ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Nếu M = −2 là GTLN của hàm số y = f(x) trên 1;3 thì fx⩽−2,∀x∈1;3

Đáp án cần chọn là: D

GTNN của f(x) trên 0;2 bằng 5 nên fx⩾5,∀x∈0;2⇒f2⩾5.

Đáp án cần chọn là: B

Ta cóy'=2−sinx>0​​∀x∈R⇒Hàm số luôn đồng biến trên0;1

⇒min0;1y=y0=1

Đáp án cần chọn là: B

Ta có y'=cosx⇒y'=0⇔cosx=0⇔x=π2+kπk∈ℤ

Dox∈−π2;−π3nênk=−1hayx=−π2

Suy ra

y(−π2)=−1;y(−π3)=−32

max−π2;−π3y=−32min−π2;−π3y=−1

Đáp án cần chọn là: B

 x>1⇔x−1>0

⇒y=x−1+4x−1≥2x−1.4x−1=2.2=4

Dấu bằng xảy ra ⇔x−1=4x−1⇔x−12=4⇔x=3

Vậy GTNN của hàm số là m = 4 khi x = 3.

Đáp án cần chọn là: D

Ta có:

+)max−3;0fx=f0=−3 nên A sai.

+) min1;3fx=f2=−7 nên B đúng.

+) Vì limx→−∞fx=−∞ nên không tồn tạimin−∞;2fx nên C sai.

+)max−1;1fx=f0=−3  nên D sai.

Đáp án cần chọn là: B

A sai vì y = 3 là giá trị cực đại của hàm số, không phải giá trị lớn nhất.

B sai vì hàm số đồng biến trên các khoảng −∞;0,2;+∞

C sai vì x = 2 là điểm cực tiểu của hàm số không phải giá trị cực tiểu.

D đúng vì trên đoạn 0;4thì hàm số đạt GTNN (cũng là giá trị cực tiểu) bằng −1 đạt được tại x = 2.

Đáp án cần chọn là: D

Đáp án A: Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y = 3 là giá trị cực đại của hàm số nên A sai.

Đáp án B: GTNN và giá trị cực tiểu của hàm số là y = 0 nên B đúng và C sai.

Đáp án D: Hàm số không có GTLN vì limx→±∞y=+∞.

Đáp án cần chọn là: B

Dựa vào đồ thị hàm số ta có: m=min[−2;2]f(x)=−5M=max[−2;2]f(x)=−1

Đáp án cần chọn là: A

Hàm số xác định trên 0;4

Ta có: fx=x−3x+1=x+1x−32

Xét hàm số gx=x+1x−32 trên đoạn 0;4 ta có:

g'(x)=(x−3)2+(x+1).2(x−3)

g'(x)=(x−3)(x−3+2x+2)

g'(x)=(x−3)(3x−1)

g'(x)=0⇔x=3∈[0;4]x=13∈[0;4]

Ta có: g0=9,  g13=25627,  g3=0,  g4=5

Vậy M=max0;4f(x)=g13=1639N=min[0;4]f(x)=g0=0⇒M+2N=1639
Đáp án cần chọn là: A

Các hàm số đã cho đều có TXĐ: D=ℝ

Ta có:

limx→−∞x3−3x+2=−∞limx→+∞−2x3+3x2−1=−∞limx→±∞x4−2x2−1=+∞limx→±∞−x4+4x2=−∞

Do đó, hàm số có giá trị nhỏ nhất trên tập xác định là y=x4−2x2−1
Đáp án cần chọn là: C

Khảo sát hàm số y=−x3+3x trên 0;3

y'=−3x2+3=0⇔x=±1

+ BBT:

⇒ Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x = 1.

Đáp án cần chọn là: C

Đặt gx=fx+x2  ta có m<gx  ∀x∈1;2⇔m≤min1;2gx

Ta có g'x=f'x+2x với x∈1;2

Ta có f'(x)>02x>0⇒g'(x)>0∀x∈(1;2)

⇒ hàm số g(x) đồng biến trên (1;2).

