Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán Sở GD&ĐT Quảng Trị năm học 2025-2026 có đáp án
19 câu hỏi
I. Trắc nghiệm (3 điểm)
Phương trình nào sau đây là phương trình bậc nhất hai ẩn?
\(2x - 3y = 1.\)
\({x^2} + {y^2} = 3.\)
\(x + {y^2} = 1.\)
\(2{x^2} + 4y = 5.\)
Đáp án đúng là A
Giá trị \(\tan 60^\circ \) bằng
\(\sqrt 3 .\)
\(\frac{{\sqrt 3 }}{3}.\)
\(1.\)
\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)
Đáp án đúng là A
Giá trị nào dưới đây là một nghiệm của bất phương trình \(3x - 12 \ge 0\)?
\(x = 0.\)
\(x = 1.\)
\(x = 3.\)
\(x = 5.\)
Đáp án đúng là D
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \[A,\,\,BC = a,\,AC = b,\,AB = c\]
(Tham khảo hình bên). Khẳng định nào dưới đây đúng?
\(\cos B = \frac{b}{a}.\)
\(\sin B = \frac{b}{a}.\)
\(\tan B = \frac{b}{a}.\)
\(\cot B = \frac{b}{a}.\)
Đáp án đúng là B
Một đường tròn có bao nhiêu tâm đối xứng?
\(2.\)
\(0.\)
\(1.\)
Vô số.
Đáp án đúng là D
Gieo một con xúc xắc 20 lần cho kết quả như sau:
Số chấm xuất hiện | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Tần số | 2 | 3 | 5 | ? | 4 | 3 |
Tần số xuất hiện của mặt 4 chấm là:
\(2.\)
\(5.\)
\(4.\)
\(3.\)
Đáp án đúng là D
Hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\\2x - y = 3\end{array} \right.\]có nghiệm là
\(\left( {1\,;\,2} \right).\)
\(\left( {0\,;\,\,1} \right).\)
\(\left( {2\,;\,\,1} \right).\)
\(\left( {1\,;\,\,0} \right).\)
Đáp án đúng là C
Gieo một đồng xu cân đối và đồng chất hai lần. Kí hiệu mặt sấp là \(S\), mặt ngửa là \(N\). Không gian mẫu của phép thử là
\[\Omega = \left\{ {\left( {S,S} \right);\,\,\left( {S,N} \right);\,\,\left( {N,S} \right);\,\,\left( {N,N} \right)} \right\}.\]
\[\Omega = \left\{ {\left( {S,N} \right);\,\,\left( {N,S} \right)} \right\}.\]
\[\Omega = \left\{ {\left( {S,S} \right);\,\,\left( {S,N} \right);\,\,\,\left( {N,N} \right)} \right\}.\]
\[\Omega = \left\{ {\left( {S,S} \right);\,\,\left( {N,S} \right);\,\,\left( {N,N} \right)} \right\}.\]
Đáp án đúng là A
Kết quả nào sau đây không thể là kết quả của phép thử: “Bạn Hòa gieo một con xúc xắc và bạn Hằng gieo một đồng xu”?
\(\left( {1,S} \right).\)
\(\left( {2,N} \right).\)
\(\left( {3,N} \right).\)
\(\left( {7,S} \right).\)
Đáp án đúng là D
Trong các đa giác sau, đa giác nào là đa giác đều?
Tam giác.
Hình vuông.
Hình thoi.
Hình chữ nhật.
Đáp án đúng là B
Cho hình nón như hình vẽ bên. Đường sinh của hình nón là
\(SO.\)
\(OA.\)
\(SA.\)
\(AB.\)
Đáp án đúng là C
Cho \[a > b.\] Bất đẳng thức nào dưới đây đúng?
\(a - b < 0.\)
\(a - b > 0.\)
\(2a < 2b.\)
\(a + 1 < b + 1.\)
Đáp án đúng là B
II. Tự luận (3 điểm)
Câu 1. (1,0 điểm)
1. Bằng các phép biến đổi đại số, hãy rút gọn biểu thức \(A = \sqrt {12} - \sqrt 3 .\)
2. Không dùng máy tính cầm tay, giải phương trình \({x^2} + 3x - 4 = 0.\)
1. Bằng các phép biến đổi đại số, hãy rút gọn biểu thức \(A = \sqrt {12} - \sqrt 3 \).
\(A = \sqrt {12} - \sqrt 3 \) \(A = \sqrt {4.3} - \sqrt 3 \) \(A = 2\sqrt 3 - \sqrt 3 \) \(A = \sqrt 3 \)
Vậy \(A = \sqrt 3 \)
2. Không dùng máy tính cầm tay, giải phương trình \({x^2} + 3x - 4 = 0\).
Ta có \(a + b + c = 1 + 3 + \left( { - 4} \right) = 0\) nên phương trình có hai nghiệm \(x = 1\) và \(x = - 4\)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 1\) và \(x = - 4\)
(1,0 điểm)
Một cửa hàng ghi lại cỡ của các đôi giày đã bán trong một ngày và thu được kết quả như sau:
40 | 38 | 40 | 39 | 39 | 37 | 38 | 40 | 38 | 40 |
39 | 40 | 39 | 38 | 41 | 40 | 41 | 37 | 40 | 41 |
Hãy lập bảng tần số của dãy dữ liệu trên. Theo em, cửa hàng nên nhập về cỡ giày nào nhiều nhất để bán?
