ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Bài toán tương giao đồ thị

Xét phương trình hoành độ giao điểm $mx+1=x^3-3x+1$

$\iff x^3-3x-mx=0\iff x(x^2-3-m)=0$

$\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x^2=m+3(\ast )\end{array}\right.$

Để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt thì (∗) phải có hai nghiệm phân biệt khác $0\iff m+3>0\iff m>-3$
Đáp án cần chọn là: A

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành là: 

$x^3-\left(m+3\right)x^2+\left(2m-1\right)x+3\left(m+1\right)=0$

$\iff (x+1)[x^2-(m+4)x+3(m+1\left)\right]=0$

$\iff \left[\begin{array}{c}x=-1\\ x^2-(m+4)x+3(m+1)=0(\ast )\end{array}\right.$

Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm thì phương trình (∗) có 2 nghiệm âm phân biệt khác −1 

$\iff \left\{\begin{array}{c}\Delta >0\\ -\frac{b}{a}<0\\ \frac{c}{a}>0\\ y(-1)\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}{(m-2)}^2>0\\ m+4<0\\ 3(m+1)>0\\ {(-1)}^2-(m+4)(-1)+3(m+1)\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}m\ne 2\\ m<-4\\ m>-1\\ m\ne -2\end{array}\iff m\in \varnothing \right.$

Đáp án cần chọn là: A

Phương trình hoành độ giao điểm:

$x^3-3x^2+2=m\left(x-1\right)\iff \left(x-1\right)\left(x^2-2x-2-m\right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{c}x=1\\ x^2-2x-2-m=0(\ast )\end{array}\right.$

Để hai đồ thị hàm số cắt nhau tại ba điểm phân biệt thì phương trình hoành độ có 3 nghiệm phân biệt

⇔(∗) có 2 nghiệm phân biệt khác 1⇔$\left\{\begin{array}{c}\Delta \text{'}=1+2+m>0\\ 1-2-2-m\ne 0\end{array}\right.\iff m>-3$

Gọi $x_1=1,x_2,x_3$ lần lượt là nghiệm của phương trình

$\left(\ast \right)\Rightarrow x_2+x_3=2;x_2{x}_3=-2-m$

Ta có: $x_1^2+x_2^2+x_3^2=5\iff {\left(x_2+x_3\right)}^2-2x_2{x}_3=4$

$\iff 4-2\left(-2-m\right)=4\iff m=-2$

Đáp án cần chọn là: A

Xét phương trình hoành độ giao điểm $x^4-m{x}^2+m-1=0$

Đặt $t=x^2,t⩾0$ ta được phương trình $t^2-mt+m-1=0$

Để đồ thị hàm số $\left(C_m\right):y=x^4-m{x}^2+m-1$cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt thì phương trình $t^2-mt+m-1=0$ phải có hai nghiệm dương phân biệt

$\iff \left\{\begin{array}{c}\Delta >0\\ S>0\\ P>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}{m}^2-4m+4>0\\ m>0\\ m-1>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}m\ne 2\\ m>1\end{array}\right.$

Đáp án cần chọn là: B

Vì $-1\le \sin x\le 1;-1\le \cos x\le 1$ nên $2\cos x-\sin x>-3\Rightarrow 2\cos x-\sin x+4>0$

Đặt $\frac{3\sin x-\cos x-1}{2\cos x-\sin x+4}=t\iff 3\sin x-\cos x-1=t\left(2\cos x-\sin x+4\right)$

$\iff \cos x\left(2t+1\right)-\sin x\left(t+3\right)=-4t-1$

Phương trình trên có nghiệm khi ${\left(2t+1\right)}^2+{\left(t+3\right)}^2\ge {\left(-4t-1\right)}^2$

$\iff 5t^2+10t+10\ge 16t^2+8t+1$

$\iff 11t^2-2t-9\le 0\iff -\frac{9}{11}\le t\le 1\Rightarrow 0\le \left|t\right|\le 1$

Từ đồ thị hàm số ta thấy hàm số f(x) đồng biến trên (0;1)