⇒min1;2gx=g1=f1+1

Vậy m≤f1+1

Đáp án cần chọn là: D

y'=3x2−10x+3=0⇔x=3∈[2;4]x=13∉[2;4]

f2=−7,f3=−10,f4=−5

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số y=x3−5x2+3x−1trên đoạn  2;4 là M = −5

Đáp án cần chọn là: C

Ta có:

y'=5x4−20x3+15x2=0⇔5x2(x2−4x+3)=0

⇔x=0∈[−1;2]x=1∈[−1;2]x=3∉[−1;2]

f(−1)=−10,f(0)=1,f(1)=2,f(2)=−7

Vậy giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm trên −1;2  lần lượt là 22 và −10

Đáp án cần chọn là: A

TXĐ: D=R

Ta có: f'x=8x2−12x−8x2+12

f'x=0⇔x=2 hoặc x=−12

limx→+∞y=limx→−∞y=0

Bảng biến thiên

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là y = 8 tại x=−12

Đáp án cần chọn là: C

TXĐ: D=R

Ta có: y'=4x3+4x⇒y'=0⇔x=0∈−1;2

f(−1)=2, f(0)  = −1, f(2)  =  23
Ta thấy GTLN và GTNN lần lượt  là M=23,m=−1⇒M.m=23.−1=−23

Đáp án cần chọn là: C

TXĐ: R∖0

y'=1−1x2=x2−1x2

y'=0⇔x2−1x2=0⇔x2−1=0⇔x=1(tm) hoặc x=−1(ktm)

Bảng biến thiên:

⇒Minx∈0;+∞ y=f1=2

Đáp án cần chọn là: A

D=ℝ∖m⇒m∉2;3

y=2mx+1−x+m⇒y'=2m−x+m+1.2mx+1−x+m2=2m2+1−x+m2>0 ,∀x∈2;3

Hàm số luôn đồng biến trên 2;3

⇒Max y=f3=6m+1m−3Max y=−13⇔6m+1m−3=−13⇔18m+3=−m+3⇔19m=0⇔m=0(TMDK)

Đáp án cần chọn là: B

TXĐ: D=ℝ

y'=3x2−6mx.

Ta có:y'=0⇔x=0⇒y=6x=2m⇒y=−4m3+6

Xét TH1: m=0. Hàm số đồng biến trên 0;3⇒Min0;3y=y0=6⇒ loại.

Xét TH2: m⩾32⇒2m≥3>0 Khi đó, hàm số nghịch biến trên 0;3⊂0;2m
⇒Min0;3y=y3=33−27m=2⇒m=3127<32(loại)

Xét TH3: 32>m>0⇒3>2m>0 thì đồ thị hàm số có điểm cực đại là (0;6) và điểm cực tiểu là 2m,−4m3+6.
Khi đó , GTNN trên 0;3là y2m=−4m3+6

⇒−4m3+6=2⇔m3=1⇔m=1(thỏa mãn)

Xét TH4: m<0⇒0;6 là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số và trên 0;3 hàm số đồng biến.
⇒ymin=6⇒ loại.

Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.

Đáp án cần chọn là: D

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: a=Min[0;1]f(t)=0 khi t=0⇒x=−1A=Max[0;1]f(t)=3 khi t=1⇒x=0

⇒a+A=0+3=3.

Đáp án cần chọn là: D

Ta có: fx+m<2m

⇔−2m<fx+m<2m

⇔−3m<fx<m

⇔−3m<min[−1;4]f(x)max[−1;4]f(x)<m⇔−3m<−23<m⇔m>23m>3

⇔m>3

Kết hợp điều kiện đề bài ⇒m∈3;10,  m∈ℤ⇒m∈4;5;6;7;8;9;10

Vậy có 7 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: C

Do x là độ dài của đoạn dây cuộn thành hình tròn 0<x<a.Suy ra chiều dài đoạn còn lại là a − x.

