Đề tự kiểm tra chương II - Hình học 10 có đáp án

Vì 30⁰ và 60⁰ là hai góc phụ nhau nên $\left\{\begin{array}{l}\sin {30}^0=\cos {60}^0\\ \sin {60}^0=\cos {30}^0\end{array}\right.$

$\begin{array}{l}\Rightarrow P=\cos {30}^{\circ }\cos {60}^{\circ }-\sin {30}^{\circ }\sin {60}^{\circ }\\ =\cos {30}^{\circ }\cos {60}^{\circ }-\cos {60}^{\circ }\cos {30}^{\circ }=0.\end{array}$

 Chọn D.

Hai góc nhọn α và β phụ nhau thì:

 $\sin \alpha =\cos \beta ;cos\alpha =sin\beta ;tan\alpha =cot\beta ;$ $\cot \alpha =tan\beta$.

Chọn A.

Ta có $P=\frac{6\sin \alpha -7\cos \alpha }{6\cos \alpha +7\sin \alpha }=\frac{6\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }-7}{6+7\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }}=\frac{6\tan \alpha -7}{6+7\tan \alpha }=\frac{5}{3}.$ 

Chọn B.

Ta có:

$3\cos \alpha -\sin \alpha =1\iff 3\cos \alpha =\sin \alpha +1\to 9{\cos }^2\alpha ={\left(\sin \alpha +1\right)}^2$

$\iff 9{\cos }^2\alpha ={\sin }^2\alpha +2\sin \alpha +1\iff 9\left(1-{\sin }^2\alpha \right)={\sin }^2\alpha +2\sin \alpha +1$ 

$\iff 10{\sin }^2\alpha +2\sin \alpha -8=0\iff \left[\begin{array}{l}\sin \alpha =-1\\ \sin \alpha =\frac{4}{5}\end{array}\right..$

$\sin \alpha =-1$ : không thỏa mãn vì $0^0<\alpha <{90}^0.$

 $\sin \alpha =\frac{4}{5}\Rightarrow \cos \alpha =\frac{3}{5}\Rightarrow \tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{4}{3}.$ 

Chọn A.

Vẽ $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{BA}$.

Khi đó $\left(\overrightarrow{AH},\overrightarrow{AE}\right)=\widehat{HAE}=\alpha$ (hình vẽ)

          $={180}^0-\widehat{BAH}={180}^0-{30}^0={150}^0.$

Chọn D.

Vẽ $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{BA}$.

Khi đó $\cos \left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BA}\right)=\cos \left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AE}\right)$

$=\cos \widehat{CAE}=\cos {135}^0=-\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Chọn B.

Ta có $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$.

Mà theo giả thiết $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=-\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|$

Suy ra $\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=-1\Rightarrow \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)={180}^0.$ 

Chọn A.

Ta có $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right).$

$\Rightarrow cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}=\frac{-3}{3.2}=-\frac{1}{2}\Rightarrow \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)={120}^0$

Chọn D.

Ta có: góc $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$ là góc $\widehat{A}$ nên $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)={60}^0.$

Do đó $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC.cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=a.a.cos{60}^0=\frac{a^2}{2}.$

 Chọn D.

Do tam giác ABC vuông tại  A nên:

BC² = AC² + AB² =b² +c²  $\Rightarrow BC=\sqrt{b^2+\text{}{c}^2}$

$\text{cosB = }\frac{AB}{BC}=\frac{c}{\sqrt{b^2+\text{}{c}^2}}$

Ta có $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=BA.BC.cos\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)=BA.BC.cos\widehat{B}=c.\sqrt{b^2+c^2}.\frac{c}{\sqrt{b^2+c^2}}=c^2.$ 

Chọn B.

Cách khác. Tam giác ABC vuông tại A suy ra $AB\perp AC$$\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0.$

Ta có $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}.\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)={\overrightarrow{BA}}^2+\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AC}=A{B}^2=c^2.$ 

Chọn B.

Ta có: AB+ BC =AC nên ba điểm A, B,C thẳng hàng và B nằm giữa A, C

Khi đó $\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=CA.CB.\cos \left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}\right)=\mathrm{3.5.}\cos 0^0=15.$ 

Chọn B.

