ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Bài toán tương giao đồ thị

Quan sát BBT ta thấy đường thẳng y=2m+1 cắt đồ thị hàm số y=fx tại hai điểm phân biệt ⇔ 2m+1<−32m+1>3⇔m<−2m>1
Đáp án cần chọn là: C

Đồ thị hàm số cắt đường thẳng y=3 tại 3 điểm phân biệt ⇒fx=3 có 3 nghiệm phân biệt.

Đáp án cần chọn là: D

Đồ thị hàm số y=−x4+4x2−3 cắt trục tung ⇒x=0

Với x=0  thay vào hàm số ⇒y=−3.

Đáp án cần chọn là: D

Phương trình hoành độ 2x2+1=3x

⇔2x2−3x+1=0⇔x=1⇒y=3x=12⇒y=32

Vậy có hai giao điểm là 1;3và 12;32

Đáp án cần chọn là: C

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho là:

x4−2x2+2=−x2+4⇔x4−x2−2=0

⇔x2=−1<0(L)x2=2⇔x=±2

Như vậy hai đồ thị có 2 giao điểm. 

Đáp án cần chọn là: D

Số giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho là số nghiệm của phương trình:

x3−2x2+x−1=1−2x⇔x3−2x2+3x−2=0⇔x−1x2−x+2=0⇔x=1

Vậy hai đồ thị hàm số đã cho có 1 giao điểm duy nhất.

Đáp án cần chọn là: D

Phương trình hoành độ giao điểm: 3x2=x3+x2+x+1⇔x3−2x2+x+1=0

Xét hàm fx=x3−2x2+x+1  ta có:

f'(x)=3x2−4x+1=0⇔x=1⇒f(1)=1x=13⇒f13=3127

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy đường thẳng y=0  chỉ cắt đồ thị hàm số tại 1 điểm duy nhất nên hai đồ thị hàm số cắt nhau tại duy nhất 1 điểm.

Đáp án cần chọn là: B

Số nghiệm của phương trình fx=−0,5 là số giao điểm của đồ thị hàm số y=fx và đường thẳng y=−0,5.

Ta có BBT:

Dựa vào BBT ta thấy đường thẳng y=−0,5  cắt đồ thị hàm số y=f(x)  tại 3 điểm phân biệt.

⇒ Phương trình f(x)=−0,5  có 3 nghiệm phân biệt.

Đáp án cần chọn là: B

Ta có |f(x)|=2⇔f(x)=2f(x)=−2

Với fx=2 thì đường thẳng y=2 cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm phân biệt.

Với fx=−2thì đường thẳng y=−2cắt đồ thị hàm số tại 2 điẻm phân biệt.

Vậy tổng có tất cả 4 nghiệm phân biệt.

Đáp án cần chọn là: B

Ta có số nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của đồ thị (C):

y=x5+x3−1−xvà đường thẳng d:y=−m

Xét hàm số (C): y=x5+x3−1−xcó:

y'=5x4+3x2+121−x>0  ∀x∈−∞;1⇒ hàm số luôn đồng biến trên −∞;1

Lại có y1=2

Ta có BBT:

Theo BBT ta thấy pt có nghiệm ⇔−m⩽2⇔m⩾−2
Đáp án cần chọn là: A

Vì đồ thị của hàm đa thức bậc 3 luôn có tâm đối xứng Ix0;y0có hoành độ x₀ là nghiệm của phương trìnhy''x0=0

Vậy đồ thị (C) cắt trục hoành tại ba điểm A,B,C sao cho C là trung điểm AB

⇔C là tâm đối xứng của (C)

Ta có:

y'=3x2+6x⇒y''=6x+6=0⇔x=−1⇒y=m+2⇒C−1;m+2

C∈Ox⇔y=0⇔m+2=0⇔m=−2

Đáp án cần chọn là: A

Xét phương trình hoành độ giao điểm mx+1=x3−3x+1

⇔x3−3x−mx=0⇔x(x2−3−m)=0

⇔x=0x2=m+3(∗)

