0⇔m=0m=33

Kết hợp điều kiện m>0⇒m=33

Đáp án cần chọn là: A

Xét hàm số fx=3x4−4x3−12x2 ta có

f'(x)=12x3−12x2−24xf'(x)=0⇔12x3−12x2−24x=0⇔x=0x=−1x=2

BBT:

Ta có đồ thị y=fx  C như sau:

Để y=3x4−4x3−12x2+m có 5 điểm cực trị thì:

TH1: (C) cắt đường thẳng y = −m tại 2 điểm phân biệt khác cực trị

⇔−m>0−32<−m<−5⇔m<05<m<32

Mà m∈ℤ+ ⇒m∈6;7;...;31 26 giá trị.

TH2: (C) cắt đường thẳng y = −m tại 3 điểm phân biệt, trong đó có 1 cực trị

⇔−m=0−m=−5⇔m=0(L)m=5(TM)

Vậy, có tất cả 27 giá trị của m thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: B

ĐKXĐ: D=ℝ∖−1

Ta có:  y=x2+mx+2mx+1=x+m−1+m+1x+1

⇒y'=1−m+1x+12=x2+2x−mx+12

Để hàm số đã cho có 2 cực trị thì phương trình y'=0 phải có 2 nghiệm phân biệt khác −1
⇔Δ'=1+m>01−2−m≠0⇔m>−1m≠−1⇔m>−1

Khi đó, giả sử  x1,  x2 là nghiệm phân biệt của phương trình y'=0, áp dụng định lí Vi-ét ta có x1+x2=−2x1.x2=−m

Đặt Ax1;x1+m−1+m+1x1+1,  Bx2;x2+m−1+m+1x2+1 là hai điểm cực trị của hàm số.

Để tam giác OAB vuông tại O thì OA→.OB→=0

⇔x1.x2+(x1+m−1+m+1x1+1)(x2+m−1+m+1x2+1)=0

⇔2x1.x2+(m−1)(x1+x2)+(m+1)(x1x2+1+x2x1+1)

+(m−1)2+(m2−1)(1x1+1+1x2+1)+(m+1)2(x1+1)(x2+1)=0

⇔2x1.x2+(m−1)(x1+x2)+(m+1)x12+x22+x1+x2x1x2+x1+x2+1

+(m−1)2+(m2−1)x1+x2+2x1x2+x1+x2+1+(m+1)2x1x2+x1+x2+1

x1.x2+(m−1)(x1+x2)+(m+1)(x1+x2)2−2x1x2+x1+xx1x2+x1+x2+1

+(m−1)2+(m2−1)x1+x2+2x1x2+x1+x2+1+(m+1)2x1x2+x1+x2+1

⇔−2m−2(m−1)+(m+1).2+2m−m−1+(m−1)2+(m+1)2−m−1=0

⇔−2m−2m+2−2−2m+m2−2m+1−m−1=0

⇔m2−9m=0⇔m=0m=9tm

⇒S=0;9

Vậy tổng tất cả các phần tử của S là 9.

Đáp án cần chọn là: A

Đạo hàm : y'=x2−2ax−3a,y'=0⇔x2−2ax−3a=0    1

Hàm số có hai cực trị x1,x2 khi y'=0 có hai nghiệm phân biệt  ⇔>0⇔a<−3 hoặc a > 0

Khi đó x1,x2 là nghiệm pt (1), theo định lý Viet : x1+x2=2ax1.x2=−3a

Do đó, thay 2a=x1+x23a=−x1.x2 vào đẳng thức bài cho ta được:

x12+2ax2+9a=x12+(x1+x2)x2−3x1x2=x12−2x1x2+x22=(x1+x2)2−4x1x2=4a2+12ax12+2ax1+9a=x12+(x1+x2)x1−3x1x2=x12−2x1x2+x2=(x1+x2)2−4x1x2=4a2+12a

Theo đề bài, ta có : 4a+12a+a4a+12=2⇔4a+12a=1⇔a=−4

Đáp án cần chọn là: B

y'=4x3−4m2x;y'=0⇔x=0x=±m

Để hàm số có 3 cực trị thì phương trình y'=0 có 3 nghiệm, hay m≠0

Không mất tính tổng quát giả sử 3 điểm cực trị có tọa độA0;  m4+3,Bm;3,C−m;3

Ta có AC→−m;−m4;  OC→−m;3

Tứ giác OBAC có AB=ACOB=OC

Suy ra OA là đường trung trực của BC.