Cách khác. Ta có $A{B}^2={\overrightarrow{AB}}^2={\left(\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}\right)}^2=C{B}^2-2\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CA}+C{A}^2$

$\Rightarrow \overrightarrow{CB}\overrightarrow{CA}=\frac{1}{2}\left(C{B}^2+C{A}^2-A{B}^2\right)=\frac{1}{2}\left(3^2+5^2-2^2\right)=15.$

Ta có $P=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right).\overrightarrow{BC}=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right).\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right).$

$=\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}\right).\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)={\overrightarrow{AC}}^2-{\overrightarrow{AB}}^2=A{C}^2-A{B}^2=b^2-c^2.$ 

Chọn A.

Gọi I là trung điểm BC $\Rightarrow \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MI}.$

Ta có $\overrightarrow{MA}\left(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right)=0$$\iff \overrightarrow{MA}.2\overrightarrow{MI}=0\iff \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MI}=0\iff \overrightarrow{MA}\perp \overrightarrow{MI}$. $\left(*\right)$ 

Biểu thức (*) chứng tỏ $MA\perp MI$ hay M nhìn đoạn AI dưới một góc vuông nên tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính AI.

Chọn D.

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(-1;11\right),\overrightarrow{AC}=\left(-7;3\right)$.

Suy ra $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\left(-1\right).\left(-7\right)+11.3=40.$ 

Chọn A.

Gọi $\overrightarrow{c}=\left(x;y\right).$

Ta có $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{c}.\overrightarrow{a}=9\\ \overrightarrow{c}.\overrightarrow{b}=-20\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}-3x+2y=9\\ -x-7y=-20\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=3\end{array}\right.\Rightarrow \overrightarrow{c}=\left(-1;3\right).$ 

Chọn B.

Ta có $\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}=\frac{-1.2+1.0}{\sqrt{{\left(-1\right)}^2+1^2}.\sqrt{2^2+0^2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}.$ 

Chọn B.

Từ giả thiết suy ra $\overrightarrow{u}=\left(\frac{1}{2};-5\right),\overrightarrow{v}=\left(k;-4\right).$

Yêu cầu bài toán: $\overrightarrow{u}\perp \overrightarrow{v}\iff \frac{1}{2}k+\left(-5\right)\left(-4\right)=0\iff k=-40$.

Chọn C.

Ta có $\overrightarrow{MN}=\left(-4;6\right)$ suy ra $MN=\sqrt{{\left(-4\right)}^2+6^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}.$ 

Chọn D

Ta có $C\in Ox$nên C(c, 0) và $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{CA}=\left(-2-c;4\right)\\ \overrightarrow{CB}=\left(8-c;4\right)\end{array}\right..$

Tam giác ABC vuông tại C nên $\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=0\iff \left(-2-c\right).\left(8-c\right)+4.4=0$

$\iff c^2-6c=0\iff \left[\begin{array}{l}c=6\to C\left(6;0\right)\\ c=0\to C\left(0;0\right)\end{array}\right..$ 

Chọn B.

Ta có $P\in Ox$ nên P( x; 0) và $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{MP}=\left(x+2;-2\right)\\ \overrightarrow{MN}=\left(3;-1\right)\end{array}\right..$

Do M, N, P thẳng hàng nên 2 vecto $\overrightarrow{MP};\overrightarrow{MN}$ cùng phương

$\Rightarrow \frac{x+2}{3}=\frac{-2}{-1}=2\iff x+2=6\iff x=4\Rightarrow P\left(4;0\right).$ 

Chọn D.

Ta có $M\in Ox$ nên M( m; 0) và $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AM}=\left(m-2;-2\right)\\ \overrightarrow{BM}=\left(m-5;2\right)\end{array}\right..$

Vì $\widehat{AMB}={90}^0$ suy ra $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}=0$ nên $\left(m-2\right)\left(m-5\right)+\left(-2\right).2=0.$

$\iff m^2-7m+6=0\iff \left[\begin{array}{l}m=1\\ m=6\end{array}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{l}M\left(1;0\right)\\ M\left(6;0\right)\end{array}\right..$ 

Chọn B.