Để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt thì (∗) phải có hai nghiệm phân biệt khác 0⇔m+3>0⇔m>−3
Đáp án cần chọn là: A

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành là: 

x3−m+3x2+2m−1x+3m+1=0

⇔(x+1)[x2−(m+4)x+3(m+1)]=0

⇔x=−1x2−(m+4)x+3(m+1)=0(∗)

Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm thì phương trình (∗) có 2 nghiệm âm phân biệt khác −1 

⇔Δ>0−ba<0ca>0y(−1)≠0⇔(m−2)2>0m+4<03(m+1)>0(−1)2−(m+4)(−1)+3(m+1)≠0⇔m≠2m<−4m>−1m≠−2⇔m∈∅

Đáp án cần chọn là: A

Phương trình hoành độ giao điểm:

x3−3x2+2=mx−1⇔x−1x2−2x−2−m=0

⇔x=1x2−2x−2−m=0(∗)

Để hai đồ thị hàm số cắt nhau tại ba điểm phân biệt thì phương trình hoành độ có 3 nghiệm phân biệt

⇔(∗) có 2 nghiệm phân biệt khác 1⇔Δ'=1+2+m>01−2−2−m≠0⇔m>−3

Gọi x1=1,x2,x3 lần lượt là nghiệm của phương trình

∗⇒x2+x3=2;x2x3=−2−m

Ta có: x12+x22+x32=5⇔x2+x32−2x2x3=4

⇔4−2−2−m=4⇔m=−2

Đáp án cần chọn là: A

Xét phương trình hoành độ giao điểm x4−mx2+m−1=0

Đặt t=x2,t⩾0 ta được phương trình t2−mt+m−1=0

Để đồ thị hàm số Cm:y=x4−mx2+m−1cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt thì phương trình t2−mt+m−1=0 phải có hai nghiệm dương phân biệt

⇔Δ>0S>0P>0⇔m2−4m+4>0m>0m−1>0⇔m≠2m>1

Đáp án cần chọn là: B

Đặt x2=tt⩾0

Phương trình x4−22m+1x2+4m2=0 có 4 nghiệm phân biệt thỏa mãn x12+x22+x32+x42=6⇔t2−22m+1t+4m2=0 có hai nghiệm phân biệt dương thỏa mãn 2t1+2t2=6 hay t1+t2=3

⇔S>0P>0Δ'>0⇔2(2m+1)>04m2>0(2m+1)2−4m2>0⇔2(2m+1)=3⇔m=14
Đáp án cần chọn là: A

Vì −1≤sinx≤1;−1≤cosx≤1 nên 2cosx−sinx>−3⇒2cosx−sinx+4>0

Đặt 3sinx−cosx−12cosx−sinx+4=t⇔3sinx−cosx−1=t2cosx−sinx+4

⇔cosx2t+1−sinxt+3=−4t−1

Phương trình trên có nghiệm khi 2t+12+t+32≥−4t−12

⇔5t2+10t+10≥16t2+8t+1

⇔11t2−2t−9≤0⇔−911≤t≤1⇒0≤t≤1

Từ đồ thị hàm số ta thấy hàm số f(x) đồng biến trên (0;1)

Nên phương trình fx=ft  với t∈0;1 có nghiệm duy nhất khi x=t⇒0≤x≤1

Do đó phương trình f3sinx−cosx−12cosx−sinx+4=fm2+m+4 có nghiệm

⇔t=m2+4m+4 có nghiệm với 0≤t≤1

⇔0≤m2+4m+4≤1⇔m+22≤1⇔−3≤m≤−1

Mà m∈ℤ nên m∈−3;−2;−1. Vậy có 3 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu.

