ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Nếulimx→x0+y=+∞ thì đường thẳng x=x0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Đáp án cần chọn là: B

Đường thẳng y=y0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y=fx nếu

limx→+∞y=y0limx→−∞y=y0

 

Đáp án cần chọn là: A

Đồ thị hàm số có TCN là y=−13

Đáp án cần chọn là: D

Đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận x=−2;y=1
 nên giao 2 đường tiệm cận là I(−2;1).

Đáp án cần chọn là: D

Ta cólimx → ∞​y=limx → ∞​ax+b2x+c=a2⇒y=a2 là tiệm cận ngang của ĐTHS ⇒a2=2⇒a=4.

Vàlimx → − c2​y=limx → − c2​ax+b2x+c=∞⇒x=−c2 là tiệm cận đứng của ĐTHS ⇒−c2=1⇒c=−​2.

Vậy tổng a+c=4−2=2.

Đáp án cần chọn là: B

Ta có limx → ∞y=limx → ∞2018x−2=0⇒​​y=0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Và limx → 2y=limx → 22018x−2=∞ ⇒​​x=2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận.

Đáp án cần chọn là: A

Vì limx→±∞y=2 nên y=2  là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vì limx→1+y=−∞ nên x=1  là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Đáp án cần chọn là: C

Đáp án A: Đồ thị hàm số chỉ có 1 đường tiệm cận y=0.

Đáp án B: Đồ thị hàm số y=x+1x2−9 có 1 TCN là y=0 và 2 TCĐ là x=±3 nên có 3 tiệm cận.

Đáp án C: Đồ thị hàm số có 2 tiệm cận là y=1,x=1

Đáp án D: 

limx→−∞x+1x2+4x+8​=limx→−∞x+1|x|1+4x+8x2​=limx→−∞x+1−x1+4x+8x2=−1

và limx→+∞x+1x2+4x+8=1

Đồ thị hàm số chỉ có 2 tiệm cận là y=±1

Đáp án cần chọn là: B

Ta có limx→+∞​y=+∞.

Lại có

limx→−∞y=limx→−∞(2x−1+4x2−4)

=limx→−∞4x2−4+2x−14x2−4−2x−14x2−4−2x−1

=limx→−∞4x2−4−2x−124x2−4−2x−1

=limx→−∞4x−54x2−4−2x−1

=limx→−∞−x−4+5x−x4−4x2+2−1x

=−44+2=−1

Vậy y=−1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Đáp án cần chọn là: B

TXĐ:  D=−∞;−2∪2;+∞

Ta có:

limx→2+y=limx→2+x−2x2−4=0limx→−2−y=limx→1−x−2x2−4=−∞

Suy ra x=−2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

limx→+∞y=limx→+∞x−2x2−4=1limx→−∞y=limx→−∞x−2x2−4=−1

Suy ra y=1,  y=−1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có tất cả 3 đường tiệm cận.

Đáp án cần chọn là: C

Dễ dàng tính được limx→+∞y=12 và limx→−∞y=−12 do đó y=±12 là hai tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Đáp án cần chọn là: B

limx→+∞y=limx→+∞xx2−1=limx→+∞11−1x2=1

⇒y=1 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

limx→−∞y=limx→−∞xx2−1=limx→−∞x−x1−1x2=−1

⇒y=−1 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Đáp án cần chọn là: C

Ta có: y=x2−3x−4x2−16=x+1x−4x−4x+4=x+1x+4

limx→−4+y=limx→−4+x+1x+4=−∞;limx→−4−y=limx→−4−x+1x+4=+∞

Ngoài ra limx→4y=limx→4x+1x+4=58≠∞ nên x=4 không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số chỉ có 1 tiệm cận đứng x=−4

Đáp án cần chọn là: B

Dễ thấy đa thức dưới mẫu có hai nghiệm x=1  và x=−2  và hai nghiệm này đều không phải nghiệm của tử thức.

⇒ Đồ thị hàm số đã cho có 2 tiệm cận đứng.

Đáp án cần chọn là: C

Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận là

- Tiệm cận đứng x=2

- Tiệm cận ngang y=−1

Đáp án cần chọn là: C

Ta có: y=x2−3x−1x+1=x−4+3x+1

Do đó đường thẳng y=x−4 là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Đáp án cần chọn là: D

Tập xác định : D=ℝ

limx→+∞(4x2+4x+3−4x2+1)=limx→+∞(4x2+4x+3−4x2+1)(4x2+4x+3+4x2+1)4x2+4x+3+4x2+1=limx→+∞4x+24x2+4x+3+4x2+1

=limx→+∞4+2x4+4x+3x2+4+1x2

=42+2=1

limx→−∞(4x2+4x+3−4x2+1)

=limx→−∞(4x2+4x+3−4x2+1)(4x2+4x+3+4x2+1)4x2+4x+3+4x2+1
=limx→−∞4x+24x2+4x+3+4x2+1