Vì tần số của cỡ giày 40 là lớn nhất (7) nên cửa hàng nên nhập về cỡ giày 40 nhiều nhất để bán.
(1,0 điểm)
Trong hệ trục tọa độ \(Oxy,\)cho biết parabol \(\left( P \right):y = a{x^2}\) đi qua điểm \(M\left( {1;2} \right).\)
a) Xác định giá trị của a.
b) Tìm trên đồ thị \(\left( P \right)\) hai điểm \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right),B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) với \({x_1} < {x_2}\) sao cho \({x_1} + {x_2} = 1\) và \({y_1} + {y_2} = 10.\)
a) Thay tọa độ điểm \(M\left( {1;2} \right)\) vào \(\left( {\rm{P}} \right)\), ta được: \[2 = a{.1^2}\]suy ra: \(a = 2\)
Vậy \(a = 2\).
b) Vì \[A\] và \[B\] thuộc \(\left( {\rm{P}} \right)\) nên \({y_1} = 2x_1^2;{y_2} = 2x_2^2\).
Mà \({y_1} + {y_2} = 10\) nên ta có: \(2x_1^2 + 2x_2^2 = 10\).
\(2x_1^2 + 4{x_1}{x_2} + 2x_2^2 - 4{x_1}{x_2} = 10\)
\(2{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 10\)
Thay \({x_1} + {x_2} = 1\) vào, ta được:
\({2.1^2} - 4{x_1}{x_2} = 10\)
\(4{x_1}{x_2} = 2 - 10\)
\(4{x_1}{x_2} = - 8\)
\({x_1}{x_2} = - 2\)
Vì \({x_1} + {x_2} = 1\) và \({x_1}{x_2} = - 2\) có \({1^2} > 4\).(-2) nên \({x_1};{x_2}\) là nghiệm của phương trình \({x^2} - x - 2 = 0\).
Ta có \(a - b + c = 1 - \left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right) = 0\) nên phương trình \({x^2} - x - 2 = 0\) có hai nghiệm \(x = - 1\) và \(x = 2\)
Vì \({x_1} < {x_2}\) nên \({x_1} = - 1;{x_2} = 2\)
Suy ra \({y_1} = 2 \cdot {( - 1)^2} = 2;{y_2} = 2 \cdot {2^2} = 8\)
Vậy \(A\left( { - 1;2} \right),B\left( {2;8} \right)\).
(1,0 điểm)
Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích \[140\,{m^2}.\] Nếu tăng chiều rộng thêm \[3\,m\] và giảm chiều dài đi \[6\,m\] thì diện tích mảnh đất không đổi. Hãy tìm chiều rộng (ban đầu) của mảnh đất đó.
Gọi chiều rộng ban đầu của mảnh đất đó là \(x\,\,(m,x > 0)\)
Khi đó chiều dài ban đầu của mảnh đất đó là: \(\frac{{140}}{x}\left( {{\rm{\;m}}} \right)\)
Chiều rộng khi tăng thêm 3 m là: \(x + 3\left( {{\rm{\;m}}} \right)\)
Chiều dài khi giảm đi 6 m là: \(\frac{{140}}{x} - 6\left( {{\rm{\;m}}} \right)\)
Vì nếu tăng chiều rộng thêm 3 m và giảm chiều dài đi 6 m thì diện tích mảnh đất không đổi nên ta có phương trình:
\(\left( {x + 3} \right)\left( {\frac{{140}}{x} - 6} \right) = 140\)
\(\left( {x + 3} \right)\left( {\frac{{140 - 6x}}{x}} \right) = 140\)
\(\left( {x + 3} \right)\left( {140 - 6x} \right) = 140x\)
\(140x - 6{x^2} + 420 - 18x = 140x\)
\( - 6{x^2} - 18x + 420 = 0\)
Giải phương trình trên ta được \(x = 7\left( {{\rm{tm}}} \right)\) và \(x = - 10\left( {{\rm{ktm}}} \right)\)
Vậy chiều rộng ban đầu của mảnh đất đó là 7m .
(1,0 điểm)
An dùng một cái gàu hình trụ múc nước từ giếng đổ vào một bể hình lập phương cạnh \[8\,dm.\] Biết gàu có đường kính đáy \[2\,dm\], chiều cao \[3\,dm\] và ban đầu trong bể chưa có nước. Hỏi An phải múc ít nhất bao nhiêu gàu nước để đổ đầy bể?
