ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Hàm số xác định trên $\left[0;4\right]$

Ta có: $f\left(x\right)=\left|x-3\right|\sqrt{x+1}=\sqrt{\left(x+1\right){\left(x-3\right)}^2}$

Xét hàm số $g\left(x\right)=\left(x+1\right){\left(x-3\right)}^2$ trên đoạn $\left[0;4\right]$ ta có:

$g\text{'}\left(x\right)={(x-3)}^2+(x+1).2(x-3)$

$g\text{'}\left(x\right)=(x-3)(x-3+2x+2)$

$g\text{'}\left(x\right)=(x-3)(3x-1)$

$g\text{'}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{c}x=3\in [0;4]\\ x=\frac{1}{3}\in [0;4]\end{array}\right.$

Ta có: $g\left(0\right)=9,g\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{256}{27},g\left(3\right)=0,g\left(4\right)=5$

Vậy $\left\{\begin{array}{c}M=\underset{\left[0;4\right]}{\text{max}}f\left(x\right)=\sqrt{g\left(\frac{1}{3}\right)}=\frac{16\sqrt{3}}{9}\\ N=\underset{[0;4]}{min}f\left(x\right)=\sqrt{g\left(0\right)}=0\end{array}\Rightarrow M+2N=\frac{16\sqrt{3}}{9}\right.$
Đáp án cần chọn là: A

Các hàm số đã cho đều có TXĐ: $D=ℝ$

Ta có:

$\begin{array}{l}\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x^3-3x+2\right)=-\infty \\ \underset{x\to +\infty }{\lim }\left(-2x^3+3x^2-1\right)=-\infty \\ \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left(x^4-2x^2-1\right)=+\infty \\ \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left(-x^4+4x^2\right)=-\infty \end{array}$

Do đó, hàm số có giá trị nhỏ nhất trên tập xác định là $y=x^4-2x^2-1$
Đáp án cần chọn là: C

Khảo sát hàm số $y=-x^3+3x$ trên $\left[0;3\right]$

$y^{\text{'}}=-3x^2+3=0\iff x=\pm 1$

+ BBT:

Đặt $g\left(x\right)=f\left(x\right)+x^2$  ta có $m<g\left(x\right)\forall x\in \left(1;2\right)\iff m\le \underset{\left[1;2\right]}{\min }g\left(x\right)$

Ta có $g^{\text{'}}\left(x\right)=f^{\text{'}}\left(x\right)+2x$ với $x\in \left(1;2\right)$

Ta có $\left\{\begin{array}{c}f\text{'}\left(x\right)>0\\ 2x>0\end{array}\right.\Rightarrow g\text{'}\left(x\right)>0\forall x\in (1;2)$

⇒ hàm số g(x) đồng biến trên (1;2).

$\Rightarrow \underset{\left[1;2\right]}{\min }g\left(x\right)=g\left(1\right)=f\left(1\right)+1$

Vậy $m\le f\left(1\right)+1$

Đáp án cần chọn là: D

Ta có:

$y\text{'}=5x^4-20x^3+15x^2=0\iff 5x^2(x^2-4x+3)=0$

$\iff \left[\begin{array}{c}x=0\in [-1;2]\\ x=1\in [-1;2]\\ x=3\notin [-1;2]\end{array}\right.$

$f(-1)=-10,f\left(0\right)=1,f\left(1\right)=2,f\left(2\right)=-7$

Vậy giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm trên $\left[-1;2\right]$ lần lượt là 22 và −10

Đáp án cần chọn là: A

TXĐ: $D=R$

Ta có: $f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{8{\text{x}}^2-12\text{x}-8}{{\left(x^2+1\right)}^2}$

$f^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff x=2$ hoặc $x=-\frac{1}{2}$

$\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }y=0$

Bảng biến thiên

TXĐ: $R\setminus \left\{0\right\}$

$y^{\text{'}}=1-\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}$

$y^{\text{'}}=0\iff \frac{x^2-1}{x^2}=0\iff x^2-1=0\iff x=1\left(tm\right)$ hoặc $x=-1\left(ktm\right)$

Bảng biến thiên:

$D=ℝ\setminus \left\{m\right\}\Rightarrow \text{m}\notin \left[2;3\right]$

$\begin{array}{l}y=\frac{2mx+1}{-x+m}\\ \Rightarrow y^{\text{'}}=\frac{2m\left(-x+m\right)+1.\left(2mx+1\right)}{{\left(-x+m\right)}^2}=\frac{2m^2+1}{{\left(-x+m\right)}^2}>0,\forall x\in \left[2;3\right]\end{array}$

Hàm số luôn đồng biến trên $\left[2;3\right]$

$\begin{array}{l}\Rightarrow Maxy=f\left(3\right)=\frac{6m+1}{m-3}\\ Maxy=\frac{-1}{3}\iff \frac{6m+1}{m-3}=\frac{-1}{3}\iff 18m+3=-m+3\iff 19m=0\iff m=0\left(TMDK\right)\end{array}$

Đáp án cần chọn là: B

TXĐ: $D=ℝ$

$y^{\text{'}}=3x^2-6mx.$

Ta có:$y\text{'}=0\iff \left[\begin{array}{c}x=0\Rightarrow y=6\\ x=2m\Rightarrow y=-4m^3+6\end{array}\right.$

Xét TH1: m=0. Hàm số đồng biến trên $\left[0;3\right]\Rightarrow \underset{\left[0;3\right]}{Min}y=y\left(0\right)=6\Rightarrow$ loại.

