Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán Sở GD&ĐT Hòa Bình năm học 2025-2026 có đáp án
17 câu hỏi
\[x < - 2\] |
Tìm các nghiệm của phương trình \[{x^2} + 3x + 2 = 0\].
\[x = - 1;x = 2\] |
Kết quả của phép tính \[\sqrt {25} + \sqrt 4 \] bằng bao nhiêu?
Cho tam giác ABC vuông tại A có \[AB = 3cm,AC = 2cm\]. Tính \[\tan B\].
\[\frac{2}{3}\] |
Cô Mai thống kê lại độ dài quãng đường mình đi bộ mỗi ngày trong tháng tư ở bảng sau:
Quãng đường (km) | \(\left[ {4;5} \right)\) | \(\left[ {5;6} \right)\) | \(\left[ {6;7} \right)\) | \(\left[ {7;8} \right)\) | \(\left[ {8;9} \right)\) |
Tần số tương đối | 10% | 40% | 20% | 20% | 10% |
Tần số tương đối của nhóm số liệu \(\left[ {5;6} \right)\) là bao nhiêu?
Cho đường tròn \[\left( O \right)\] và các điểm A, B như hình vẽ bên.
Tính số đo của cung .
\[\left\{ \begin{array}{l}3x - y = 1\,(1)\\x + y = 3\,(2)\end{array} \right.\]
Từ phương trình \[(2)\], ta có \[y = 3 - x\]\[(3)\].
Thế vào phương trình \[(1)\], ta được
\[\begin{array}{l}3x - (3 - x) = 1\\3x - 3 + x = 1\\4x = 4\\x = 1\end{array}\]
Thay \[x = 1\] vào phương trình \[(3)\], ta có
\[y = 3 - 1 = 2\]
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \[(x;y) = (1;2)\].\[\begin{array}{l}2\left( {x + 1} \right) - 3 = 0\\2(x + 1) = 3\\x + 1 = \frac{3}{2}\\x = \frac{1}{2}\end{array}\] Vậy phương trình đã cho có nghiệm \[x = \frac{1}{2}\] |
b) Tính xác suất của biến cố A: “Tích số chấm xuất hiện của hai lần gieo là số chia hết cho 5”.
a) Gọi \[(x,y)\] là số chấm xuất hiện ở lần tung thứ nhất và thứ hai. Không gian mẫu của phép thử là: \[\begin{array}{l}\Omega = \{ (1,1);\,(1,2);\,(1,3);\,(1,4);\,(1,5);\,(1,6);\,(2,1);\,(2,2);\,(2,3);\,(2,4);\,(2,5);\,(2,6);\\\,(3,1);\,(3,2);\,(3,3);\,(3,4);\,(3,5);\,(3,6);\,(4,1);\,(4,2);\,(4,3);\,(4,4);\,(4,5);\,(4,6);\,\\(5,1);\,(5,2);\,(5,3);\,(5,4);\,(5,5);\,(5,6);\,(6,1);\,(6,2);\,(6,3);\,(6,4);\,(6,5);\,(6,6)\} \end{array}\] Số phần tử của không gian mẫu là \[n(\Omega ) = 36\]. |
b) Các kết quả thuận lợi cho biến cố A “Tích số chấm xuất hiện của hai lần gieo là số chia hết cho 5” là \[\{ (1,5);(2,5);(3,5);(4,5);(5,5);(6,5);(5,1);(5,2);(5,3);(5,4);(5,6)\} \] Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là \[n(A) = 11\] Xác suất của biến cố A là \[P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{11}}{{36}}\] |
\[2{x^2} - 6x + 1 = 0\] (với \[a = 2;b = - 6;c = 1\]) Có \[\Delta = {( - 6)^2} - 4.2.1 = 28 > 0\] Do \[\Delta > 0\] nên phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt Theo định lí Viète, ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3\\{x_1}.{x_2} = \frac{1}{2}\end{array} \right.\] Khi đó \[B = x_1^2 + x_2^2 + 2025 = {({x_1} + {x_2})^2} - 2{x_1}{x_2} + 2025 = {3^2} - 2.\frac{1}{2} + 2025 = 2033\]. |
Gọi số tấn thóc năm ngoái tổ 1 và tổ 2 thu hoạch được lần lượt là \[x,y\] (tấn) \[(x,y \in \mathbb{N}*)\]. Vì năm ngoái hai tổ sản xuất nông nghiệp thu hoạch được tổng là \[3800\] tấn thóc nên \[x + y = 3800\] \[(1)\] Năm nay, tổ 1 thu hoạch được số tấn thóc là \[x + 10\% x = 1,1x\](tấn) Tổ 2 thu hoạch được số tấn thóc là \[y + 15\% y = 1.15y\] (tấn) Vì năm nay hai tổ thu hoạch được tổng là 4370 tấn thóc nên \[1,1x + 1,15y = 4270\] \[(2)\] |
Từ \[(1)\] và \[(2)\], ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3800\\1,1x + 1,15y = 4270\end{array} \right.\]. Giải hệ phương trình trên, ta được \[\left\{ \begin{array}{l}x = 2000\\y = 1800\end{array} \right.\] (thỏa mãn ĐK) Vậy năm ngoái tổ 1 thu được \[2000\] tấn thóc và tổ 2 thu được \[2000\]tấn thóc. |
Một xe bồn chở nước sạch cho một cụm dân cư có 100 hộ dân. Mỗi đầu của bồn chứa nước là nửa hình cầu, thân bồn chứa nước là hình trụ (có kích thước như hình vẽ). Bồn chứa đầy nước và lượng nước được chia đều cho từng hộ dân. Hỏi mỗi hộ dân nhận được bao nhiêu mét khối nước sạch? (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai, lấy \[\pi \approx 3,14\]).