Mình cần đánh giá cho biểu thức này em nhé : 2cosx−sinx+4
Mục đích đánh giá là để có thể quy đồng sau khi đặt t. Từ đó tìm điều kiện cho t.

Đáp án cần chọn là: D

Ta có sinx−cosx=2sinx−π4mà x∈−π4;3π4⇒sinx−π4∈−1;1

Đặt sinx−cosx=t thì t∈−2;2

Đưa về bài toán tìm m để phương trình 2ft=m−1có hai nghiệm phân biệt trên khoảng −2;2

Ta có 2ft=m−1⇔ft=m−12

Từ BBT ta suy ra −4<m−12<3⇔−8<m−1<6⇔−7<m<7mà m∈ℤ⇒m∈−6;−5;...;0;1;2;...;6

Nên có 13 giá trị của m thỏa mãn đề bài.

Đáp án cần chọn là: A

Phương trình fx=log2m có hai nghiệm phân biệt ⇔ đường thẳng y=log2m cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt

⇔log2m=4log2m<0⇔m=240<m<20⇔m=160<m<1

Đáp án cần chọn là: B

Dựa vào đồ thị hàm số y=fx ta suy ra được đồ thị hàm số y=fx như sau:

Số nghiệm của phương trình fx=3m+1 là số giao điểm của đồ thị hàm số y=fx và đường thẳng y=3m+1  song song với trục hoành.

Do đó để phương trình fx=3m+1 có 4 nghiệm phân biệt thì −2<3m+1<0⇔−1<m<−13

Đáp án cần chọn là: C

Đặt t=3x+1

Dễ thấy với mỗi x chỉ có một x và ngược lại.

Do đó số nghiệm x của phương trình đã cho bằng số nghiệm t của phương trình ft−2=5

Ta có:

ft−2=5

⇔f(t)−2=5f(t)−2=−5⇔f(t)=7(1)f(t)=−3(2)

Từ bbt ta thấy,

+) Đường thẳng y = 7 cắt đồ thị hàm số tại duy nhất 1 điểm nên (1) có 1 nghiệm.

+) Đường thẳng y = −3 cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm nên (2) có 2 nghiệm.

Dễ thấy các nghiệm của (1) và (2) phân biệt.

Vậy phương trình đã cho có tất cả 3 nghiệm.

Đáp án cần chọn là: A

Đặt t=1−fx  phương trình trở thành ft=2

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm sốy=ft và đường thẳng y = 2 .

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy f(t)=2⇔t=1t=−2

⇔1−f(x)=11−f(x)=−2⇔f(x)=0   (1)f(x)=3   (2)

+ Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số y=fx và đường thẳng y = 0 nên phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt.

+ Số nghiệm của phương trình (2) là số giao điểm của đồ thị hàm số y=fx và đường thẳng y = 3 nên phương trình (1) có 1 nghiệm duy nhất.

Vậy phương trình đã cho có tất cả 4 nghiệm.

Đáp án cần chọn là: D

TXĐ: D=ℝ∖1

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

2x−3x−1=x+m  x≠1⇔2x−3=x−1x+m⇔2x−3=x2+mx−x−m⇔x2+m−3x−m+3=0   ∗

Để để đường thẳng y=x+m cắt đồ thị hàm số y=2x−3x−1 tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1

⇒Δ=(m−3)2−4(−m+3)>01+(m−3).1−m+3≠0⇒m2−6m+9+4m−12>01≠0  (luon  dung)

⇔m2−2m−3>0

⇔m>3m<−1

Kết hợp điều kiện bài toán ta suy ra m∈−2020;−1∪3;2020,m∈ℤ

Vậy có 2019 + 2017 = 4036 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: A

+ Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và đường thẳng ta có:

x3+2mx2+(m+3)x+4=x+4

⇔x3+2mx2+(m+2)x=0

⇔x(x2+2mx+m+2)=0

⇔x=0x2+2mx+m+2=0     1

Để (d) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0

⇒Δ;>00+2m.0+m+2≠0⇔m2−m−2>0m≠−2⇔m>2m<−1m≠2

Gọi x1;  x2 là 2 nghiệm phân biệt của phương trình (1)

⇒Bx1;x1+4;   Cx2;x2+4.

