ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Cực trị của hàm số

Nếu f'(x)  đổi dấu từ âm sang dương qua điểm x0 thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số.

Đáp án cần chọn là: B

Nếu f'x0=0f''x0>0 thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số.

Đáp án cần chọn là: A

Điều kiện để hàm số bậc ba không có cực trị là phương trình y'=0  vô nghiệm hoặc có nghiệm kép.

Đáp án cần chọn là: D

+) Ta có định lí: Nếu f'(x)  đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm xo (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực đại tại điểm  ⇒ 1 đúng.

+) Điều kiện cần để xo là điểm cực trị của hàm số là: xo là nghiệm của phương trình f'(x)=0⇒  2 sai.

+) Nếu f'(xo)=0  và f(x) có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm xo thì:

-) Nếu f''xo<0 thì hàm số f(x) đạt cực đại tại điểm xo.

-) Nếu f''xo>0 thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm xo.

+) Nếu f'xo=0 và f''xo=0 thì ta không kết luận gì chứ không phải hàm số không đạt cực trị tại xo.

Khi f'(x0)=0f''(x0)=0thì ta không kết luận gì vì có thể xảy ra cả hai trường hợp là hàm số đạt cực trị hoặc không đạt cực trị tại xo.

 Ví dụ:

 +) TH1: Xét hàm fx=x4 có f'x=4x3=0⇔x=0

f''x=12x2 và f''0=0

Trong TH này hàm số có f''0=0nhưng vẫn đạt cực tiểu tại x = 0 vì đạo hàm f'(x)  đổi dấu từ âm sang dương qua x=0.

+) TH2: Xét hàm gx=x3 có f'x=3x2=0⇔x=0

f''x=6x⇒f''0=0

Trong TH này hàm số có f''0=0 nhưng không đạt cực trị tại x = 0 vì đạo hàm f'x=3x2 không đổi dấu của x = 0.

⇒ 3 và 4 sai.

Đáp án cần chọn là: B

A sai vì trên đoạn (0;2) vẫn có cực trị tại x = 1.

Hàm số đạt cực đại tại x = 1 nên B đúng.

C sai vì hàm số đạt cực đại tại x = 1 không phải cực tiểu

D sai vì đạo hàm không đổi dấu qua x = 0 

Đáp án cần chọn là: B

Từ bảng biến thiên ta thấy:

- Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương qua x=−2  nên x=−2 là điểm cực tiểu của hàm số (C đúng).

- Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương qua x=2  nên x=2 là điểm cực tiểu của hàm số (A đúng).

- Đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm qua x=0 nên x=0 là điểm cực đại của hàm số (D đúng).

- Qua điểm x=3  thì đạo hàm không đổi dấu nên x=3 không là điểm cực trị của hàm số (B sai).

Đáp án cần chọn là: B

Từ bảng biến thiên ta thấy, đạo hàm không đổi dấu trên −∞;+∞ nên hàm số không có cực trị.

Đáp án cần chọn là: D

Từ bảng biến thiên ta thấy: 

Đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm qua điểm x=2  nên x=2 là điểm cực đại của hàm số, y=3là giá trị cực đại của hàm số và (2;3) là điểm cực đại của đồ thị hàm số.

Ngoài ra, đạo hàm không đổi dấu qua điểm x=−2  nên x=−2 không là điểm cực trị của hàm số.

Đáp án cần chọn là: C

Dựa vào đồ thị hàm số ta thầy, trên đoạn −3;  3,hàm số y=fx có 3 điểm cực trị là −1;  1;   1;−3;  2;  3.

Đáp án cần chọn là: D

Dựa vào đồ thị hàm số y=f'x ta thấy f'x có 1 lần đổi dấu từ âm sang dương

⇒ Hàm số y=fx có 1 điểm cực trị.

Đáp án cần chọn là: D

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đổi dấu khi đi qua 4 điểm có hoành độ là −1;  0;  2;  4.Vậy hàm số y=fxcó 4 điểm cực trị.