Gọi \[{V_1}\] là thể tích phần hình trụ, khi đó
\[{V_1} = \pi {R^2}h = \pi {.0,9^2}.3,2 = 2,592\pi \,({m^3})\]
Gọi \[{V_2}\] là thể tích phần hai bán cầu, do mỗi đầu của bồn chứa nước là nửa hình cầu nên ta ghép lại được thành một hình cầu.
Khi đó \[{V_2} = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi {.0,9^3} = 0,972\pi \,({m^3})\].
Gọi \[V\] là thể tích của cả bồn, khi đó
\[V = {V_1} + {V_2} = 2,592\pi + 0,972\pi = 3,564\pi \,({m^3})\]
Thể tích nước của mỗi hộ dân nhận được là
a) Chứng minh tứ giác BNKC nội tiếp.
b) Kẻ đường kính AM của đường tròn \[\left( O \right)\], kẻ CE vuông góc với AM (E thuộc AM). Chứng minh \[\widehat {ABH} = \widehat {NEA}\].
c) Cho B, C là hai điểm cố định và điểm A di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn và \[AB < AC\]. Chứng minh NE luôn đi qua một điểm cố định.
a) Vì \[BK\] vuông góc với \[BC\] nên \[\widehat {BKC} = 90^\circ \]. Suy ra \[\Delta BKC\] nội tiếp đường tròn đường kính \[BC\]. |
Vì \[CN\] vuông góc với \[BC\] nên \[\widehat {BNC} = 90^\circ \]. Suy ra \[\Delta BNC\] nội tiếp đường tròn đường kính \[BC\]. |
Do đó, tứ giác \[BNKC\] nội tiếp đường tròn đường kính \[BC\]. |
Vì tứ giác \[BNKC\] nội tiếp đường tròn đường kính \[BC\](cmt) nên \[\widehat {ABH} = \widehat {NCA}\]\[(1)\] |
b) Vì \[CE\] vuông góc với \[AM\] nên \[\widehat {AEC} = 90^\circ \]. Suy ra \[\Delta AEC\] nội tiếp đường tròn đường kính \[AC\]. Vì \[CN\] vuông góc với \[AB\] nên \[\widehat {ANC} = 90^\circ \]. Suy ra \[\Delta ANC\] nội tiếp đường tròn đường kính \[AC\]. Do đó, tứ giác \[ANEC\] nội tiếp đường tròn đường kính \[BC\]. Suy ra \[\widehat {NEA} = \widehat {NCA}\]\[(2)\] |
Từ \[(1)\] và \[(2)\] suy ra \[\widehat {ABH} = \widehat {NEA}\]. |
Gọi \[P\] là trung điểm của \[BC\]. Dễ dàng chứng minh được \[OP\] vuông góc \[BC\]. Do đó \[\widehat {OPC} = 90^\circ \]. Mà \[\widehat {OEC} = \widehat {AEC} = 90^\circ \] nên \[OPEC\] nội tiếp đường tròn đường kính \[OC\]. Suy ra \[\widehat {PEO} = \widehat {PCO}\] \[(3)\] |
c) Xét \[\Delta OPC\] và \[\Delta ANC\] có \[\widehat {OPC} = \widehat {ANC} = 90^\circ \] \[\widehat {POC} = \widehat {NAC}\left( {\frac{1}{2}\widehat {BOC}} \right)\]
\[ \Rightarrow \widehat {PCO} = \widehat {NCA}\]\[(4)\] |
Từ \[(3)\] và \[(4)\] suy ra \[\widehat {PEO} = \widehat {ACN}\] \[(5)\] Từ \[(1)\] và \[(5)\] suy ra \[\widehat {NEA} = \widehat {PEO}\], suy ra \[N,P,E\] thẳng hàng. |
\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{{x - 2}} - \frac{{{y^2}}}{{y + 1}} = 13\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\\frac{4}{{x - 2}} + \frac{2}{{y + 1}} = 1 - x - 2y\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\]