Khi đó áp dụng định lí Vi-ét ta có: x1+x2=−2mx1.x2=m+2

Ta có: SKBC=12.dK,BC.BC.

Phương trình đường thẳng d:  y=x+4⇔x−y+4=0

Vì B,C thuộc đường thẳng (d) nên ta có:

dK,BC=dK;d=1−3+412+−12=2.

BC=x2−x12+x2+4−x1−42BC=2x1−x22BC=2.x1+x22−4x1x2BC=2.4m2−4m+2BC=22.m2−m−2

Theo bài ra ta có:

SKBC=82⇔12.2.22m2−m−2=82⇔m2−m−2=42⇔m2−m−2=32⇔m2−m−34=0⇔m=1±1372   tm

Vậy m=1±1372

Đáp án cần chọn là: C

Đặt t=3−x2ta có: x2≥0,   ∀x∈ℝ⇒t=3−x2≤3,    ∀x∈ℝ

⇒t∈−∞;3.

Bất phương trình f3−x2≥m vô nghiệm khi và chỉ khi ft≥m vô nghiệm với mọi t∈−∞;3.

Từ BBT của hàm số y=fx ta thấy: ft≥m nghiệm với t∈−∞;3 khi m > 3.

Vậy m > 3.

Đáp án cần chọn là: D

Bước 1: Đặt t=x2−1⇒t≥−1  Đưa phương trình đã cho về phương trình ẩn t

Đặt t=x2−1⇒t≥−1

Phương trình đã cho trở thành ft+1=0⇔ft=−1,  t≥−1   ∗

Bước 2: Biện luận số nghiệm của x

Dựa vào BBT ta thấy đường thẳng y=−1 cắt đồ thị hàm số y=ft tại 3 điểm có hoành độ lớn hơn hoặc bằng −1.

Suy ra phương trình (*) có 3 nghiệm thực t, ứng với mỗi nghiệm t cho 2 nghiệm thực x.

Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm thực.

Bước 1: Đặt t=x3−3x quan sát đồ thị tìm nghiệm của phương trình ft=23tìm các nghiệm t_i.

Ta có : ∣f(x3−3x)∣=23 ⇔f(x3−3x)=23f(x3−3x)=−23

Đặt t=x3−3x ta được f(t)=23f(t)=−23

+) Phương trình ft=23 có ba nghiệm phân biệt t1,  t2,  t3 trong đó −2t1<0<t2<2<t3

+) Phương trình ft=−23 có ba nghiệm phân biệt t4,  t5,  t6 trong đó t4<−2<2<t5<t6

Các nghiệm t1,  t2,  t3,  t4,  t5,  t6

Bước 2: Khảo sát hàm số gx=x3−3x suy ra số nghiệm của phương trình x3−3x=ti

Xét hàm gx=x3−3x có g'x=3x2−3=0⇔x=±1

BBT :

Từ BBT ta thấy :

+) Phương trình x3−3x=t1∈−2;0có 3 nghiệm phân biệt.

+) Phương trình x3−3x=t2∈0;2 có 3 nghiệm phân biệt.

+) Phương trình x3−3x=t3>2 có đúng 1 nghiệm.

+) Phương trình x3−3x=t4<−2 có đúng 1 nghiệm.

+) Phương trình x3−3x=t5>2 có đúng 1 nghiệm.

+) Phương trình x3−3x=t6>2 có đúng 1 nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có tất cả 3+3+1+1+1+1=10 nghiệm.