Đáp án cần chọn là: C

Dựa vào hình vẽ ta thấy được, trong khoảng thời gian từ ngày 16/06/2021 đến ngày 27/01/2021, ngày 17/08/2020 có số người được điều trị Covid – 19 nhiều nhất là 492 người.

Đáp án cần chọn là: B

TXĐ: D=R∖2

Dễ thấy y'=12−x2>0∀x∈D

⇒ Hàm số đồng biến trên các khoảng −∞;2và 2;+∞

⇒ Hàm số không có cực trị.

Đáp án cần chọn là: A

 

Cách 1:

y'=3x2−6x

y'=0⇔3x(x−2)=0⇔x=0⇒y=1x=2⇒y=−3

Từ đây suy ra hai điểm cực trị có tọa độ A(0,1) và B(2,−3).

Phương trình  đường thẳng qua hai điểm A,B là x−02−0=y−1−3−1

⇔−4x=2y−1⇔y=−2x+1.

Cách 2:

Ta có y'=3x2−6x

Khi đó x3−3x2+1=3x2−6x13x−13−2x+1

Vậy đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là y=−2x+1

Cách 3:

Bước 1:

 

 y'=3x2−6x;y''=6x−6

Bước 2:

Bước 3: Ta được a=1 và b=-2

Vậy đường thẳng là: y=−2x+1

Đáp án cần chọn là: A

Đáp án A: y'=3x2≥0với mọi x nên hàm số đồng biến trên R. Do đó nó không có cực trị.

Vậy hàm số y=x3 không có cực trị.

Đáp án B:  y'=3x2+6x=3x(x+2)=0⇔x=0x=−2

y''=6x+6⇒y''(0)=6>0y''(−2)=−6<0 , do đó x=0 là điểm cực tiểu của hàm

số, x=−2x=−2 là điểm cực đại của hàm số.

Đáp án C: y'=4x3=0⇔x=0⇒y'>0,∀x>0y'<0,∀x<0⇒x=0 là điểm cực tiểu của hàm số.

Đáp án D: y'=4x3=0⇔x=0⇒y'>0,∀x>0y'<0,∀x<0⇒x=0 là điểm cực tiểu của hàm số.

Đáp án cần chọn là: A

Ta có: fx=2sin2x−3

TXĐ: D=R.

f'x=4cos2x,f'x=0⇔cos2x=0⇔2x=π2+kπ⇔x=π4+kπ2,k∈Z

f''x=−8sin2x

Ta có: f''π4+kπ2=−8sinπ2+kπ,k∈Z

Khi k=2n thì sinπ2+2nπ=sinπ2=1 nên f''π4+2nπ2=−8<0

Khi k=2n+1 thì sinπ2+2n+1π=sin3π2=−1 nên f''π4+2n+1π2=8>0

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x=π4+2k+1π2
Đáp án cần chọn là: D

 

Xét phương án B ta thấy y'=4x3−4x=4x(x2−1)=4xx+1x−1.

Phương trình y'=0 có ba nghiệm đơn phân biệt cho nên thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ngoài ra, ta tính y′ và giải các phương trình  y'=0 ở từng đáp án ta thấy:

Đáp án A: y'=4x3+4x=4x(x2+1) chỉ có 1 nghiệm x = 0 nên loại.

Đáp án C: y'=8x3+8x=8x(x2+1) chỉ có 1 nghiệm x = 0 nên loại.

Đáp án D: y'=−4x3−4x=−4x(x2+1) chỉ có 1 nghiệm x = 0 nên loại.

Đáp án cần chọn là: B

Ta có: f'x=0

⇔(x−1)(x2−2)(x4−4)=0⇔(x−1)(x2-2)2(x2+2)=0⇔x=1x=2x=−2

Một điểm được gọi là cực trị của hàm số khi đạo hàm của hàm số đổi dấu qua điểm đó.