Gọi I( x; y). Ta có $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AI}=\left(x+4;y-1\right)\\ \overrightarrow{BI}=\left(x-2;y-4\right)\\ \overrightarrow{CI}=\left(x-2;y+2\right)\end{array}\right..$

Do I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên $IA=IB=IC\iff \left\{\begin{array}{l}I{A}^2=I{B}^2\\ I{B}^2=I{C}^2\end{array}\right.$

$\begin{array}{l}\iff \left\{\begin{array}{l}{\left(x+4\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2={\left(x-2\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2\\ {\left(x-2\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2={\left(x-2\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{\left(x+4\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2={\left(x-2\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2\\ {\left(y-4\right)}^2={\left(y+2\right)}^2\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}{\left(x+4\right)}^2={\left(x-2\right)}^2+{(1-4)}^2\\ y=1\end{array}\iff \left\{\begin{array}{c}{x}^2+\text{}8x+16=x^2-4x+4+\text{}9\\ y=1\end{array}\right.\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=-\frac{1}{4}\\ y=1\end{array}\right.\end{array}$.

Chọn B.

Ta có $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AH}=\left(a+3;b\right)\text{ ; }\overrightarrow{BC}=\left(-1;6\right)\\ \overrightarrow{BH}=\left(a-3;b\right)\text{ ; }\overrightarrow{AC}=\left(5;6\right)\end{array}\right..$ 

Từ giả thiết, H là trực tâm tam giác ABC nên ta có:

      $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0\\ \overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}=0\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}\left(a+3\right).\left(-1\right)+b.6=0\\ \left(a-3\right).5+b.6=0\end{array}\right.\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=\frac{5}{6}\end{array}\right.\Rightarrow a+6b=7.$ 

Chọn C.

Gọi $A\text{'}\left(x;y\right)$. Ta có $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AA\text{'}}=\left(x-4;y-3\right)\\ \overrightarrow{BC}=\left(-5;-15\right)\\ \overrightarrow{BA\text{'}}=\left(x-2;y-7\right)\end{array}\right..$

Từ giả thiết, ta có $\left\{\begin{array}{l}AA\text{'}\perp BC\\ B,A\text{'},C\text{ thang hang}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{ll}\overrightarrow{AA\text{'}}.\overrightarrow{BC}=0& \left(1\right)\\ \overrightarrow{BA\text{'}}=k\overrightarrow{BC}& \left(2\right)\end{array}\right..$

 $\left(1\right)\iff -5\left(x-4\right)-15\left(y-3\right)=0\iff x+3y=13.$ 

 $\left(2\right)\iff \frac{x-2}{-5}=\frac{y-7}{-15}\iff 3x-y=-1.$

Giải hệ $\left\{\begin{array}{l}x+3y=13\\ 3x-y=-1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=4\end{array}\right.\Rightarrow A\text{'}\left(1;4\right).$ 

Chọn C.

Theo hệ quả định lí cosin, ta có $\cos \widehat{A}=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2AB.AC}=\frac{5^2+8^2-7^2}{\mathrm{2.5.8}}=\frac{1}{2}$.

Do đó, $\widehat{A}=60°$.

 Chọn C.

Theo định lí hàm sin, ta có:

  $\begin{array}{l}\frac{AB}{\sin \widehat{C}}=\frac{AC}{\sin \widehat{B}}\iff \frac{5}{\sin 45°}=\frac{AC}{\sin 60°}\\ \Rightarrow AC=\frac{5.\sin {60}^0}{\sin {45}^0}=\frac{5\sqrt{6}}{2}\end{array}$.

Chọn A.

Áp dụng hệ thức đường trung tuyến $m_a^2=\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4}$ ta được:

$m_a^2=\frac{A{C}^2+A{B}^2}{2}-\frac{B{C}^2}{4}=\frac{{12}^2+9^2}{2}-\frac{{15}^2}{4}=\frac{225}{4}.$

$\Rightarrow m_a=\frac{15}{2}.$

Chọn A.

Áp dụng định lí Cosin, ta có $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AB.AC.\cos \widehat{BAC}$

$=3^2+6^2-\mathrm{2.3.6.}cos{60}^0=27\iff B{C}^2=27\iff B{C}^2+A{B}^2=A{C}^2.$

Suy ra tam giác ABC vuông tại B,  do đó bán kính $R=\frac{AC}{2}=3.$ 

Chọn A.

Ta có $\widehat{ABC}={180}^0-\left(\widehat{BAC}+\widehat{ACB}\right)=75°=\widehat{ACB}$.

Suy ra tam giác ABC cân tại A nên AB = AC = 4.

Diện tích tam giác ABC là $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB.AC\sin \widehat{BAC}=4.$ 

Chọn C

Ta có nửa chu vi của tam giác  $p=\frac{21+17+10}{2}=24$.

Do đó $S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}=\sqrt{24\left(24-21\right)\left(24-17\right)\left(24-10\right)}=84$.

Chọn D.