Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán Sở GD&ĐT Quảng Trị năm học 2025-2026 có đáp án

1. Bằng các phép biến đổi đại số, hãy rút gọn biểu thức \(A = \sqrt {12}  - \sqrt 3 \).

\(A = \sqrt {12}  - \sqrt 3 \) \(A = \sqrt {4.3}  - \sqrt 3 \) \(A = 2\sqrt 3  - \sqrt 3 \) \(A = \sqrt 3 \)

Vậy \(A = \sqrt 3 \)

2. Không dùng máy tính cầm tay, giải phương trình \({x^2} + 3x - 4 = 0\).

Ta có \(a + b + c = 1 + 3 + \left( { - 4} \right) = 0\) nên phương trình có hai nghiệm \(x = 1\) và \(x =  - 4\)

Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 1\) và \(x =  - 4\)

Vì tần số của cỡ giày 40 là lớn nhất (7) nên cửa hàng nên nhập về cỡ giày 40 nhiều nhất để bán.

a) Thay tọa độ điểm \(M\left( {1;2} \right)\) vào \(\left( {\rm{P}} \right)\), ta được: \[2 = a{.1^2}\]suy ra: \(a = 2\)

Vậy \(a = 2\).

b) Vì \[A\] và \[B\] thuộc \(\left( {\rm{P}} \right)\) nên \({y_1} = 2x_1^2;{y_2} = 2x_2^2\).

Mà \({y_1} + {y_2} = 10\) nên ta có: \(2x_1^2 + 2x_2^2 = 10\).

                                  \(2x_1^2 + 4{x_1}{x_2} + 2x_2^2 - 4{x_1}{x_2} = 10\)

                               \(2{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 10\)

Thay \({x_1} + {x_2} = 1\) vào, ta được:

                     \({2.1^2} - 4{x_1}{x_2} = 10\)

                          \(4{x_1}{x_2} = 2 - 10\)

                            \(4{x_1}{x_2} =  - 8\)

                             \({x_1}{x_2} =  - 2\)

Vì \({x_1} + {x_2} = 1\) và \({x_1}{x_2} =  - 2\) có \({1^2} > 4\).(-2) nên \({x_1};{x_2}\) là nghiệm của phương trình \({x^2} - x - 2 = 0\).

Ta có \(a - b + c = 1 - \left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right) = 0\) nên phương trình \({x^2} - x - 2 = 0\) có hai nghiệm \(x =  - 1\) và \(x = 2\)

Vì \({x_1} < {x_2}\) nên \({x_1} =  - 1;{x_2} = 2\)

Suy ra \({y_1} = 2 \cdot {( - 1)^2} = 2;{y_2} = 2 \cdot {2^2} = 8\)

Vậy \(A\left( { - 1;2} \right),B\left( {2;8} \right)\).

Gọi chiều rộng ban đầu của mảnh đất đó là \(x\,\,(m,x > 0)\)

Khi đó chiều dài ban đầu của mảnh đất đó là: \(\frac{{140}}{x}\left( {{\rm{\;m}}} \right)\)

Chiều rộng khi tăng thêm 3 m là: \(x + 3\left( {{\rm{\;m}}} \right)\)

Chiều dài khi giảm đi 6 m là: \(\frac{{140}}{x} - 6\left( {{\rm{\;m}}} \right)\)

Vì nếu tăng chiều rộng thêm 3 m và giảm chiều dài đi 6 m thì diện tích mảnh đất không đổi nên ta có phương trình:

                             \(\left( {x + 3} \right)\left( {\frac{{140}}{x} - 6} \right) = 140\)

       \(\left( {x + 3} \right)\left( {\frac{{140 - 6x}}{x}} \right) = 140\)

\(\left( {x + 3} \right)\left( {140 - 6x} \right) = 140x\)

            \(140x - 6{x^2} + 420 - 18x = 140x\)

                          \( - 6{x^2} - 18x + 420 = 0\)

Giải phương trình trên ta được \(x = 7\left( {{\rm{tm}}} \right)\) và \(x =  - 10\left( {{\rm{ktm}}} \right)\)

Vậy chiều rộng ban đầu của mảnh đất đó là 7m .

