Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán Sở GD&ĐT Khánh Hòa năm học 2025-2026 có đáp án

a) Tính giá trị biểu thức \(A = \sqrt 4  + \sqrt {64}  - \sqrt {81} \).

Ta có:\(A = \sqrt 4  + \sqrt {64}  - \sqrt {81} \)

             \(\, = 2 + 8 - 9 = 1\)

Vậy \(A = 1\).

b) Giải bất phương trình \(5x - 12 \le 2x + 3\).

Ta có: \(5x - 12 \le 2x + 3\)

                  \(\begin{array}{l}3x \le 15\\x \le 5\end{array}\)

Vậy bất phương trình có nghiệm là \(x \le 5\).

a) Vẽ đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{4}{x^2}\).

Bảng giá trị

Đồ thị

b) Cho phương trình bậc hai \({x^2} - 3x - 5 = 0\). Chứng minh phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\). Không giải phương trình, hãy tính giá trị của các biểu thức \(B = x_1^2 + x_2^2\) và \(C = x_1^2 + {x_2}\left( {{x_1} + 3} \right) - 4\).

Xét phương trinh \({x^2} - 3x - 5 = 0\) có \(a = 1;b =  - 3;c =  - 5\)

Vì \(\Delta  = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.1.\left( { - 5} \right) = 29 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Áp dụng dịnh lý Viète ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 3}\\{{x_1},{x_2} =  - 5}\end{array}} \right.\)

Khi đó ta có:

\(B = x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {3^2} - 2 \cdot \left( { - 5} \right) = 19\)

\(C = x_1^2 + {x_2}\left( {{x_1} + 3} \right) - 4\)

\(C = x_1^2 + {x_2}\left( {{x_1} + {x_1} + {x_2}} \right) - 4 = x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2 - 4 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4 = {3^2} - 4 = 5\)

Gọi \(x,y\) (triệu đồng) lần lượt là doanh thu của mỗi hãng taxi A và B trong ngày thứ nhất.

                 (ĐK: \(0 < x,y < 90\))

                 Vì tổng doanh thu của hai hãng trong ngày thứ nhất là \(90\)(triệu đồng) nên ta có phương

trình: \(x + y = 90\) (1).

Trong ngày thứ hai:

                 • Doanh thu của hãng A tăng \(20\% \) nên doanh thu của hãng A là: \(x + 0,2x = 1,2x\) (triệu đồng)

                 • Doanh thu của hãng B giảm \(10\% \) nên doanh thu của hãng B là: \(y - 0,1y = 0,9y\) (triệu đồng)

                 Vì tổng doanh thu của hai hãng trong ngày thứ hai là \(93\)(triệu đồng) nên ta có phương trình: \(1,2x + 0,9y = 93\) (2)

                 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 90\\1,2x + 0,9y = 93\end{array} \right.\)

                 Nhân \(2\) vế của phương trình thứ nhất cho \(1,2\)ta được hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}1,2x + 1,2y = 108\\1,2x + 0,9y = 93\end{array} \right.\)

                 Trừ từng vế của hai phương trình ta được: \(0,3y = 15\), suy ra \(y = 50\).

                 Thế \(y = 50\) vào phương trình \(x + y = 90\), ta được: \(x + 50 = 90\), suy ra \(x = 40\)

                 Hệ phương trình có nghiệm: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 40\\y = 50\end{array} \right.\) (thỏa mãn điều kiện)

                 Vậy doanh thu của mỗi hãng trong ngày thứ nhất là:

  Hãng A: \(40\) triệu đồng; Hãng B: \(50\) triệu đồng.

Gọi \(A\) là biến cố “viên bi nằm trong ô vuông màu đen”.

Từ hình vẽ ta đếm được có 31 ô vuông màu đen.

Do đó có 31 kết quả thuận lợi của biến cố \(A\) hay \(n\left( A \right) = 31\).

Có tất cả \(13.9 = 117\) ô vuông. Do đó có \(117\) kết quả có thể xảy ra hay \(n\left( \Omega  \right) = 117\).

Vậy xác suất để viên bi nằm trong ô vuông màu đen là: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{31}}{{117}}\).

Bán kính của đường tròn đáy ly là: \(r = 6,8:2 = 3,4\) (cm).

                 Thể tích chiếc ly là: \(V = \pi .{r^2}.h \approx 3,14.{(3,4)^2}.11,2 \approx 406,54\) (\(c{m^3}\))

                 Lượng nước trung bình bạn Bình uống mỗi ngày là:

                 \[70\% .V.\,8\; \approx 0,7.\,406,54.\,8\; \approx 2276,62\](\(c{m^3}\)) = \[2,27662\,\,\left( l \right)\]

                 Vì \(2,27662 > 2\) nên bạn Bình uống đủ nước theo khuyến cáo.

a) Chứng minh bốn điểm \[B,C,E,F\]cùng thuộc một đường tròn.

 Vì \(BE,\,CF\)là hai đường cao của \(\Delta ABC\)nên \(BE \bot AC,\,\,\,CF \bot AB\).

Do\(\Delta BEC\) vuông tại \(E\) nên 3 điểm \(B,E,C\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BC\).

Do\(\Delta BFC\) vuông tại \(F\) nên 3 điểm \(B,F,C\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BC\).

Vậy 4 điểm \[B,C,E,F\] cùng thuộc đường tròn đường kính \(BC\).

                 b) Gọi \(D\) là giao điểm của \(AH\) và \(BC\). Đường kính \(AM\)của đường tròn \(\left( O \right)\)cắt đường thẳng  

                 \(CF\)tại điểm \(P\). Chứng minh  \(\widehat {BAD} = \widehat {CAM}\) và \(AP.BH = AH.CP\).