Nên phương trình $f\left(x\right)=f\left(\left|t\right|\right)$  với $t\in \left[0;1\right]$ có nghiệm duy nhất khi $x=\left|t\right|\Rightarrow 0\le x\le 1$

Do đó phương trình $f\left(\left|\frac{3\sin x-\cos x-1}{2\cos x-\sin x+4}\right|\right)=f\left(m^2+m+4\right)$ có nghiệm

$\iff \left|t\right|=m^2+4m+4$ có nghiệm với $0\le \left|t\right|\le 1$

$\iff 0\le m^2+4m+4\le 1\iff {\left(m+2\right)}^2\le 1\iff -3\le m\le -1$

Mà $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{-3;-2;-1\right\}$. Vậy có 3 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu.

Mình cần đánh giá cho biểu thức này em nhé : $\left(2\cos x-\sin x+4\right)$
Mục đích đánh giá là để có thể quy đồng sau khi đặt t. Từ đó tìm điều kiện cho t.

Đáp án cần chọn là: D

Phương trình $f\left(x\right)={\log }_{2}m$ có hai nghiệm phân biệt ⇔ đường thẳng $y={\log }_{2}m$ cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt

$\iff \left[\begin{array}{c}lo{g}_{2}m=4\\ lo{g}_{2}m<0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}m=2^4\\ 0<m<2^0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}m=16\\ 0<m<1\end{array}\right.$

Đáp án cần chọn là: B

Đặt $t=3x+1$

Dễ thấy với mỗi x chỉ có một x và ngược lại.

Do đó số nghiệm x của phương trình đã cho bằng số nghiệm t của phương trình $\left|f\left(t\right)-2\right|=5$

Ta có:

$\left|f\left(t\right)-2\right|=5$

$\begin{array}{l}\iff \left[\begin{array}{c}f\left(t\right)-2=5\\ f\left(t\right)-2=-5\end{array}\right.\\ \iff \left[\begin{array}{c}f\left(t\right)=7\left(1\right)\\ f\left(t\right)=-3\left(2\right)\end{array}\right.\end{array}$

Từ bbt ta thấy,

+) Đường thẳng y = 7 cắt đồ thị hàm số tại duy nhất 1 điểm nên (1) có 1 nghiệm.

+) Đường thẳng y = −3 cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm nên (2) có 2 nghiệm.

Dễ thấy các nghiệm của (1) và (2) phân biệt.

Vậy phương trình đã cho có tất cả 3 nghiệm.

Đáp án cần chọn là: A

Đặt $t=1-f\left(x\right)$  phương trình trở thành $f\left(t\right)=2$

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số$y=f\left(t\right)$ và đường thẳng y = 2 .

TXĐ: $D=ℝ\setminus \left\{1\right\}$

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

$\begin{array}{l}\frac{2x-3}{x-1}=x+m\left(x\ne 1\right)\\ \iff 2x-3=\left(x-1\right)\left(x+m\right)\\ \iff 2x-3=x^2+mx-x-m\\ \iff x^2+\left(m-3\right)x-m+3=0\left(\ast \right)\end{array}$

Để để đường thẳng $y=x+m$ cắt đồ thị hàm số $y=\frac{2x-3}{x-1}$ tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1

$\begin{array}{l}\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}\Delta ={(m-3)}^2-4(-m+3)>0\\ 1+(m-3).1-m+3\ne 0\end{array}\right.\\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{c}{m}^2-6m+9+4m-12>0\\ 1\ne 0\left(luondung\right)\end{array}\right.\end{array}$

$\iff m^2-2m-3>0$

$\iff \left[\begin{array}{c}m>3\\ m<-1\end{array}\right.$

Kết hợp điều kiện bài toán ta suy ra $m\in \left[-2020;-1\right)\cup \left(3;2020\right],m\in \mathbb{Z}$

Vậy có 2019 + 2017 = 4036 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: A

+ Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và đường thẳng ta có:

$x^3+2m{x}^2+(m+3)x+4=x+4$

$\iff x^3+2m{x}^2+(m+2)x=0$

$\iff x(x^2+2mx+m+2)=0$

$\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x^2+2mx+m+2=0\left(1\right)\end{array}\right.$