Gọi r là bán kính của đường tròn. Chu vi đường tròn: 2πr=x⇒r=x2π
Do đó diện tích hình tròn là: S1=π.r2=x24π

Chu vi hình vuông là a−x⇒Cạnh hình vuông là a−x4Do đó diện tích hình vuông:

S2=a−x42

Tổng diện tích hai hình:

S=x24π+a−x42    =4x2+πa−x216π     =4+π.x2−2aπx+πa216π

Xét hàm số  Sx=4+π.x2−2aπx+πa216πta có:

S'x=24+π.x−2aπ16π=4+π.x−aπ8π

Cho S'x=0⇔4+πx−aπ=0⇔x=aπ4+πTa có BBT như sau :

Suy ra hàm S chỉ có một cực trị và là cực tiểu tại x=aπ4+π

Do đó S đạt giá trị nhỏ nhất tại x=aπ4+π
Đáp án cần chọn là: C

       y=2sin2x−cosx+1⇒y=21−cos2x−cosx+1⇒y=−2cos2x−cosx+3

Đặt cosx=t    −1≤t≤1 hàm số trở thành: y=−2t2−t+3.

Bảng biến thiên:

Từ BBT ta suy raM=258,  m=0

Vậy M+m=258

Đáp án cần chọn là: A

Ta có gx=2fx−x2⇒g'x=2f'x−2x

Cho g'x=0⇔f'x=x   1

Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số

y=f'x;  y=x.

Vẽ đường thẳng y=x  và đồ thị hàm số y=f'x trên cùng hệ trục tọa độ:

Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị hai hàm số y=f'x;  y=x cắt nhau tại 3 điểm có hoành độ là −2;2;4.

 

 ⇒g'(x)=0⇔x=−2x=2x=4

Bảng biến thiên đồ thị hàm số y=gx

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số g(x) trên đoạn −2;4 là g(2).

Đáp án cần chọn là: B

 

Ta có : g'x=3x2+2.f'x3+2x

g'(x)=0⇔3x2+2=0f'(x3+2x)=0⇔f'(x3+2x)=0 (Do phương trình 3x2+2=0 vô nghiệm).

Từ đồ thị hàm số f(x) đã cho ta có 

f'(x3+2x)=0⇔x3+2x=0x3+2x=2⇔x=0x=x0≈0,77

Hàm số g(x) trên đoạn 0;1có : 

g0=f0+m=m+1gx0=f2+m=m−3g1=f3+m=m+1

Do đó, max0;1gx=g0=g1=m+1

Theo giả thiết, giá trị lớn nhất của hàm số g(x) trên 0;1bằng 9 nên m+1=9⇔m=8

Vậy m = 8.

Đáp án cần chọn là: D

 

Đặt t=1−2cosxVới x∈0;  3π2thì cosx∈−1;1⇒1−2cosx∈−1;3⇒t∈−1;3.

Khi đó ta có y=ftvới t∈−1;3

Quan sát đồ thị hàm số y=fttrên đoạn −1;3ta thấy GTLN của hàm số là 2,

GTNN của hàm số là −32

⇒M=2,  m=−32⇒M+m=12

Đáp án cần chọn là: A

Xét hàm số y=fx=x3−3x2+m trên1;3 có

f'(x)=3x2−6x,f'(x)=0⇔x=0(L)x=2

Bảng biến thiên:

min[1;3]∣x3−3x2+m∣≥2⇒m−4>0m<0

TH1: m−4>0⇔m>4

min1;3x3−3x2+m≥2⇔m−4≥2⇔m≥6

Mà: m∈−5;5⇒m∈∅

TH2: m < 0

min1;3x3−3x2+m≥2⇔−m≥2⇔m≤−2

Mà m∈−5;5,m∈ℤ⇒m∈−5;−4;−3;−2 :4 giá trị 

Đáp án cần chọn là: B

Ta có x2+y2−4x+6y+4+y2+6y+10=6+4x−x2

⇔x2+y2−4x+6y+4+y2+6y+10−6+4x−x2=0⇔x2+y2−4x+6y+4+y2+6y+10−6+4x−x2y2+6y+10+6+4x−x2y2+6y+10+6+4x−x2=0

⇔x2+y2−4x+6y+4+y2+6y+10−6−4x+x2y2+6y+10+6+4x−x2=0⇔x2+y2−4x+6y+4+x2+y2−4x+6y+4y2+6y+10+6+4x−x2=0

⇔x2+y2−4x+6y+41+1y2+6y+10+6+4x−x2=0

1+1y2+6y+10+6+4x−x2>0

⇔x−22+y+32=9

Phương trình x−22+y+32=9 là phương trình đường tròn (C) tâm I(2;−3) và bán kính R=3.