=limx→−∞4+2x−4+4x+3x2−4+1x2

=4−2−2=−1

Vậy, đồ thị hàm số y=4x2+4x+3−4x2+1 có 2 tiệm cận ngang là y=1,y=−1

Đáp án cần chọn là: A

y=2mx+mx−1TCN→y=2mTCD→x=1

S=8⇔2m.1=8⇔2m=8⇔2m=±8⇔m=±4

Đáp án cần chọn là: C

y=x−2x2−2x+m

limx→±∞x−2x2−2x+m=limx→±∞1x−2x21−2x+mx2=0

Suy ra y=0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Để đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận ⇔ Đồ thị hàm số phải có hai đường tiệm cận đứng 

⇔x2−2x+m=0 có 2 nghiệm phân biệt khác 2

⇔Δ'>022−2.2+m≠0⇔1−m>0m≠0⇔m<1m≠0

Đáp án cần chọn là: D

Cách 1: Thử đáp án

Với m=0  ta có x=00  là nghiệm của đa thức 2x2−3x trên tử

⇒y=2x−3x≠0 không có tiệm cận đứng.

Với m=1  ta có x=1  là nghiệm của đa thức2x2−3x + 1 trên tử

⇒y=2x−1x≠1 không có tiệm cận đứng.

Cách 2: Chia đa thức

Để hàm số không có tiệm cận đứng thì tử số phải chia hết cho mẫu số

⇔2m2−2m=0⇔m=0 hoặc m = 1

Đáp án cần chọn là: B

limx→−∞1fx+2=1limx→−∞fx+limx→−∞2=1−1+2=1⇒ Đồ thị hàm sốy=1fx+2 có TCN y=1

limx→+∞1fx+2=1limx→+∞fx+limx→+∞2=1m+2

Để đồ thị hàm số y=1fx+2 có duy nhất một tiệm cận ngang thìlimx→+∞1fx+2 hoặc là không xác định hoặc là bằng 1.

Khi đó m+2=0m+2=1⇔m=−2m=−1

Vậy có 2 giá trị thực của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: C

Dựa vào BBT ta thấy đồ thị hàm số có TCĐ: x=2⇒−cb=2⇔c=−2b

TCN: y=1⇒ab=1⇔a=b

Ta có: fx=ax+1bx+c⇒f'x=ac−bbx+c2

Hàm số đồng biến trên các khoảng−∞;2 và 2;+∞

⇔y'>0∀x≠2

⇔ac−bbx+c2>0∀x≠2

⇔ac−b>0

⇔b.(−2b)−b>0

⇔−2b2−b>0

⇔2b2+b<0

⇔−12<b<0

⇒b<0

⇒a<0,c>0
Vậy trong ba số a,b,c có 1 số dương.

Đáp án cần chọn là: C

Ta có:limx→+∞y=limx→+∞1fx−1=12−1=1 do đó đồ thị hàm số có TCN y=1

limx→−∞y=limx→−∞1fx−1=0 do đó đồ thị hàm số có TCN y=0.

Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y=1fx−1 là số nghiệm của phương trình fx=1.

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng y=1  cắt đồ thị hàm số y=fx tại 4 điểm phân biệt nên phương trình f(x)=1  có 4 nghiệm phân biệt. Suy ra đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số có tổng cộng 6 đường tiệm cận.

Đáp án cần chọn là: B

ĐKXĐ: x≥1,  fx≠0,  fx≠1

g(x)=x2−3x+2x−1xf2x−fx=x−2x−1x−1x.fxfx−1

Nhận xét: fx=ax3+bx2+cx+d là hàm số bậc ba, đồng thời, quan sát đồ thị ta thấy:

+)fx=0 có 2 nghiệm phân biệtx=x1  (0<x1<1)  ktm (nghiệm đơn) và x = 2(nghiệm kép).

+) fx=1 có 3 nghiệm phân biệt x = 1  (nghiệm đơn),x=x2  (1<x2<2) (nghiệm đơn) và x=x3  x3>2  (nghiệm đơn).

Khi đó hàm số y=gx được viết dưới dạng :

gx=x−2x−1x−1x. ax−x1x−22. ax−1x−x2x−x3

Do đó, đồ thị hàm số g(x) có 3 đường tiệm cận đứng là: x=x2,  x=2,  x=x3.

Đáp án cần chọn là: B

+ Nếu a=0 thì y=1x+2 đồ thị hàm số này có tiệm cận đứng x=−2 và tiệm cận ngang y=0 nên A, C sai.

+ Nếua≠0 thì y=ax+a+1x+2 nêny=ax+a là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Khi đó y=ax+a⇔ax+1−y=0 luôn đi qua điểm (−1;0) với mọi a≠0.

Đáp án cần chọn là: B