ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Bài toán tiếp tuyến của đồ thị và sự tiếp xúc của hàm số

Ta có y'=x3+x

⇒ Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x=−1  là k=y'(−1)=−2

Đáp án cần chọn là: C

Đối với hàm số y=5x+1x+1 thì y'=4x+12>0,∀x≠−1

⇒ Hệ số góc của tiếp tuyến luôn dương.

Đối với hàm số: y=2x+1x+1 thì y'=1x+12>0,∀x≠−1

⇒ Hệ số góc của tiếp tuyến luôn dương.

Đối với hàm số

y=13x3+x2+4x+1=>y'=x2+2x+4=(x+1)2+3>0,∀x

⇒ Hệ số góc của tiếp tuyến luôn dương.

Xét hàm số y=1x+1 Có giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là: A(0;1)

Có y'=−1x+12<0 ∀x≠1⇒y'0<0
⇒ Hệ số góc của tiếp tuyến tại A có hệ số âm.

Đáp án cần chọn là: D

Hoành độ tiếp điểm của hai đồ thị hàm số là nghiệm của hệ phương trình:

f(x)=g(x)f'(x)=g'(x)⇔x3+54x−2=x2+x−23x2+54=2x+1

⇔x3−x2+14x=03x2−2x+14=0x=0x=12x=12x=16⇔x=12

Vậy x=12 là hoành độ điểm tiếp xúc.

Đáp án cần chọn là: B

Bước 1:  Gọi tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị hàm số là A(0;2).

Bước 2: Phương trình tiếp tuyến tại điểm A có dạng y=y'0x−0+2.

Ta cóy'=−6x2+4⇒y'0=4. Do đó phương trình tiếp tuyến là y=4x+2.

Đáp án cần chọn là: B

Ta có:y'=−4x3+12x⇒y'=0⇔x=0 hoặcx=3 hoặc x=−3

Ta có bảng biến thiên

Quan sát bảng biến thiên ta thấy tiếp điểm là (0;−5) và y'0=0.

Vậy phương trình đường tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là y=−5

Đáp án cần chọn là: B

Giả sử x0;y0 là điểm thuộc đồ thị hàm số (C) có tiếp tuyến đi qua gốc tọa độ O

Ta có: y'=4x3−4x

Ta có phương trình đường thẳng tiếp tuyến tại điểm x0;y0

y=4x03−4x0x−x0+y0⇔y=4x03−4x0x−x0+x04−2x02

Thay (0;0) vào phương trình trên ta được:

0=(4x03−4x0)(0−x0)+x04−2x02

⇔−3x04+2x02=0⇔x02(−3x02+2)=0⇔x0=0x0=±23
Vậy có ba điểm có tiếp tuyến đi qua gốc tọa độ.

Đáp án cần chọn là: D

Tiếp tuyến (d) song song với đường thẳng y=−2x+5 nên có hệ số góc .

Suy ra y'=−2 hay x2−4x+1=−2⇔x−1x−3=0

⇒x=1,y=43x=3,y=−4

Với x=1;y=43 thì d1:y=−2x−1+43 hay d1:y=−2x+103
Với x=3;y=−4 thì d2:y=−2x−3−4 hay d2:y=−2x+2
Đáp án cần chọn là: A

Ta có: y'=6x2−12x+18

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm x0;y0 có hệ số góc k=y'x0

Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y=12x nên:

k=12⇔6x02−12x0+18=12⇔x0−12=0⇔x0=1⇒y0=15

⇒y=12x−1+15⇒y=12x+3

Vậy a=12,b=3⇒a+b=15

Đáp án cần chọn là: A

Xét hàm số:y=x3−3x2+5x−2 trên R 

Có y'=3x2−6x+5=3x−12+2⩾2.

Dấu “=” xảy ra x=1.

Với x=1⇒y=1.

Vậy đường thẳng cần tìm là: y−1=2x−1⇔y=2x−1.

Đáp án cần chọn là: B

Giả sử M(a;b) là điểm thuộc đồ thị hàm sao cho tiếp tuyến Δtại đó có hệ số góc nhỏ nhất là k.