Gọi Nx;y∈C ta suy ra ON=x2+y2 suy ra T=ON−a

Gọi A,B là giao điểm của đường tròn (C) và đường thẳng OI.

Khi đó OA=OI−R=13−3 và OB=OI+R=13+3

Suy ra 13−3≤x2+y2≤13+3

 TH1: Nếu 13−3≤a≤13+3 thìx2+y2−a≥0⇒minT=0⇒M≥2m⇒a∈1;2;3;4;5;6TH2: Nếu a<13−3⇒a<13  nên 13+3−a>13−3−a , do đóM=13+3−a;m=13−3−aVì M≥2m⇒13+3−a≥213−3−a⇔13+3−a2−213−6−2a2≥0⇔13−9≤a≤13−1⇒a∈−5;−4;−3;−2;−1;0TH3: Nếu a>13+3⇒a>13 nên 13+3−a<13−3−a do đóm=13+3−a;M=13−3−aVì M≥2m⇒13−3−a≥213+3−a⇔13−3−a2−213+6−2a2≥0⇔13+1≤a≤13+9⇒a∈7;8;9;10

Vậy có 16 giá trị của a thỏa mãn đề bài.

Đáp án cần chọn là: B

f(x)>sinπx2+m∀x∈[−1;3]⇔g(x)=f(x)−sinπx2>m∀x∈[−1;3]⇒m<min[−1;3]g(x)

Từ đồ thị hàm số y=f'x ta suy ra BBT đồ thị hàm số y=fx như sau:

Dựa vào BBT ta thấy fx≥f1  ∀x∈−1;3

x∈−1;3⇒πx2∈−π2;3π2⇒−1≤sinπx2≤1⇔−1≤−sinπx2≤1

⇒f1−1≤fx−sinπx2⇔gx≥f1−1⇒min−1;3gx=f1−1

Vậy m<f1−1

Đáp án cần chọn là: B

Ta có: 

fx=1x2−4x+5−x24+xfx=1x2−4x+5−x2−4x4

Đặt t=x2−4x+5 với x∈0;3 ta có t'=2x−4=0⇔x=2∈0;3

Ta có: t0=5;  t2=1,  t3=2

 ⇒ Với x∈0;3 thì t∈1;5 khi đó hàm số trở thành ft=1t−t−54 với t∈1;5

Ta có: f't=−1t2−14<0  ∀t∈1;5

⇒ Hàm số y=ft nghịch biến trên 1;5

⇔max[0;3]f(x)=max[1;5]f(t)=f(1)=2=Mmin[0;3]f(x)=min[1;5]f(t)=f(5)=15=m

Vậy M−m=2−15=95

Đáp án cần chọn là: D

Ta có: g'x=2f'x−21−x=2f'x−1−x

Xét g'x=0⇔f'x=1−xsố nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y=f'x và đường thẳng y=1−x

Ta biểu diễn đường thẳng y=1−x trên hình vẽ:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy f'(x)=1−x⇔x=−4x=−1x=3

Từ đó, ta suy ra bảng xét dấu g′(x) như sau:

Vậy hàm số đạt GTNN tại x=−1

Đáp án cần chọn là: A

Ta có: y'=3x2−6mx+3m2−1

Cho y'=0⇔3x2−6mx+3m2−1=0⇔x2−2mx+m2−1=0

Ta có =m2−m2+1=1>0khi đó phương trình y'=0có 2 nghiệm phân biệt x1=m+1x2=m−1

Ta có BBT:

Ta có:

fm−1=m3−3m+2022fm+1=m3−3m+2018

TH1: 0<m−1⇔m>1

Ta có: f0=2020

Để hàm số có GTNN trên 0;+∞thì

fm+1≤f0⇔m3−3m+2018≤2020⇔m3−3m−2≤0

Xét hàm số fm=m3−3m−2 ta có f'm=3m2−3=0⇔m=±1

BBT:

Dựa vào BT ta thấy fm≤0⇔m≤2

Kết hợp điều kiện ⇒1<m≤2

TH2: m−1≤0<m+1⇔−1<m≤1khi đó hàm GTNN của hàm số trên0;+∞là fm+1

Kết hợp 2 trường hợp ta có: 1<m≤2−1<m≤1.Mà m∈ℤ⇒m∈0;1;2

Vậy có 3 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: D

 

Ta có: 

2x+y−13x+y+1=3x+3y+1⇔2x+y3x+y+1=6x+6x+2⇔6x+y+2x+y=6x+y+2

Đặt x+y=t phương trình trở thành 6t+2t=6t+2⇔6t+2t−6t−2=0

Xét hàm số ft=6t+2t−6t−2 ta có:

f't=6t.ln6+2t.ln2−6f''t=6tln26+2t.ln22>0   ∀t∈ℝ

Do đó hàm số y=f't đồng biến trên ℝ, suy ra phương trình f′(t)=0f′(t)=0 có nhiều nhất 1 nghiệm.

Suy ra phương trình ft=0 có nhiều nhất 2 nghiệm.

Ta lại có: f(0)=60+20−6.0−2=0f(1)=61+21−6.1−2=0 do đó phương trình ft=0 có đúng hai nghiệm t=0,t=1

⇐x+y=0x+y=2

TH1: x+y=0⇒y=−x

Thay vào P ta có: P=x2+xy+y2=x2≥0

TH2: x+y=1⇔y=1−x

Thay vào P ta có:  

P=x2+x1−x+1−x2=x2−x+1=x−122+34≥34

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 0, đạt được khi x+y=0
Đáp án cần chọn là: D

Ta có: x2+2y2+2xy=1⇔x+y2+y2=1

Đặt x+y=sinαy=cosαTa có Q=fx+y+1x+2y−2=fsinα+1sinα+cos α−2

Đặt t=sinα+1sinα+cos α−2 Ta có Q=fsinα+1sinα+cos α−2=ft

t=sinα+1sinα+cos α−2  α∈ℝ⇔tsinα+tcos α−2t=sinα+1⇔t−1sinα+t cos α=2t+1 (*)

Để phương trình (*) tồn tại nghiệm α thì t−12+t2≥2t+12

⇔t2−2t+1+t2≥4t2+4t+1⇔2t2+6t≤0⇔−3≤t≤0

Xét Q=ft=t4−t2+2 trên đoạn −3;0 có:

f'(t)=4t3−2t,f'(t)=0⇔t=0t=±12

Hàm số ft liên tục trên −3;0 có f−3=74, f−12=74, f0=2

⇒min−3;0ft=74, max−3;0ft=74

⇒M + m =74+74=3034

Đáp án cần chọn là: C

Đặt Mx;x+1x−1∈C.

Khi đó ta có: d(M;Ox)=|yM|=x+1x−1d(M;Oy)=|xM|=|x|

Tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là S=x+x+1x−1≥x+x+1x−1.

Dấu bằng xảy ra khi x.x+1x−1≥0⇔x>1−1≤x≤0

Đặt fx=x+x+1x−1=x2+1x−1

⇒f'(x)=x2−2x−1(x−1)2=0⇔x=1−2x=1+2

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy x+x+1x−1≥2−22=22−2.

Dấu bằng xảy ra khi x=1−2⇒y=1−2⇒xM+yM=2−22.