Để tứ giác OBAC nội tiếp đường tròn thì điểm B, C phải nhìn cạnh OA dưới góc 90∘

Khi đó AC→.OC→=0⇔m2−3m4=0⇔m=0:Lm=±13:T/m

Đáp án cần chọn là: C

Vì điểm M(a;b) thuộc đồ thị (Cm) nên ta có: a−m3−3a+m2=b,∀m∈ℝ    1

Xét y'=3x−m2−3;y'=0⇔x=m−1x=m+1

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta có:

Nếu m1 là giá trị của tham số m để đồ thị hàm số nhận điểm M(a;b) là điểm cực đại thì a=m1−1. Nếu m2 là giá trị của tham số m để đồ thị hàm số nhận điểm M(a;b) là điểm cực tiểu thì a=m2+1

Do đó m1=a+1,m2=a−1

Mà m1,m2 phải thỏa mãn (1)nên ta có: −1−3a+(a+1)2=b1−3a+(a−1)2=b⇔a=12b=−14

Vậy S=2018a+2020b=504

Đáp án cần chọn là: A

Tập xác định D=ℝ

Ta có y'=4x3−4mx=4xx2−m

Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị ⇔m≥0

Khi đó: y'=4mx3−4mx=0⇔x=0x=±m

Suy ra: Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị làA0;m−1,B−m;−m2+m−1,Cm;−m2+m−1Ta có: SΔABC=12yB−yA.xC−xB=m2mAB=AC=m4+m,BC=2m

Gọi R=1 là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Diện tích tam giác ABC là:

SΔABC=AB.AC.BC4R=2mm4+m4

m2m=2mm4+m4⇔2m=m3+1

 

⇔m−1m2+m−1=0

⇔m=1m2+m−1=0⇔m=1m=−1+52m=−1−52l

Vậy: m=1 hoặc m=−1+52
Đáp án cần chọn là: A

Ta có

y'=x3[8x4+5x(m−2)−4(m2−4)]=0

⇔x=0g(x)=8x4+5x(m−2)−4(m2−4)=0

Do x=0 là một nghiệm của đạo hàm nên hàm số đạt cực tiểu tại x=0⇔y′ đổi dấu từ − sang + khi qua nghiệm x=0

*) TH1: x=0 là nghiệm của g(x) hay m=±2

Với m = 2  thì gx=0 có nghiệm x=0bội 4 theo kết quả ở trên thì x=0là nghiệm bội 7  của y′  nên x=0 là điểm cực tiểu của hàm số nên chọn m=2.

Với m=−2 thì g(x) có nghiệm x=0và 1 nghiệm dương, lúc này x=0là nghiệm bội 4 của f′(x) nên x=0không là điểm cực trị của hàm số. Loại m=−2

*) TH2:x=0 không là nghiệm của g(x) hay m≠±2. Ta có g0=−4m2−4

 

y'=x3gx đổi dấu từ − sang + qua nghiệm x=0khi và chỉ khi limx→0+g(x)>0limx→0−g(x)>0

⇔−4m2−4>0⇔m2−4<0⇔−2<m<2

 

Do m nguyên nên m∈−1;0;1

Kết hợp hai trường hợp ta được m∈−1;0;1;2

Đáp án cần chọn là: C

Ta có: f(x)=x3+ax2+bx−2

+)f0=−2<0;f(1)=a+b−1>0 nên f0.f1<0

⇒ phương trình fx=0 có ít nhất 11 nghiệm x1∈0;1

+)f2=23+2a+b<0 nên f1.f2<0

⇒ phương trình fx=0 có ít nhất 1 nghiệm x2∈1;2

Do đó phương trình fx=0 có ít nhất hai nghiệm và đồ thị hàm số 
 chỉ có thể có dạng:

Khi đó, đồ thị hàm số y=fx (màu tím) và y=fx (màu cam) lần lượt có đồ thị như sau:

Như vậy, hàm số y=fx có tất cả 11 cực trị.

Đáp án cần chọn là: D