Ta nhận thấy đạo hàm của hàm số chỉ đổi dấu qua x=1 và không đổi dấu qua x=±2Vậy hàm số có 1 điểm cực trị.

 

Đáp án cần chọn là: D

y=x3−3x+2⇒y'=3x2−3y'=0⇔x= ±1

Tọa độ 2 điểm cực trị : A(1;0),B(−1;4)

Khi đó

SΔOAB=12.OA.d(B,OA)=12.xA.yB=12.1.4=2

Đáp án cần chọn là: A

TXĐ: D=R

Ta có: y'=3x2−6x

⇒y'=0⇔x=0 hoặc x=2

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng dễ thấy hàm số đạt giá trị cực tiểu y = 0 tại x = 2

Đáp án cần chọn là: B

 

Ta có: y=−x2+3x+6x+2=−x+5−4x+2

TXĐ: D=R∖−2

Ta có:

y'=−1+4(x+2)2=−x2−4x(x+2)2;y'=0⇔x=0⇒y=3x=−4⇒y=11

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số có điểm cực đại là (0;3) và điểm cực tiểu là (−4;11).

Đáp án cần chọn là: A

Gọi hàm số y=fx=ax2+bx+ca≠0

Đồ thị hàm số y=ax2+bx+c nhận điểm (0;−1) làm đỉnh và đi qua điểm (1;1) nên a=2;b=0;c=−1  hay fx=2x2−1

Do đó g'x=2x2+m−1

Hàm số y=gx không có cực trị ⇔g'x=0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép.

 ⇔m−1⩾0⇔m⩾1

Vậy m⩾1

Đáp án cần chọn là: B

Ta có

y=x3−3x2+2→y'=3x2−6x;y'=0⇔x=0⇒y(0)=2x=2⇒y(2)=−2

Suy ra tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là A0;2,  B2;− 2.

Gọi M∈d⇒Ma;a−1, khi đó MA=a2+(a−3)2MB=(a−2)2+(a+1)2

Mà M cách đều A,B

Suy ra MA2=MB2⇔a2+a−32=a−22+a+12⇔a=1⇒M(1;0).

Đáp án cần chọn là: C

Ta có

y=x3−3x2+2→y'=3x2−6x;y'=0

⇔x=0⇒y(0)=2x=2⇒y(2)=−2

Suy ra tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là A0;2,  B2;− 2.

Gọi M∈d⇒Ma;a−1, khi đó MA=a2+(a−3)2MB=(a−2)2+(a+1)2

Mà M cách đều A,B

Suy ra MA2=MB2⇔a2+a−32=a−22+a+12⇔a=1  ⇒  M1;0.

Đáp án cần chọn là: C

Từ đồ thị ta thấy, hàm số f(x) đạt cực trị tại các điểm x=−2 và x=0 nên, f'(0)=0.

Ta có: g'x=−4x+4f'−2x2+4x

Cho g'(x)=0⇔−4x+4=0f'(−2x2+4x)=0(∗)

Do f'−2=0,f'0=0
⇒f'(−2x2+4x)=0⇔−2x2+4x=0−2x2+4x=−2

Do đó,

*⇔−4x+4=0−2x2+4x=−2−2x2+4x=0⇔x=1x=1±2x=0x=2

Các nghiệm này đều là nghiệm đơn.

 

Do đó g'(x)  đổi dấu qua 5 điểm trên.

Vậy hàm số y=gx  có 5 điểm cực trị.

Đáp án cần chọn là: B

Đặt gx=fx2−2x ta có g'x=2x−2f'x2−2x

g'(x)=0⇔x=1f'(x2−2x)=0

Dựa vào BBT ta thấy f'(x2−2x)=0⇔x2−2x=0x2−2x=3⇔x=0x=2x=−1x=3

⇒ Phương trình g'x=0 có 5 nghiệm đơn x=0,  x=2,  x=3,x=−1,x=1

Vậy hàm số đã cho có 5 điểm cực trị.