Đáp án cần chọn là: B

Ta có:

gx=fx−13x3−34x2+32x+2018     ⇒     g'x=f'x−x2−32x+32

Căn cứ vào đồ thị y=f'x  ta có: f'(−1)=−2f'(1)=1f'(−3)=3⇒g'(−1)=0g'(1)=0g'(−3)=0

Ngoài ra, vẽ đồ thị (P) của hàm số y=x2+32x−32 trên cùng hệ trục tọa độ như hình vẽ bên (đường nét đứt), ta thấy (P) đi qua các điểm −3;3,−1;−2,1;1 với đỉnh I−34;−3316

- Trên khoảng (−1;1) thì f'x>x2+32x−32 nên g'x>0  ∀x∈−1;1

- Trên khoảng (−3;−1) thì f'x<x2+32x−32 nên g'x<0  ∀x∈−3;−1

Từ những nhận định trên, ta có bảng biến thiên của hàm y=g'x trên −3;1 như sau:

Vậy min−3;  1gx=g−1

Đáp án cần chọn là: A

Ta có

y'=3x+m2+3x+n2−3x2=3x2+2m+nx+m2+n2

Hàm số đồng biến trên −∞; +∞⇔a>0Δ'≤0⇔mn≤0

TH1: mn=0⇔m=0n=0

Do vai trò của m,n là như nhau nên ta chỉ cần xét trường hợp m = 0

⇒P=4n2−n=2n−142−116≥−1161

TH2: m n<0⇔m>0; n<0  (do vai trò của m,n như nhau).

Ta có: P=2m−142−116+4n2+−n>−1162

Từ (1),(2) ta có Pmin=−116

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi m=18;n=0 hoặc m=0;n=18

Đáp án cần chọn là: C

Gọi x là số lít xăng mà An đã dùng trong một ngày. Với 0<x<10

⇒10 − x là số lít xăng mà Bình đã dùng trong một ngày.

Khi đó

+ Để An tiêu thụ hết 32 lít xăng cần 32x ngày.

+ Để Bình tiêu thụ hết 72 lít xăng cần 7210−x ngày.

Vậy tổng số ngày chạy xe của hai tài xế là

y=32x+7210−x⇒y'=−32x2+7210−x2⇒y'=0⇔x=4

Bảng biến thiên:

Nhìn bảng biến thiên ta thấy tổng số ngày chạy xe ít nhất của hai tài xế là 20 ngày.

Đáp án cần chọn là: A

Gọi AD là quãng đường cô An đi đường bộ.

Đặt DB=x km0≤x≤50⇒AD=50−x km

Chi phí của cô An: fx=50−x3+x2+102.5USD

f(x) liên tục trên 0;50

Ta có: f'x=−3+5.xx2+100=−3x2+100+5xx2+100

f'x=0⇔−3x2+100+5x=0⇔x≥09(x2+100)=25x2

⇔x≥0x2=9.10016⇔x≥0x=152

Ta có f0=200;  f50=5026;  f152=190

Để chi phí ít nhất thì x=152

 Vậy cô An phải đi đường bộ một khoảng: AD=50−152=852km để chi phí ít nhất.

Đáp án cần chọn là: B

Gọi a,b,c>0 lần lượt là chiều rộng, dài, cao của hình hộp chữ nhật.

Theo đề V=abc=220500 và c=3a⇒3a2b=220500⇒ab=73500a

Ta có: Stp=ab+2ac+2bc=ab+6a2+6ab=7ab+6a2

=514500a+6a2=642875a+42875a+a2

Stp=642875a+42875a+a2≥6.342875a.42875a.a23=22050.

Suy ra Stpnhỏ nhất khi 42875a=a2⇔a=35⇒b=60⇒S=2100   cm2

Đáp án cần chọn là: C

Ở tháng thu nhập của công ty cao nhất, gọi số căn hộ bị bỏ trống là x thì số tiền thuê mỗi phòng là 2.000.000+50.000x khi đó số tiền thu được là

fx=2.000.000+50.000x50−x=−50.000x2+500.000x+100.000.000 

Ta cần tìm x∈0; 50để f(x) lớn nhất.

Ta có f'x=−100.000x+500.000,f'x=0⇔x=5

Bảng biến thiên:

Vậy mỗi tháng lợi nhuận cao nhất thu được của công ty là 101.250.000

Đáp án cần chọn là: B