Xét TH2: $m⩾\frac{3}{2}\Rightarrow 2m\ge 3>0$ Khi đó, hàm số nghịch biến trên $\left[0;3\right]\subset \left[0;2m\right]$
$\Rightarrow \underset{\left[0;3\right]}{Min}y=y\left(3\right)=33-27m=2\Rightarrow m=\frac{31}{27}<\frac{3}{2}$(loại)

Xét TH3: $\frac{3}{2}>m>0\Rightarrow 3>2m>0$ thì đồ thị hàm số có điểm cực đại là (0;6) và điểm cực tiểu là $\left(2m,-4m^3+6\right).$
Khi đó , GTNN trên $\left[0;3\right]$là $y\left(2m\right)=-4m^3+6$

$\Rightarrow -4m^3+6=2\iff m^3=1\iff m=1$(thỏa mãn)

Xét TH4: $m<0\Rightarrow \left(0;6\right)$ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số và trên $\left[0;3\right]$ hàm số đồng biến.
$\Rightarrow y_{min}=6\Rightarrow$ loại.

Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.

Đáp án cần chọn là: D

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: $\left\{\begin{array}{c}a=\underset{[0;1]}{Min}f\left(t\right)=0khit=0\Rightarrow x=-1\\ A=\underset{[0;1]}{Max}f\left(t\right)=3khit=1\Rightarrow x=0\end{array}\right.$

$\Rightarrow a+A=0+3=3.$

Đáp án cần chọn là: D

Ta có: $\left|f\left(x\right)+m\right|<2m$

$\iff -2m<f\left(x\right)+m<2m$

$\iff -3m<f\left(x\right)<m$

$\iff \left\{\begin{array}{c}-3m<\underset{[-1;4]}{min}f\left(x\right)\\ \underset{[-1;4]}{max}f\left(x\right)<m\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}-3m<-2\\ 3<m\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}m>\frac{2}{3}\\ m>3\end{array}\right.$

$\iff m>3$

Kết hợp điều kiện đề bài $\Rightarrow m\in \left(3;10\right],m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{4;5;6;7;8;9;10\right\}$

Vậy có 7 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: C

Do x là độ dài của đoạn dây cuộn thành hình tròn $\left(0<x<a\right).$Suy ra chiều dài đoạn còn lại là a − x.

Gọi r là bán kính của đường tròn. Chu vi đường tròn: $2\pi r=x\Rightarrow r=\frac{x}{2\pi }$
Do đó diện tích hình tròn là: $S_1=\pi .r^2=\frac{x^2}{4\pi }$

Chu vi hình vuông là $a-x\Rightarrow$Cạnh hình vuông là $\frac{a-x}{4}$Do đó diện tích hình vuông:

$S_2={\left(\frac{a-x}{4}\right)}^2$

Tổng diện tích hai hình:

$\begin{array}{l}S=\frac{x^2}{4\pi }+{\left(\frac{a-x}{4}\right)}^2\\ =\frac{4x^2+\pi {\left(a-x\right)}^2}{16\pi }\\ =\frac{\left(4+\pi \right).x^2-2a\pi x+\pi a^2}{16\pi }\end{array}$

Xét hàm số  $S\left(x\right)=\frac{\left(4+\pi \right).x^2-2a\pi x+\pi a^2}{16\pi }$ta có:

$S^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{2\left(4+\pi \right).x-2a\pi }{16\pi }=\frac{\left(4+\pi \right).x-a\pi }{8\pi }$

Cho $S^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff \left(4+\pi \right)x-a\pi =0\iff x=\frac{a\pi }{4+\pi }$Ta có BBT như sau :

$\begin{array}{l}y=2{\sin }^{2}x-\cos x+1\\ \Rightarrow y=2\left(1-{\cos }^{2}x\right)-\cos x+1\\ \Rightarrow y=-2{\cos }^{2}x-\cos x+3\end{array}$

Ta có  $g\left(x\right)=2f\left(x\right)-x^2\Rightarrow g^{\text{'}}\left(x\right)=2f^{\text{'}}\left(x\right)-2x$

Ta có : $g^{\text{'}}\left(x\right)=\left(3x^2+2\right).f^{\text{'}}\left(x^3+2x\right)$

$g\text{'}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{c}3x^2+2=0\\ f\text{'}(x^3+2x)=0\end{array}\right.\iff f\text{'}(x^3+2x)=0$ (Do phương trình $3x^2+2=0$vô nghiệm).