Số nghiệm của pt x4−4x2+3=m * số giao điểm của đồ thị hàm số y=x4−4x2+3 và đường thẳng y=m

Ta có đồ thị hàm số y=x4−4x2+3như hình vẽ:  

Để pt (∗)(∗) có 4 nghiệm phân biệt thì đường thẳng y=mcắt đồ thị hàm số y=x4−4x2+3tại 4 điểm phân biệt.

Quan sát đồ thị ta thấy đường thẳng  cắt đồ thị hàm số y=x4−4x2+3tại 4 điểm phân biệt 
⇔m=01<m<3

Đáp án cần chọn là: B

Số nghiệm của pt 2x3−9x2+12x=m là số giao điểm của đồ thị hàm số y=2x3−9x2+12x và đường thẳng y=m

Ta có đồ thị hàm số y=2x3−9x2+12x

Pt 2x3−9x2+12x=mcó 6 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số y=2x3−9x2+12x tại 6 điểm phân biệt⇔4<m<5

Đáp án cần chọn là: D

Ta có:−1<cosx≤0   ∀x∈π2;π  khi đó dựa vào đồ thị hàm số ta có 0≤fcosx<2

⇔0≤2fcosx<4⇔0≤2fcosx<2

Đặt t=2fcosx⇒t∈0;2

Khi đó yêu cầu bài toán trở thành: Tổng tất cả giá trị nguyên của tham số m để phương trình ft=m có nghiệm t∈0;2

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy với t∈0;2 thì ft∈−2;2 do đó phương trình ft=m có nghiệm ⇔m∈−2;2

Mà m∈ℤ⇒m∈−2;−1;0;1

Vậy tổng các giá trị của m thỏa mãn là −2−1+0+1=−2

Đáp án cần chọn là: D

Ta có f2x−m+4fx+2m+4=0

⇔fx2−m+4fx+2m+4=0
⇔|f(x)|=2|f(x)|=m+2

Dựng đồ thị hàm sốy=fx ta được:

Dễ thấy phương trình fx=2 có 4 nghiệm phân biệt x1,x2,x3,x4 nên để phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt thì phương trình fx=m+2 phải có 2 nghiệm phân biệt khác các nghiệm trên.

Do đó đường thẳngy=m+2 cắt đồ thị hàm sốy=fx tại 2 điểm phân biệt.

Từ hình vẽ ta có m+2>4m+2=0⇔m>2m=−2

Mà m∈ℤ vàm∈−5;5 nên m∈−2;3;4
Vậy có 3 giá trị thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: C

Ta có:

f(|2f(x)+m|)=1⇔|2f(x)+m|=−1  1|2f(x)+m|=2  2

Phương trình (1) vô nghiệm.

Phương trình (2) ⇔2f(x)+m=22f(x)+m=−2⇔f(x)=2−m2f(x)=−2−m2

Dựa vào BBT trên−1;1  để phương trình f2fx+m=1 có đúng 2 nghiệm thì

−3≤2−m2≤1−3≤−2−m2≤1⇔0≤m≤8−4≤m≤4⇔0≤m≤4

Màm∈ℤ⇒m∈0;1;2;3;4 Vậy có 5 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: D

Ta có: |f(f(x))|=2⇔f(f(x))=2   (1)f(f(x))=−2   (2)

(1)⇔f(x)=a<−4   (1.1)f(x)=b>3   (1.2)

(2)⇔f(x)=−4    (2.1)f(x)=c∈(1;3)    (2.2)f(x)=d>3       (2.3)

Tiếp tục dựa vào BBT ta có:

- Phương trình (1.1) có 0 nghiệm.

- Phương trình (1.2) có 2 nghiệm phân biệt.

- Phương trình (2.1) có 1 nghiệm.

- Phương trình (2.2) có 2 nghiệm phân biệt.

- Phương trình (2.3) có 2 nghiệm phân biệt.

Rõ ràng 7 nghiệm trên là phân biệt.

Vậy phương trình ffx=2có 7 nghiệm phân biệt.

Đáp án cần chọn là: C