Điều kiện xác định: \[x \ne 2,y \ne - 1\]
Từ \[(2)\] ta có
\[\begin{array}{l}\frac{4}{{x - 2}} + \frac{2}{{y + 1}} = 1 - x - 2y\\\frac{4}{{x - 2}} + x + \frac{2}{{y + 1}} + 2y = 1\\\frac{{{x^2} - 2x + 4}}{{x - 2}} + \frac{{2{y^2} + 2y + 2}}{{y + 1}} = 1\\\frac{{{x^2} - 2(x - 2)}}{{x - 2}} + \frac{{2{y^2} + 2(y + 1)}}{{y + 1}} = 1\\\frac{{{x^2}}}{{x - 2}} - 2 + \frac{{2{y^2}}}{{y + 1}} + 2 = 1\\\frac{{{x^2}}}{{x - 2}} + \frac{{2{y^2}}}{{y + 1}} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)\end{array}\]
Từ \[(1)\] và \[(3)\] ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{{x - 2}} - \frac{{{y^2}}}{{y + 1}} = 13\\\frac{{{x^2}}}{{x - 2}} + \frac{{2{y^2}}}{{y + 1}} = 1\end{array} \right.\]
Từ đó ta suy ra được \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{{x - 2}} = 9\\\frac{{{y^2}}}{{y + 1}} = - 4\end{array} \right.\]
Hay \[\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 9x + 18 = 0\\{y^2} + 4y + 4 = 0\end{array} \right.\]
Giải hệ phương trình trên ta được các cặp số \[(x;y)\] là \[(3; - 2)\] và \[(6; - 2)\].
Thử lại ta thấy hai nghiệm này đều thỏa mãn hệ phương trình và thỏa mãn điều kiện xác định ban đầu.
Vậy hệ đã cho có nghiệm \[(x;y)\] là \[(3; - 2)\] và \[(6; - 2)\]Gọi độ dài chiều rộng đáy bể là \[x(m)\], chiều cao đáy bể là \[y(m)\] \[(x > 0,y > 0)\].
Khi đó, chiều dài đáy bể là \[2x(m)\].
Do thể tích của bể bằng \[45{m^3}\] nên ta có \[2{x^2}y = 45\].
Diện tích đáy bể là \[2{x^2}\] nên số tiền thuê nhân công là \[300\,\,000.2{x^2} = 600\,\,000{x^2}\] (đồng).
Diện tích xung quanh đáy bể là \[6xy\] nên số tiền thuê nhân công là \[240\,\,000.6xy = 1\,\,400\,\,000xy\](đồng).
Gọi \[T\] là tổng số tiền thuê nhân công để xây bể thì \[T = 600\,\,000{x^2} + 1\,\,400\,\,000xy\]
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số dương ta có:
\[\begin{array}{l}T = 600\,\,000{x^2} + 1\,\,400\,\,000xy = 120\,\,000\left( {5{x^2} + 12xy} \right) = 120\,\,000(5{x^2} + 6xy + 6xy)\\ \ge 120\,\,000 \cdot 3 \cdot \sqrt[3]{{5{x^2} \cdot 6xy \cdot 6xy}} = 3\,\,600\,\,000 \cdot \sqrt[3]{{180{{\left( {{x^2}y} \right)}^2}}} = 3\,\,600\,\,000.\sqrt[3]{{45{{\left( {2{x^2}y} \right)}^2}}}\\ = 3\,\,600\,\,000 \cdot \sqrt[3]{{45 \cdot {{45}^2}}} = 3\,\,600\,\,000 \cdot 45 = 16200\,\,000\end{array}\]
Dấu đẳng thức xảy ra khi \[5{x^2} = 6xy,2{x^2}y = 45\], suy ra \[x = 3,y = 2,5\]
Vậy chi phí thấp nhất để xây bể là \[16,2\] triệu đồng.Bạn có thích hoạt động này không?