Thể tích của bể hình lập phương là: \({V_1} = {8^3} = 512{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}\)

Thể tích của gàu hình trụ là \({V_2} = \pi {r^2}h \approx 3,14 \cdot {\left( {\frac{2}{2}} \right)^2} \cdot 3 = 9,42{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}\)

Số gàu cần để múc nước để đầy bể là \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{512}}{{9,42}} \approx 54,35\) (gàu)

Vậy phải múc ít nhất 55 gàu nước để đổ đầy bể.

a) Do \(HK \bot AB\) nên \(\Delta AHK\) vuông tại \[K\] nên \({\rm{A}},{\rm{H}},{\rm{K}}\) cùng thuộc đường tròn đường kính \[AH.\]
\(HI \bot AC\) nên \(\Delta AHI\) vuông tại I nên \(A,\,\,H,\,\,I\) cùng thuộc đường tròn đường kính \[AH\] Suy ra \({\rm{A}},{\rm{H}},{\rm{K}},{\rm{I}}\) cùng thuộc đường tròn đường kính \[AH\] hay tứ giác \[AKHI\] nội tiếp.
b) Xét \(\Delta AHI\) và \(\Delta ACH\) có \(\widehat {HAC}\) chung và \(\widehat {AIH} = \widehat {AHC}\,\,\left( { = 90^\circ } \right)\)
Suy ra  nên \(\frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{AI}}{{AH}}\) hay \(A{H^2} = AI \cdot AC\)
Tương tự  nên \(\frac{{AH}}{{AB}} = \frac{{AK}}{{AH}}\) hay \(A{H^2} = AB \cdot AK\)
Suy ra \(AI \cdot AC = AK \cdot AB\) hay \(\frac{{AI}}{{AB}} = \frac{{AK}}{{AC}}\)
Kết hợp với \(\widehat {BAC}\) chung nên suy ra
Suy ra \(\widehat {AIK} = \widehat {ABC}\) (cặp góc tương ứng)
Ta có \(\widehat {AIM} + \widehat {IAM} = \widehat {ABC} + \widehat {CAD} = \widehat {ABC} + \widehat {CBD} = \widehat {ABD} = 90^\circ \) (do chắn đường kính AD)
Suy ra \(\Delta AMI\) vuông tại \[M\].
Xét \(\Delta AMK\) và \(\Delta ABD\) có \(\widehat {DAB}\) chung và \[\widehat {AMK} = \widehat {ABD}\,\,\left( { = 90^\circ } \right)\]
Suy ra  suy ra \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AK}}{{AD}}\) hay \(AM \cdot AD = AK \cdot AB\)
Mà \(A{H^2} = AB \cdot AK\) nên \(AM \cdot AD = A{H^2}\) hay \(\frac{{AM}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AD}}\)
Kết hợp \(\widehat {HAD}\) chung suy ra
Vậy \(\widehat {AHM} = \widehat {ADH}\) (hai góc tương ứng) (đpcm)

Chọn 1 số nguyên dương không lớn hơn 400 tức là chọn 1 số trong các số \(1,2,3, \ldots ,400\)

Số phần tử của không gian mẫu: \(n\left( {\rm{\Omega }} \right) = 400\)

Gọi \[A\] là biến cố chọn được 1 số là bội của 2 hoặc 3 . Khi đó ta có thể chọn được 1 số hoặc chia hết cho 2 hoặc chia hết cho 3 hoặc chia hết cho cả 2 và 3

TH1: Các số chia hết cho 2 gồm \(2,4,6, \ldots ,400\) có \(\frac{{400 - 2}}{2} + 1 = 200\) (số)

TH2: Các số chia hết cho 3 gồm \(3,6,9, \ldots ,399\) có \(\frac{{399 - 3}}{3} + 1 = 133\) (số)

TH3: Các số chia hết cho cả 2 và 3 gồm \(6,12,18, \ldots ,396\) có \(\frac{{396 - 6}}{6} + 1 = 66\) (số)

Vậy tập các số hoặc chia hết cho 2 hoặc chia hết cho 3 hoặc chia hết cho cả 2 và 3 có tất cả \(200 + 133 - 66 = 267\) số hay \(n\left( A \right) = 267\)

Vậy xác suất để chọn được 1 số là bội của 2 hoặc 3 là \(P = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( {\rm{\Omega }} \right)}} = \frac{{267}}{{400}}\).