Đáp án cần chọn là: C

 

Xét hàm số y=x2−3x+2 ta có: y'=2x−3⇒y'=0⇔x=32

⇒ Hàm số y=x2−3x+2 có 1 cực trị.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y=x2−3x+2 với trục hoành ta có:

x2−3x+2=0⇔x−1x−2=0⇔x=1x=2

⇒ Đồ thị hàm số y=x2−3x+2 cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt.

⇒ Số điểm cực trị của hàm số y=x2−3x+2 là: S=1+2=3 cực trị.

Đáp án cần chọn là: B

Ta có:

g(x)=f(x2−2x)⇒g'(x)=(2x−2)f'(x2−2x)g'(x)=0⇔2x−2=0f'(x2−2x)=0

⇔x=1x2−2x=−2x2−2x=3(ta không xét x2−2x=0vì x = 0 là nghiệm kép của phương trình )

⇔x=1x=3x=−1và qua các nghiệm này thì g′(x) đổi dấu.

Chọn x = 4 ta có g'4=6f'8>0

Khi đó ta có BXD của g′(x) như sau:

Điểm cực đại của hàm số gx=fx2−2x là xCD=1

Đáp án cần chọn là: C

 

Từ hình vẽ ta có đồ thị hàm số y=f(x)  là một trong hai đồ thị dưới đây:

Từ hai đồ thị trên ta dựng được đồ thị y=f|x|  là một trong đồ thị dưới đây:

Từ hai đồ thị ở trên ta thấy: Ở cả hai trường hợp thì hàm số y=f|x|  đều có 5 điểm cực trị.

Đáp án cần chọn là: B

Ta có:

y=2019ffx−1⇒y'=2019ffx−1.f'fx−1.f'xln2019

f'(f(x)−1)=0⇔f(x)−1=−1f(x)−1=1f(x)−1=3f(x)−1=6⇔f(x)=0f(x)=2f(x)=4f(x)=7

f'fx−1=0 có tất cả: 2+5+2+1=10 nghiệm

(trong đó, có các nghiệm x=3,  x=6 là nghiệm kép, còn lại là nghiệm đơn)

f'(x)=0⇔x=−1x=1x=3x=6

⇒y'=2019ffx−1.f'fx−1.f'x=0 có 12 nghiệm phân biệt, trong đó, x=3,  x=6 là nghiệm bội 3, còn lại là nghiệm đơn.

 

Do đó, số điểm cực trị của hàm số y=2019ffx−1 là 12.

Đáp án cần chọn là: D

Ta có:

g(x)=f(−x2+x)

⇒g'(x)=(−2x+1)f'(−x2+x)

g'(x)=0⇔x=12f'(−x2+x)=0

Dựa vào đồ thị hàm số y=f'x ta có f'(x)=0⇔x=0x=1

⇒f'(−x2+x)=0⇔−x2+x=0−x2+x=2⇔x=0x=1

Suy ra phương trình g'x=0 có 3 nghiệm đơn phân biệt x=12,  x=0,  x=1

Chọn x=2  ta có g'2=−3f'−2<0 qua các nghiệm x=12,  x=0,  x=1 thì g′(x) đổi dấu.

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy hàm số y=g(x)  có 2 điểm cực đại x=0,x=1.

Đáp án cần chọn là: A

Xét phương trình y=x−1x−2x−3...x−100=0 phương trình có 100 nghiệm phân biệt.

Phương trình y=fx=0  là phương trình bậc 100, có 100 nghiệm, do đó hàm số y=fx có 99 điểm cực trị.

Lại có limx→+∞y=+∞ nên số điểm cực tiểu nhiều hơn số điểm cực đại là 1.

Do đó hàm số có 50 điểm cực tiểu, 49 điểm cực đại.