⇒Δ:y=y'a.(x−a)+b

Do kmin⇒3a2−2amin

Xét 3a2−2.13a+19=3a−132≥0⇔3a2−2a+13≥0⇔3a2−2a≥−13

⇒k=−13 khi a=13⇒b=2527

Đáp án cần chọn là: D

Ta có: y'=4x3−4m+1x⇒y'1=−4m

Vì tiếp tuyến Δ vuông góc với đường thẳng d nên 

k.−14=−1⇔k=4=y'1=−4m

Vậy m thỏa mãn đề bài là  m=−1

Đáp án cần chọn là: A

TXĐ: D=R∖1

Ta có: y'=−1x−12

Gọi Mxo;yo là điểm thuộc đồ thị hàm số (C). Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm M là:

 

Δ:  y=y'xox−xo+yo=−1xo−12x−xo+2xo−1xo−1

Gọi AxA;0 là giao điểm của Δ và trục Ox;B0;yB  là giao điểm của Δ và trục Oy.

⇒xA=2x02−2xo+1yB=2x02−2xo+1(xo−1)2

Theo đề bài ta có tiếp tuyến tại M và hai trục tọa độ tạo thành tam giác cân

⇒ tam giác OAB cân tại O

⇔OA=OB⇔xA=yB

⇔2x02−2xo+1=2x02−2xo+1(xo−1)2=0

⇔2x02−2xo+1=01−1(xo−1)2(xo−1)2=0⇔(xo−1)2=1

⇔x0=0tmx0=2tm

Khi đó ta có hai điểm M là: M(0;1) và M(2;3)

Đáp án cần chọn là: B

Ta có: y'=x2−2mx−6m

Gọi điểm M(x;y) là điểm cố định của đồ thị hàm số.

Khi đó:

y=fx=x33−mx2−6mx−9m+12⇔−(x2+6x+9).m+x33+12−y=0,∀m

⇔−(x2+6x+9)=0x33+12−y=0⇔(x+3)2=0x33+12−y=0⇔x=−3y=3

Do đó M(−3;3) là điểm cố định thuộc đồ thị (Cm).

⇒y'−3=9

Vậy phương trình tiếp tuyến cố định của đồ thị hàm số (Cm) tại M là:

y=9x+3+3=9x+30

Đáp án cần chọn là: D

Ta có y'=3x2+12x+9;y''=6x+12=0⇔x=−2

Điểm uốn của đồ thị hàm số là U(−2;1)

Xét đường thẳng d đi qua U(−2;1) có phương trình y=kdx+2+1 hay y=kdx+2kd+1

d cắt Ox,Oy lần lượt tại A−2kd+1kd;0,B0;2kd+1

OA=2017.OB⇔2kd+1kd=20172kd+1⇔kd=±12017;kd=−12

Nếu kd=−12 thì y=−12x nên A≡B  (loại)

Khi đó ta có hệ số góc của d là kd=±12017
Do đó có 2 đường thẳng d thỏa mãn

Từ đó suy ra có 2 giá trị k thỏa mãn bài toán.

Đáp án cần chọn là: C

Ta có: y'=1x+22

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d đã cho và (H)

−2x+m=2x+3x+2⇔x+2−2x+m=2x+3⇔−2x2+m−4x+2m=2x+3⇔2x2+6−mx+3−2m=0∗

d cắt (H) tại 2 điểm phân biệt ⇔ Phương trình (*) có 2  nghiệm phân biệt khác −2

⇔Δ=(6−m)2−8(3−2m)>02.(−2)2+(6−m).(−2)+3−2m≠0⇔m2+4m+12>0−1≠0 (luôn đúng)

Gọi hoành độ giao điểm hai điểm A,B lần lượt là x1,x2 khi đó: x1+x2=m−62x1x2=3−2m2

Ta có:

k1.k2=1x1+22.1x2+22=1x1+2x2+22

=1x1x2+2x1+x2+42=13−2m2+2.m−62+42

=13−2m+2m−12+822=4

Khi đó P=k12018+k22018≥2k1k21009=2.41009=22019

Dấu “=” xảy ra khi k1=k2=2 hay hai tiếp tuyến tại hai giao điểm song song.

Điều này chỉ xảy ra khi hai giao điểm này đối xứng với nhau qua tâm đối xứng I của đồ thị (H) hay dd đi qua I(−2;2) là giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

⇔I∈d⇔2=−2.−2+m⇔m=−2

Đáp án cần chọn là: B

Để đồ thị hàm số (Cm) tiếp xúc với trục Ox thì phương trình hoành độ giao điểm phải có hai nghiệm phân biệt.