Thể tích của bể hình lập phương là: \({V_1} = {8^3} = 512{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}\)
Thể tích của gàu hình trụ là \({V_2} = \pi {r^2}h \approx 3,14 \cdot {\left( {\frac{2}{2}} \right)^2} \cdot 3 = 9,42{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}\)
Số gàu cần để múc nước để đầy bể là \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{512}}{{9,42}} \approx 54,35\) (gàu)
Vậy phải múc ít nhất 55 gàu nước để đổ đầy bể.
(1,5 điểm)
Cho tam giác nhọn \(ABC\)\(\left( {AB > AC} \right)\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). Kẻ đường cao \(AH\) của tam giác \(ABC\) \(\left( {H \in BC} \right)\). Từ \(H\) kẻ \(HK,\,\,HI\) lần lượt vuông góc với \(AB,\,\,AC\,\,\left( {K \in AB,\,\,I \in AC} \right)\).
a) Chứng minh tứ giác \(AKHI\) nội tiếp.
b) Kẻ đường kính \(AD\) của \(\left( O \right),\) gọi \(M\) là giao điểm của \(AD\) với \(IK.\)
Chứng minh \(\widehat {AHM} = \widehat {ADH.}\)
a) Do \(HK \bot AB\) nên \(\Delta AHK\) vuông tại \[K\] nên \({\rm{A}},{\rm{H}},{\rm{K}}\) cùng thuộc đường tròn đường kính \[AH.\]
\(HI \bot AC\) nên \(\Delta AHI\) vuông tại I nên \(A,\,\,H,\,\,I\) cùng thuộc đường tròn đường kính \[AH\] Suy ra \({\rm{A}},{\rm{H}},{\rm{K}},{\rm{I}}\) cùng thuộc đường tròn đường kính \[AH\] hay tứ giác \[AKHI\] nội tiếp.
b) Xét \(\Delta AHI\) và \(\Delta ACH\) có \(\widehat {HAC}\) chung và \(\widehat {AIH} = \widehat {AHC}\,\,\left( { = 90^\circ } \right)\)
Suy ra nên \(\frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{AI}}{{AH}}\) hay \(A{H^2} = AI \cdot AC\)
Tương tự nên \(\frac{{AH}}{{AB}} = \frac{{AK}}{{AH}}\) hay \(A{H^2} = AB \cdot AK\)
Suy ra \(AI \cdot AC = AK \cdot AB\) hay \(\frac{{AI}}{{AB}} = \frac{{AK}}{{AC}}\)
Kết hợp với \(\widehat {BAC}\) chung nên suy ra
Suy ra \(\widehat {AIK} = \widehat {ABC}\) (cặp góc tương ứng)
Ta có \(\widehat {AIM} + \widehat {IAM} = \widehat {ABC} + \widehat {CAD} = \widehat {ABC} + \widehat {CBD} = \widehat {ABD} = 90^\circ \) (do chắn đường kính AD)
Suy ra \(\Delta AMI\) vuông tại \[M\].
Xét \(\Delta AMK\) và \(\Delta ABD\) có \(\widehat {DAB}\) chung và \[\widehat {AMK} = \widehat {ABD}\,\,\left( { = 90^\circ } \right)\]
Suy ra suy ra \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AK}}{{AD}}\) hay \(AM \cdot AD = AK \cdot AB\)
Mà \(A{H^2} = AB \cdot AK\) nên \(AM \cdot AD = A{H^2}\) hay \(\frac{{AM}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AD}}\)
Kết hợp \(\widehat {HAD}\) chung suy ra
Vậy \(\widehat {AHM} = \widehat {ADH}\) (hai góc tương ứng) (đpcm)
(0,5 điểm)
Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương không lớn hơn 400. Tính xác suất để số được chọn là bội của 2 hoặc 3.
Chọn 1 số nguyên dương không lớn hơn 400 tức là chọn 1 số trong các số \(1,2,3, \ldots ,400\)
Số phần tử của không gian mẫu: \(n\left( {\rm{\Omega }} \right) = 400\)
Gọi \[A\] là biến cố chọn được 1 số là bội của 2 hoặc 3 . Khi đó ta có thể chọn được 1 số hoặc chia hết cho 2 hoặc chia hết cho 3 hoặc chia hết cho cả 2 và 3
TH1: Các số chia hết cho 2 gồm \(2,4,6, \ldots ,400\) có \(\frac{{400 - 2}}{2} + 1 = 200\) (số)
TH2: Các số chia hết cho 3 gồm \(3,6,9, \ldots ,399\) có \(\frac{{399 - 3}}{3} + 1 = 133\) (số)
TH3: Các số chia hết cho cả 2 và 3 gồm \(6,12,18, \ldots ,396\) có \(\frac{{396 - 6}}{6} + 1 = 66\) (số)
Vậy tập các số hoặc chia hết cho 2 hoặc chia hết cho 3 hoặc chia hết cho cả 2 và 3 có tất cả \(200 + 133 - 66 = 267\) số hay \(n\left( A \right) = 267\)
Vậy xác suất để chọn được 1 số là bội của 2 hoặc 3 là \(P = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( {\rm{\Omega }} \right)}} = \frac{{267}}{{400}}\).