                 Do \(AM\) là đường kính nên \(\widehat {ABM} = \widehat {ACM} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

                 Ta có \(\widehat {BAD} + \widehat {ABD} = 90^\circ \) (vì \(\Delta ABD\)vuông tại \(D\)) và \(\widehat {CAM} + \widehat {AMC} = 90^\circ \) (vì \(\Delta ACM\)vuông tại \(C\))       Mà \(\widehat {ABD} = \widehat {AMC}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \(AC\)) nên suy ra \(\widehat {BAD} = \widehat {CAM}\)

                 Xét \(\Delta APC\)và \(\Delta AHB\) có:

                 \(\widehat {BAD} = \widehat {CAM}\,\,\,(cmt)\)

                 \(\widehat {ABH} = \widehat {ACP}\,\,\,\)(góc nội tiếp cùng chắn cung \(EF\))

                 Suy ra

                 Nên \(\frac{{AP}}{{AH}} = \frac{{PC}}{{HB}}\) hay \(AP.HB = AH.PC\)

                 c) Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\), đường thẳng\(AI\)cắt \[EF\]tại \(K\). Gọi \(N\)là hình chiếu vuông góc

                 của \(K\) trên \(BC\). Chứng minh \(AN\)đi qua trung điểm của \[EF\].

Gọi \(G\) là trung điểm của \[EF\], \(J\) là giao điểm của \[AM\]và \[EF\], \[AG\] cắt \(BC\) tại \(N'\).

Ta sẽ chứng minh \[KN' \bot BC\].

Ta có: \[\widehat {AEJ} + \widehat {EAJ} = \,\,\,\widehat {ABC} + \widehat {CBM} = \widehat {ABM} = 90^\circ \] nên \(\Delta AJE\)vuông tại \(J\).

Do  nên \(\frac{{A\,E}}{{AB}} = \frac{{AF}}{{AC}} = \frac{{EF}}{{BC}} = \frac{{2GF}}{{2IC}} = \frac{{GF}}{{IC}}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Kết hợp với \(\widehat {AFG} = \widehat {ACI}\)(cùng cộng \(\widehat {BFE}\) bằng \(180^\circ \,).\)

Suy ra

Khí đó \(\widehat {BAG} = \widehat {KAE}\,\,\,\)và \(\frac{{AG}}{{AI}} = \frac{{AF}}{{AC}}\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Tương tự ta có   (do \(\widehat {BAG} = \widehat {KAE}\)và \(\widehat {AEK} = \widehat {ABI}\))

Nên \(\frac{{AK}}{{AN'}} = \frac{{AE}}{{AB}}\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\frac{{AG}}{{AI}} = \frac{{AK}}{{AN'}}\,\,\,\,\)

Mà \[\widehat {N'AI}\] chung nên suy ra \(\widehat {AN'K} = \widehat {AIG}\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\)

\(\Delta IEF\)cân tại \(I\) (do \[IE = IF\]) có \(IG\)là đường trung tuyến nên cũng đồng thời là đường cao.

Suy ra \(IG\)//\(AO\)(vì cùng vuông góc với \[EF\]). Do đó \(\widehat {GIA} = \widehat {IAO}\,\)(so le trong)

Lại có \(\widehat {BAG} = \widehat {KAE}\,\,\left( {cmt} \right)\) và \(\widehat {FAH} = \widehat {JAE}\,\,\left( {cmt} \right)\)nên \[\widehat {IAO}\, = \widehat {GAH}\]

Suy ra \(\widehat {GIA} = \widehat {GAH}\,\,\,\,\,\,\left( 5 \right)\)

Từ (4) và (5) suy ra \(\widehat {AN'K} = \widehat {GAH}\,\)nên \(KN'\)//\(AD\) (so le trong)

Mà \(AD \bot BC\)nên\(KN' \bot BC\). Ta lại có \(KN \bot BC\,\,\left( {gt} \right)\)

Suy ra \(N' \equiv N\)hay \(AN\)đi qua trung điểm \(G\)của \[EF\]. (đpcm)

Gọi số lần tăng giá một chiếc áo là \(x\) (nghìn đồng), \(x \ge 0\).

Vì mỗi lần tăng 20 nghìn đồng nên giá bán mới cho mỗi chiếc áo là \(P = 330 + 20x\) (nghìn đồng)

Số lượng áo bán được khi tăng giá là \(13\,\,500 - 900x\) (cái).

Lợi nhuận khi bán một chiếc áo là \(330 + 20x - 190 = 140 + 20x\) (nghìn đồng)

Tổng lợi nhụn thu được khi täng giá là: \(\left( {13500 - 900x} \right) \cdot \left( {140 + 20x} \right)\) (nghìn đồng)

Ta có

\(\begin{array}{l}\left( {13\,\,500 - 900x} \right).\left( {140 + 20x} \right)\\ =  - 18\,\,000{x^2} + 144\,\,000x + 1\,\,890\,\,000\\ =  - 18\,\,000\left( {{x^2} - 8x} \right) + 1\,\,890\,\,000\\ =  - 18\,\,000\left[ {{{\left( {x - 4} \right)}^2} - 10} \right] + 1\,\,890\,\,000\end{array}\)

\( =  - 18\,\,000.{\left( {x - 4} \right)^2} + 2\,\,178\,\,000 \le 2\,\,178\,\,000\) vì \( - 18\,\,000{(x - 4)^2} \le 0,x \in \mathbb{R}\).

Suy ra tổng lợi nhuận thu được lớn nhất bằng \[1\,\,278\,\,000\].

Dấu "=" xảy ra khi \(x = 4\) (lần)

Vậy số lần tăng giá một chiếc áo là 4 lần và giá bán mỗi chiếc áo là \(P = 330 + 20.4 = 410\) (nghìn đồng).