ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Nếu$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }y=+\infty$ thì đường thẳng $x=x_0$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Đáp án cần chọn là: B

Đồ thị hàm số có TCN là $y=-\frac{1}{3}$

Đáp án cần chọn là: D

Đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận $x=-2;y=1$
 nên giao 2 đường tiệm cận là I(−2;1).

Đáp án cần chọn là: D

Ta có$\underset{x\to \infty }{\lim }\text{}y=\underset{x\to \infty }{\lim }\text{}\frac{ax+b}{2x+c}=\frac{a}{2}\Rightarrow y=\frac{a}{2}$ là tiệm cận ngang của ĐTHS $\Rightarrow \frac{a}{2}=2\Rightarrow a=4.$

Và$\underset{x\to -\frac{c}{2}}{\lim }\text{}y=\underset{x\to -\frac{c}{2}}{\lim }\text{}\frac{ax+b}{2x+c}=\infty \Rightarrow x=-\frac{c}{2}$ là tiệm cận đứng của ĐTHS $\Rightarrow -\frac{c}{2}=1\Rightarrow c=-\text{}2.$

Vậy tổng $a+c=4-2=2.$

Đáp án cần chọn là: B

Ta có $\underset{x\to \infty }{\lim }y=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{2018}{x-2}=0\Rightarrow \text{}y=0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Và $\underset{x\to 2}{\lim }y=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{2018}{x-2}=\infty \Rightarrow \text{}x=2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận.

Đáp án cần chọn là: A

Vì $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }y=2$ nên $y=2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vì $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }y=-\infty$ nên $x=1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Đáp án cần chọn là: C

Dễ dàng tính được $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\frac{1}{2}$ và $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=-\frac{1}{2}$ do đó $y=\pm \frac{1}{2}$ là hai tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Đáp án cần chọn là: B

Dễ thấy đa thức dưới mẫu có hai nghiệm $x=1$ và $x=-2$ và hai nghiệm này đều không phải nghiệm của tử thức.

⇒ Đồ thị hàm số đã cho có 2 tiệm cận đứng.

Đáp án cần chọn là: C

Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận là

- Tiệm cận đứng $x=2$

- Tiệm cận ngang $y=-1$

Đáp án cần chọn là: C

Ta có: $y=\frac{x^2-3x-1}{x+1}=x-4+\frac{3}{x+1}$

Do đó đường thẳng $y=x-4$ là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Đáp án cần chọn là: D

$y=\frac{2mx+m}{x-1}\left|{}_{\underrightarrow{TCN}y=2m}^{\underrightarrow{TCD}x=1}\right.$

$S=8\iff \left|2m\right|.\left|1\right|=8\iff \left|2m\right|=8\iff 2m=\pm 8\iff m=\pm 4$

Đáp án cần chọn là: C

$y=\frac{x-2}{x^2-2x+m}$

$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x-2}{x^2-2x+m}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}}{1-\frac{2}{x}+\frac{m}{x^2}}=0$

Suy ra $y=0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Để đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận ⇔ Đồ thị hàm số phải có hai đường tiệm cận đứng 

$\iff x^2-2x+m=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác 2

$\iff \left\{\begin{array}{c}\Delta \text{'}>0\\ 2^2-2.2+m\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}1-m>0\\ m\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}m<1\\ m\ne 0\end{array}\right.$

Đáp án cần chọn là: D

Cách 1: Thử đáp án

Với $m=0$ ta có $x=00$ là nghiệm của đa thức $2x^2-3\text{x}$ trên tử

$\Rightarrow y=2\text{x}-3\left(x\ne 0\right)$ không có tiệm cận đứng.

Với $m=1$ ta có $x=1$ là nghiệm của đa thức$2x^2-3\text{x + 1}$ trên tử

$\Rightarrow y=2\text{x}-1\left(x\ne 1\right)$ không có tiệm cận đứng.

Cách 2: Chia đa thức

Để hàm số không có tiệm cận đứng thì tử số phải chia hết cho mẫu số

$\iff 2m^2-2m=0\iff m=0$ hoặc m = 1

Đáp án cần chọn là: B

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1}{f\left(x\right)+2}=\frac{1}{\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)+\underset{x\to -\infty }{\lim }2}=\frac{1}{-1+2}=1\Rightarrow$ Đồ thị hàm số$y=\frac{1}{f\left(x\right)+2}$ có TCN y=1

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{f\left(x\right)+2}=\frac{1}{\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)+\underset{x\to +\infty }{\lim }2}=\frac{1}{m+2}$

Để đồ thị hàm số $y=\frac{1}{f\left(x\right)+2}$ có duy nhất một tiệm cận ngang thì$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{f\left(x\right)+2}$ hoặc là không xác định hoặc là bằng 1.

Khi đó $\left[\begin{array}{c}m+2=0\\ m+2=1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}m=-2\\ m=-1\end{array}\right.$

Vậy có 2 giá trị thực của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: C

Ta có:$\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{f\left(x\right)-1}=\frac{1}{2-1}=1$ do đó đồ thị hàm số có TCN y=1

$\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1}{f\left(x\right)-1}=0$ do đó đồ thị hàm số có TCN y=0.

Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{1}{f\left(x\right)-1}$ là số nghiệm của phương trình $f\left(x\right)=1.$

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng $y=1$ cắt đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ tại 4 điểm phân biệt nên phương trình $f\left(x\right)=1$ có 4 nghiệm phân biệt. Suy ra đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số có tổng cộng 6 đường tiệm cận.

Đáp án cần chọn là: B

ĐKXĐ: $x\ge 1,f\left(x\right)\ne 0,f\left(x\right)\ne 1$

Nhận xét: $f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ là hàm số bậc ba, đồng thời, quan sát đồ thị ta thấy:

$+)f\left(x\right)=0$ có 2 nghiệm phân biệt$x=x_1(0<x_1<1)\left(ktm\right)$ (nghiệm đơn) và x = 2(nghiệm kép).

+) $f\left(x\right)=1$ có 3 nghiệm phân biệt x = 1  (nghiệm đơn),$x=x_2(1<x_2<2)$ (nghiệm đơn) và $x=x_3\left(x_3>2\right)$  (nghiệm đơn).

Khi đó hàm số $y=g\left(x\right)$ được viết dưới dạng :

Do đó, đồ thị hàm số g(x) có 3 đường tiệm cận đứng là: $x=x_2,x=2,x=x_3.$

Đáp án cần chọn là: B

+ Nếu $a=0$ thì $y=\frac{1}{x+2}$ đồ thị hàm số này có tiệm cận đứng $x=-2$ và tiệm cận ngang $y=0$ nên A, C sai.

+ Nếu$a\ne 0$ thì $y=ax+a+\frac{1}{x+2}$ nên$y=ax+a$ là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Khi đó $y=ax+a\iff a\left(x+1\right)-y=0$ luôn đi qua điểm (−1;0) với mọi $a\ne 0$.

Đáp án cần chọn là: B