Đáp án cần chọn là: B

Ta có:

hx=fx−gx2

⇒h'x=2fx−gx.fx−gx'=2fx−gxf'x−g'x.

Cho h'(x)=0⇔f(x)−g(x)=0    (1)f'(x)−g'(x)=0   (2)

Từ đồ thị hàm số ta thấy phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt x=−1x=x1∈(−1;3)x=3 và đa thức fx−gx đổi dấu khi qua các nghiệm này. Do đó các nghiệm trên là các nghiệm bội lẻ của (1). Mà f(x) và g(x) đều là các đa thức bậc 4 nên bậc của phương trình (1) nhỏ hơn hoặc bằng 4. Từ đó suy ra phương trình (1) là phương trình bậc 3. Do đó phương trình (1) là phương trình bậc 3 có 3 nghiệm phân biệt nên phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt không trùng với các nghiệm của phương trình (1). Suy ra phương trình h'x=0 có 5 nghiệm phân biệt và h′(x) đổi dấu qua các nghiệm này nên hàm số h(x) có 5 điểm cực trị.

 

Đáp án cần chọn là: A

Ta có:

g(x)=8f(x3−3x+3) −(2x6−12x4+16x3+18x2−48x+1) 

g'(x)=24(x2−1)[f'(x3−3x+3)−12(x3−3x+3+1)]

g'(x)=0

⇔x=±1f'(x3−3x+3)=12(x3−3x+3+1)*

Đặt t=x3−3x+3 phương trình (*) trở thành f't=12t+1 do đó số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y=f't và y=12t+1

 

 

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy (∗) ⇔t=−1t=1t=5t=t0∈(1;5)

+ Với t=−1⇒x3−3x+3=−1 phương trình này có 1 nghiệm không nguyên.

+ Với  t=1⇒x3−3x+3=1⇔x=1x=−2  trong đó x = 1 là nghiệm bội 2.

+ Với t=5⇒x3−3x+3=5⇔x=2x=−1 trong đó x = −1 là nghiệm bội 2.

+ Với  t=t0∈1;5⇒1<t0<5  ta có phương trình x3−3x+3=t0

Xét hàm số hx=x3−3x+3 ta có:

h'(x)=3x2−3=0⇔x=1x=−1

BBT:

Từ BBT suy ra phương trình x3−3x+3=t0 có 3 nghiệm phân biệt.

Suy ra phương trình g'x=0 có 8 nghiệm phân biệt và g′(x) đổi dấu qua các nghiệm này 

( x=±1là nghiệm bội ba) nên hàm số g(x) có 8 điểm cực trị.

Đáp án cần chọn là: B

Hàm sốy=fx=ax4+bx2+c xác định và liên tục trên D=ℝ

Ta có f0=c>2017>0

f−1=f1=a+b+c<2017

Do đó f−1−2017.f0−2017<0 và  f1−2017.f0−2017<0

Mặt khác limx→±∞fx=+∞ nên ∃α<0,β>0 sao cho fα>2017, fβ>2017

fα−2017.f−1−2017<0 và fβ−2017.f1−2017<0

Suy ra đồ thị hàm số y=fx−2017 cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt

Đồ thị hàm sốy=fx−2017 có dạng

Vậy số điểm cực trị của hàm số y=fx−2017 là 7 .

Đáp án cần chọn là: B

Bước 1: Tính y'

Ta có:

y=e2fx+1+5fxy'=2f'x.e2fx+1+f'x.5fx.ln5=f'x2e2fx+1+5fxln5

Bước 2: Chứng minh dấu của y' chỉ phụ thuộc vào dấu của f′(x) và tìm số cực trị.

Ta thấy 2e2fx+1+5fxln5>0∀x

=> Dấu của y’ phụ thuộc vào dấu của f′(x).

Dựa vào đồ thị ta thấy f′(x) đổi dấu 3 lần nên số điểm cực trị của hàm số ban đầu là 3.

Đáp án cần chọn là: D