Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán Sở GD&ĐT Lâm Đồng năm học 2025-2026 có đáp án

Điều kiện

\(\begin{array}{l}x + 2 \ge 0\\x \ge  - 2\end{array}\)

\(\sqrt {{{\left( {3 - \sqrt 5 } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 + 2} \right)}^2}} = \left| {3 - \sqrt 5 } \right| + \left| {\sqrt 5 + 2} \right| = 3 - \sqrt 5 + \sqrt 5 + 2 = 5\,\,\,\left( {vì,\,3 > \sqrt 5 \,} \right)\)

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 5\\x + y = 4\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}3x = 9\\x + y = 4\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\3 + y = 4\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1\end{array} \right.\end{array}\)

a)     Không gian mẫu của phép thử là:

\(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\)

Thể tích của bồn là

\(V = \pi {R^2}h = \pi {\left( {0,6} \right)^2}.(1,08) = 0,648\pi  \approx 2,03{m^3}\)

Gọi hai kích thước của vườn là a, b (m; x, y>0)

Ta có \(a + b = \frac{{200}}{2} = 100\) và \(a.b = 2400\)

Theo ứng dụng của định lý Viète suy ra a, b là nghiệm của phương trình

\({x^2} - 100x + 2400 = 0\)

Giải phương trình ta có \({x_1} = 60\); \({x_2} = 40\) (thỏa mãn điều kiện)

Vậy các kích thước của mảnh vườn là 60m và 40m

\(AC = AB.\cot C = 120.\cot {30^0} = 120\sqrt 3 \,(cm)\)

\(AD = AB.\cot BDA = 120.\cot {60^0} = 120\frac{{\sqrt 3 }}{3} = 40\,\sqrt 3 \,(cm)\)                                                                          \(CD = AC - AD = 120\sqrt 3 - 40\,\sqrt 3 = 80\,\sqrt 3 \,(cm)\)

Vận tốc của người đi bộ trên quãng đường CD là

\(v = \frac{S}{t} = \frac{{80\sqrt 3 \,(m)}}{{2\,(ph)}} = \frac{{80\sqrt 3 \,(km)}}{{1000}}:\frac{{2\,(ph)}}{{60\,}} = \frac{{12\sqrt 3 \,}}{{5\,}}(km/h) \approx 4,16(km/h)\)

Xét phương trình \({x^2} + 2\left( {a - b} \right)x + {c^2} = 0\)

Ta có: \(\Delta ' = {\left( {a - b} \right)^2} - 1.{c^2} = \left( {a - b + c} \right)\left( {a - b - c} \right)\)

Theo bất đẳng thức tam giác ta luôn có

\(a + c > b\) và \(a < b - c\)nên \(a + c - b > 0\) và \(a - b - c < 0\)

Do đó \(\left( {a - b + c} \right)\left( {a - b - c} \right) < 0\) hay \(\Delta < 0\)

Vậy phương trình \({x^2} + 2\left( {a - b} \right)x + {c^2} = 0\) vô nghiệm.

Đặt \[BC = x\]

Khi đó \(AB = 2\sqrt {25 - {x^2}} \)

Diện tích hình chữ nhật ABCD là:

\(S = CD.AB = x.2\sqrt {25 - {x^2}} = 2\sqrt {{x^2}\left( {25 - {x^2}} \right)} \,(c{m^2})\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có:

\({x^2} + \left( {25 - {x^2}} \right) \ge 2\sqrt {{x^2}\left( {25 - {x^2}} \right)} \) hay \(25 \ge 2\sqrt {{x^2}\left( {25 - {x^2}} \right)} \)

Hay \(S = 2\sqrt {{x^2}\left( {25 - {x^2}} \right)} \le 25\)

Dấu bằng xảy ra khi \({x^2} = 25 - {x^2}\) suy ra \({x^2} = \frac{{25}}{2}\)hay \(x = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\)

Vậy diện tích lớn nhát của hình chữ nhật là \(25\,c{m^2}\) khi \(x = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\)