Để (d) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}\Delta ;>0\\ 0+2m.0+m+2\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}{m}^2-m-2>0\\ m\ne -2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}m>2\\ m<-1\end{array}\right.\\ m\ne 2\end{array}\right.$

Gọi $x_1;x_2$ là 2 nghiệm phân biệt của phương trình (1)

$\Rightarrow B\left(x_1;x_1+4\right);C\left(x_2;x_2+4\right).$

Khi đó áp dụng định lí Vi-ét ta có: $\left\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=-2m\\ x_1.x_2=m+2\end{array}\right.$

Ta có: $S_{KBC}=\frac{1}{2}.d\left(K,BC\right).BC.$

Phương trình đường thẳng $\left(d\right):y=x+4\iff x-y+4=0$

Vì B,C thuộc đường thẳng (d) nên ta có:

$d\left(K,BC\right)=d\left(K;d\right)=\frac{\left|1-3+4\right|}{\sqrt{1^2+{\left(-1\right)}^2}}=\sqrt{2}.$

$\begin{array}{l}BC=\sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(x_2+4-x_1-4\right)}^2}\\ BC=\sqrt{2{\left(x_1-x_2\right)}^2}\\ BC=\sqrt{2}.\sqrt{{\left(x_1+x_2\right)}^2-4x_1{x}_2}\\ BC=\sqrt{2}.\sqrt{4m^2-4\left(m+2\right)}\\ BC=2\sqrt{2}.\sqrt{m^2-m-2}\end{array}$

Theo bài ra ta có:

$\begin{array}{l}{S}_{KBC}=8\sqrt{2}\\ \iff \frac{1}{2}.\sqrt{2}.2\sqrt{2}\sqrt{m^2-m-2}=8\sqrt{2}\\ \iff \sqrt{m^2-m-2}=4\sqrt{2}\\ \iff m^2-m-2=32\\ \iff m^2-m-34=0\\ \iff m=\frac{1\pm \sqrt{137}}{2}\left(tm\right)\end{array}$

Vậy $m=\frac{1\pm \sqrt{137}}{2}$

Đáp án cần chọn là: C

Đặt $t=3-x^2$ta có: $x^2\ge 0,\forall x\in ℝ\Rightarrow t=3-x^2\le 3,\forall x\in ℝ$

$\Rightarrow t\in \left(-\infty ;3\right].$

Bất phương trình $f\left(3-x^2\right)\ge m$ vô nghiệm khi và chỉ khi $f\left(t\right)\ge m$ vô nghiệm với mọi $t\in \left(-\infty ;3\right].$

Từ BBT của hàm số $y=f\left(x\right)$ ta thấy: $f\left(t\right)\ge m$ nghiệm với $t\in \left(-\infty ;3\right]$ khi m > 3.

Vậy m > 3.

Đáp án cần chọn là: D

Số nghiệm của pt $\left|x^4-4x^2+3\right|=m\left(*\right)$ số giao điểm của đồ thị hàm số $y=\left|x^4-4x^2+3\right|$ và đường thẳng $y=m$

Ta có đồ thị hàm số $y=\left|x^4-4x^2+3\right|$như hình vẽ:  

Ta có:$-1<\cos x\le 0\forall x\in \left[\frac{\pi }{2};\pi \right)$  khi đó dựa vào đồ thị hàm số ta có $0\le f\left(\cos x\right)<2$

$\iff 0\le 2f\left(\cos x\right)<4\iff 0\le \sqrt{2f\left(\cos x\right)}<2$

Đặt $t=\sqrt{2f\left(\cos x\right)}\Rightarrow t\in \left[0;2\right)$

Khi đó yêu cầu bài toán trở thành: Tổng tất cả giá trị nguyên của tham số m để phương trình $f\left(t\right)=m$ có nghiệm $t\in \left[0;2\right)$

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy với $t\in \left[0;2\right)$ thì $f\left(t\right)\in \left[-2;2\right)$ do đó phương trình $f\left(t\right)=m$ có nghiệm $\iff m\in \left[-2;2\right)$

Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{-2;-1;0;1\right\}$

Vậy tổng các giá trị của m thỏa mãn là $-2-1+0+1=-2$

Đáp án cần chọn là: D