ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Cực trị của hàm số

Nếu $f\text{'}\left(x\right)$ đổi dấu từ âm sang dương qua điểm $x_0$ thì $x_0$ là điểm cực tiểu của hàm số.

Đáp án cần chọn là: B

Nếu $\left\{\begin{array}{c}f\text{'}\left(x_0\right)=0\\ f\text{'}\text{'}\left(x_0\right)>0\end{array}\right.$ thì $x_0$ là một điểm cực tiểu của hàm số.

Đáp án cần chọn là: A

Điều kiện để hàm số bậc ba không có cực trị là phương trình $y\text{'}=0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép.

Đáp án cần chọn là: D

+) Điều kiện cần để $x_o$ là điểm cực trị của hàm số là: $x_o$ là nghiệm của phương trình $f\text{'}\left(x\right)=0\Rightarrow$ 2 sai.

A sai vì trên đoạn (0;2) vẫn có cực trị tại x = 1.

Từ bảng biến thiên ta thấy:

- Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương qua $x=-2$ nên $x=-2$là điểm cực tiểu của hàm số (C đúng).

Từ bảng biến thiên ta thấy, đạo hàm không đổi dấu trên $\left(-\infty ;+\infty \right)$ nên hàm số không có cực trị.

Từ bảng biến thiên ta thấy: 

Dựa vào đồ thị hàm số ta thầy, trên đoạn $\left[-3;3\right],$hàm số $y=f\left(x\right)$có 3 điểm cực trị là $\left(-1;1\right);\left(1;-3\right);\left(2;3\right).$

Đáp án cần chọn là: D

Dựa vào đồ thị hàm số $y=f^{\text{'}}\left(x\right)$ ta thấy $f^{\text{'}}\left(x\right)$ có 1 lần đổi dấu từ âm sang dương

⇒ Hàm số $y=f\left(x\right)$ có 1 điểm cực trị.

Đáp án cần chọn là: D

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đổi dấu khi đi qua 4 điểm có hoành độ là $-1;0;2;4$.Vậy hàm số $y=f\left(x\right)$có 4 điểm cực trị.

Đáp án cần chọn là: C

Dựa vào hình vẽ ta thấy được, trong khoảng thời gian từ ngày 16/06/2021 đến ngày 27/01/2021, ngày 17/08/2020 có số người được điều trị Covid – 19 nhiều nhất là 492 người.

Đáp án cần chọn là: B

TXĐ: $D=R\setminus \left\{2\right\}$

Từ đây suy ra hai điểm cực trị có tọa độ A(0,1) và B(2,−3).

Đáp án A: $y^{\text{'}}=3x^2\ge 0$với mọi x nên hàm số đồng biến trên R. Do đó nó không có cực trị.

TXĐ: $D=R.$

$f^{\text{'}}\left(x\right)=4\cos 2x,f^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff \cos 2x=0\iff 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \iff x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2},k\in Z$

$f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)=-8\sin 2x$

Ta có: $f^{\text{'}\text{'}}\left(\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}\right)=-8\sin \left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right),k\in Z$

Khi $k=2n$ thì $\sin \left(\frac{\pi }{2}+2n\pi \right)=\sin \frac{\pi }{2}=1$ nên $f^{\text{'}\text{'}}\left(\frac{\pi }{4}+\frac{2n\pi }{2}\right)=-8<0$

Khi $k=2n+1$ thì $\sin \left(\frac{\pi }{2}+\left(2n+1\right)\pi \right)=\sin \frac{3\pi }{2}=-1$ nên $f^{\text{'}\text{'}}\left(\frac{\pi }{4}+\frac{\left(2n+1\right)\pi }{2}\right)=8>0$

Xét phương án B ta thấy $y^{\text{'}}=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x\left(x+1\right)\left(x-1\right).$

Một điểm được gọi là cực trị của hàm số khi đạo hàm của hàm số đổi dấu qua điểm đó.

Tọa độ 2 điểm cực trị : A(1;0),B(−1;4)

Ta có: $y^{\text{'}}=3x^2-6x$

$\Rightarrow y^{\text{'}}=0\iff x=0$ hoặc x=2

Ta có: $y=\frac{-x^2+3x+6}{x+2}=-x+5-\frac{4}{x+2}$

Gọi hàm số $y=f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c\left(a\ne 0\right)$

 $\iff m-1⩾0\iff m⩾1$

Vậy $m⩾1$

Ta có

$\begin{array}{l}y=x^3-3x^2+2\to y\text{'}=3x^2-6x;y\text{'}=0\\ \iff \left[\begin{array}{c}x=0\Rightarrow y\left(0\right)=2\\ x=2\Rightarrow y\left(2\right)=-2\end{array}\right.\end{array}$

Ta có

$y=x^3-3x^2+2\to y\text{'}=3x^2-6x;y\text{'}=0$

$\iff \left[\begin{array}{c}x=0\Rightarrow y\left(0\right)=2\\ x=2\Rightarrow y\left(2\right)=-2\end{array}\right.$

Ta có: $g^{\text{'}}\left(x\right)=\left(-4x+4\right)f^{\text{'}}\left(-2x^2+4x\right)$

Đặt $g\left(x\right)=f\left(x^2-2x\right)$ ta có $g^{\text{'}}\left(x\right)=\left(2x-2\right)f^{\text{'}}\left(x^2-2x\right)$

$g\text{'}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{c}x=1\\ f\text{'}(x^2-2x)=0\end{array}\right.$

Xét hàm số $y=x^2-3x+2$ ta có: $y^{\text{'}}=2x-3\Rightarrow y^{\text{'}}=0\iff x=\frac{3}{2}$

Chọn x = 4 ta có $g^{\text{'}}\left(4\right)=6f^{\text{'}}\left(8\right)>0$

Từ hình vẽ ta có đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ là một trong hai đồ thị dưới đây:

Ta có:

$y={2019}^{f\left(f\left(x\right)-1\right)}\Rightarrow y^{\text{'}}={2019}^{f\left(f\left(x\right)-1\right)}.f^{\text{'}}\left(f\left(x\right)-1\right).f^{\text{'}}\left(x\right)\ln 2019$

$f\text{'}\left(f\right(x)-1)=0\iff \left[\begin{array}{c}f\left(x\right)-1=-1\\ f\left(x\right)-1=1\\ f\left(x\right)-1=3\\ f\left(x\right)-1=6\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}f\left(x\right)=0\\ f\left(x\right)=2\\ f\left(x\right)=4\\ f\left(x\right)=7\end{array}\right.$

Ta có:

$g\left(x\right)=f(-x2+x)$

$\Rightarrow g\text{'}\left(x\right)=(-2x+1)f\text{'}(-x^2+x)$

$g\text{'}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{c}x=\frac{1}{2}\\ f\text{'}(-x^2+x)=0\end{array}\right.$

Xét phương trình $y=\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)\mathrm{...}\left(x-100\right)=0$ phương trình có 100 nghiệm phân biệt.