Đề toán tổng hợp chương 1

Không phải là hình đa diện, vì trong hình đó có cạnh (chẳng hạn AB) không phải là cạnh chung của đúng hai đa giác.

Lấy một đỉnh B tùy ý của hình đa diện (H). Gọi ${\mathrm{M}}_1$ là một mặt của hình đa diện (H) chứa B. Gọi A, B, C là ba đỉnh liên tiếp của ${\mathrm{M}}_1$. Khi đó AB, BC là hai cạnh của (H). Gọi ${\mathrm{M}}_2$ là mặt khác với ${\mathrm{M}}_1$ và có chung cạnh AB với ${\mathrm{M}}_1$. Khi đó ${\mathrm{M}}_2$ còn có ít nhất một đỉnh D sao cho A, B, D là ba đỉnh khác nhau liên tiếp của ${\mathrm{M}}_2$. Nếu D ≡ C thì ${\mathrm{M}}_1$ và ${\mathrm{M}}_2$ có hai cạnh chung AB và BC, điều này vô lí. Vậy D phải khác C. Do đó qua đỉnh B có ít nhất ba cạnh BA, BC và BD.

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, khi đó

Gọi D là trung điểm của AC, khi đó BD = 3a/4.

Ta có ${\mathrm{BC}}^2+{\mathrm{CD}}^2={\mathrm{BD}}^2$

do đó 

Suy ra

Chia đáy của hình lăng trụ đã cho thành năm tam giác cân có chung đỉnh O là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.

Khi đó diện tích đáy bằng: 

Do đó thể tích lăng trụ đó bằng: 

Dựng BE song song và bằng DC, DF song song và bằng BA. Khi đó, ABE.FDC là một lăng trụ đứng.

Ta có:

Gọi cạnh của tứ diện đều ABCD là a thì cạnh của hình bát diện đều (H) là a/2. Khi đó

Từ đó suy ra 

V = ${\mathrm{V}}_{\mathrm{IBCD}}+{\mathrm{V}}_{\mathrm{ICDA}}+{\mathrm{V}}_{\mathrm{IDAB}}+{\mathrm{V}}_{\mathrm{IABC}}$