 

Ta có: y=0⇔x3+mx2−9x−9m=0(1)

⇔x+mx2−9=0
⇔x=−mx=±3

Để (1) có 2 nghiệm phân biệt ⇔m=±3.

Đáp án cần chọn là: A

Gọi Mx0;y0  thuộc đồ thị hàm số.

Ta có y'=3x2−2m−1x+m−1

Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M là

k=y'x0=3x02−2m−1x0+m−1

Theo bài ra ta có:

k>0∀x∈ℝ

⇔3x02−2(m−1)x0+m−1>0∀x∈ℝ

⇔3>0 (luon  dung)Δ'=(m−1)2−3(m−1)<0∀x∈ℝ

⇔m2−2m+1−3m+3<0

⇔m2−5m+4<0

⇔1<m<4

Mà m∈ℤ⇒S=2;3

Vậy tập hợp S có 2 phần tử.

Đáp án cần chọn là: D

TXĐ:D=ℝ∖2 Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận là x = 2 và y = 2

Ta có y'=−2x−22. Gọi Mm; 2m−2m−2 thuộc đồ thị hàm số.

Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại M:y=−2m−22x−m+2m−2m−2

Cho x=2⇒y=−2m−222−m+2m−2m−2

⇔y=2m−2+2m−2m−2=2mm−2

⇒ Giao điểm của d và đường thẳng x = 2 là A2; 2mm−2

Cho y=2⇒−2m−22x−m+2m−2m−2=2

⇔−2x−m+2m−2m−2=2m−22⇔−2x+2m+2m2−6m+4=2m2−8m+8⇔2x=4m−4⇔x=2m−2

⇒ Giao điểm của d và đường thẳng y=2 là B2m−2; 2

Ta có: AB=25⇔2m−42+2−2mm−22=20

⇔4(m−2)2+16(m−2)2=20

⇔(m−2)4−5(m−2)2+4=0

⇔(m−2)2=1(m−2)2=4⇔m=3m=1m=4m=0

Vậy S=3+1+4+0=8
Đáp án cần chọn là: C

y'=4x3−4m2x;y'=0⇔x=0x=±m

Để hàm số có 3 cực trị thì phương trình y'=0 có 3 nghiệm, hay m≠0

Không mất tính tổng quát giả sử 3 điểm cực trị có tọa độ A0;  m4+3;Bm;3;C−m;3

Ta có AC→−m;−m4;  OC→−m;3

Tứ giác OBAC có AB=ACOB=OC

Suy ra OA là đường trung trực của BC.

Để tứ giác OBAC nội tiếp đường tròn thì điểm B, C phải nhìn cạnh OA dưới góc 90⁰.

Khi đó AC→.OC→=0⇔m2−3m4=0⇔m=0:Lm=±13:T/m

Đáp án cần chọn là: C

Đường tròn γ: x2+y−12=4có tâm I0; 1,R=2

Ta có A1; 1−m;y'=4x3−4mx⇒y'1=4−4m

Suy ra phương trình Δ:y=4−4mx−1+1−m

Dễ thấy Δ luôn đi qua điểm cố định F34; 0 và điểm F nằm trong đường tròn γ

Giả sử Δ cắt γ tại M, N. Thế thì ta có:

MN=2R2−d2I; Δ=24−d2I; Δ

Do đó MN nhỏ nhất ⇔dI; Δ lớn nhất ⇔dI; Δ=IF⇒Δ⊥IF

Khi đó đường Δ có 1 vectơ chỉ phươngu→⊥IF→=34; −1;u→=1;  4−4m nên ta có: u→.IF→=0⇔1.34−4−4m=0⇔m=1316

Đáp án cần chọn là: C

Gọi Ax0; y0∈C.

Khi đó tiếp tuyến của (C) tại A cắt (C) tại hai điểm phân biệt

Mx1; y1, Nx2; y2  M, N≠A có hệ số góc là: k=y1−y2x1−x2=4.

Mặt khác:

k=f'(x0)⇒4=23x3−143x⇔x03−7x0−6=0

⇔x0=−2x0=−1x0=3

Kiểm tra lại từng trường hợp x0=−2;−1;3 ta thấy trường hợp x0=3  thì tiếp tuyến chỉ có duy nhất 1 điểm chung với đồ thị nên loại.

Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: D