Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán Sở GD&ĐT Hà Tĩnh năm học 2025-2026 có đáp án
14 câu hỏi
Kết quả rút gọn biểu thức \(4\sqrt 3 - \sqrt {12} \) là:
\[9\].
\[3\].
\[\sqrt 3 \].
\[2\sqrt 3 \].
Đáp án đúng là D
Nghiệm của phương trình \(3x + 5 = 11\) là:
\[5\].
\[ - 2\].
\[2\].
\[ - 4\].
Đáp án đúng là C
Đồ thị của hàm số \(y = 4{x^2}\) đi qua điểm nào sau đây:
\(\left( {1;{\rm{ 4}}} \right)\).
\(\left( {2;{\rm{ 8}}} \right)\).
\(\left( {2;{\rm{ 2}}} \right)\).
\(\left( { - 1; - 4} \right)\).
Đáp án đúng là A
Tung một đồng xu cân đối một lần. Số phần tử của không gian mẫu là:
\(6\).
\(2\).
\(3\).
\(4\).
Đáp án đúng là B
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Biết \(AB = 3\,cm,\) \(BC = 5\,cm.\) Giá trị \(\sin C\) bằng:
\(\frac{4}{5}\).
\(\frac{5}{3}\).
\(\frac{3}{5}\).
\(\frac{3}{4}\).
Đáp án đúng là C
Một hình trụ có bán kính đáy \(r,\) đường cao \(h.\) Diện tích xung quanh của hình trụ là:
\({S_{xq}} = \pi rh.\)
\({S_{xq}} = 4\pi rh.\)
\({S_{xq}} = 3\pi rh.\)
\({S_{xq}} = 2\pi rh.\)
Đáp án đúng là D
Nghiệm của bất phương trình \(x - 4 \ge 0\) là:
\(x < 4.\)
\(x \le 4.\)
\(x \ge 4.\)
\(x \ge - 4.\)
Đáp án đúng là C
Để mua giày cho 16 bạn nam trong lớp tập luyện thể thao, bạn Huy đã thu thập cỡ giày của các bạn nam trong lớp và ghi lại theo bảng sau:
40 | 37 | 38 | 39 | 37 | 38 | 40 | 40 |
39 | 38 | 40 | 39 | 37 | 41 | 40 | 39 |
Tần số của giá trị cỡ giày 40 là
\(5.\)
\(4.\)
\(6.\)
\(3.\)
Đáp án đúng là A
Cho \(x \ge 0\) và \(x \ne 9\). Rút gọn biểu thức \[A = (\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \frac{3}{{\sqrt x - 3}}) \cdot \frac{{\sqrt x + 3}}{{x + 9}} \cdot \]
Với \[x \ge 0;x \ne 9\], ta có
\[A = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \frac{3}{{\sqrt x - 3}}} \right).\frac{{\sqrt x + 3}}{{x + 9}}\]
\[ = \frac{{x + 9}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}.\frac{{\sqrt x + 3}}{{x + 9}} = \frac{1}{{\sqrt x - 3}}\]
Biết phương trình \({x^2} - 6x + 4 = 0\) có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\). Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức \(T = {({x_1} + 2)^2} + {({x_2} + 2)^2}.\)
Theo định lí Viète ta có \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 6\\{x_1}.{x_2} = 4\end{array} \right.\]
\[T = {\left( {{x_1} + 2} \right)^2} + {\left( {{x_2} + 2} \right)^2} = {x_1}^2 + {x_2}^2 + 4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 8\]
\[ = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} + 4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 8 = {6^2} - 2.4 + 4.6 + 8 = 60\].
Giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 8\\2x - y = 1\end{array} \right..\]
Xét hệ \[\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 8{\rm{ (1)}}\\2x - y = 1{\rm{ (2)}}\end{array} \right.\]. Nhân 2 vào PT (2) và cộng vào PT (1) ta có: \[5x = 10\].
Khi đó \[x = 2\]. Thế giá trị \[x = 2\] vào phương trình (2) ta có: \[4 - y = 1\] suy ra \[y = 3\].
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhât \[\left( {x;y} \right) = \left( {2;3} \right)\].
a) Một hộp đựng \[4\] viên bi có cùng khối lượng và kích thước, được đánh số \[4;\,\,5;\,\,6;\,\,7.\]Lấy ngẫu nhiên lần lượt hai viên bi từ hộp đó (viên bi lấy ra lần đầu không trả lại vào hộp). Viết không gian mẫu của phép thử và tính xác suất của biến cố \(A\): “Tổng hai số trên hai viên bi chia \(3\) dư \(1\)”.
b) Một đội xe dự định chở 66 tấn hàng. Khi sắp khởi hành thì một xe phải điều đi làm công việc khác nên mỗi xe còn lại phải chở nhiều hơn 0,5 tấn hàng so với dự định ban đầu. Hỏi thực tế có bao nhiêu xe đã tham gia chở hàng? (biết rằng mỗi xe đều chở khối lượng hàng bằng nhau).
a) Không gian mẫu:
\[\left\{ {\left( {4;5} \right);\left( {4;6} \right);\left( {4;7} \right);\left( {5;4} \right);\left( {5;6} \right);\left( {5;7} \right);\left( {6;4} \right);\left( {6;5} \right);\left( {6;7} \right)} \right\}\]
Số kết quả thuận lợi của biến cố \[A\]: “Tổng hai số trên hai viên bi chia 3 dư 1” là:
\[\left\{ {\left( {4;6} \right);\left( {6;4} \right);\left( {6;7} \right);\left( {7;6} \right)} \right\}\]
Xác suất của biến cố \[A\] là \[P(A) = \frac{4}{{12}} = \frac{1}{3}\].
b) Gọi số xe thực tế tham gia chở hàng là \[x\](xe) \[x \in N*\]
Số xe dự định ban đầu là: \[x + 1\] (xe)
Dự kiến ban đầu mỗi xe chở số tấn hàng là: \[\frac{{66}}{{x + 1}}\](tấn)
Thực tế mỗi xe chở số tấn hàng là: \[\frac{{66}}{x}\] (tấn).
Theo bài ra ta có phương trình: \[\frac{{66}}{x} - \frac{{66}}{{x + 1}} = \frac{1}{2}\] hay \[{x^2} + x - 132 = 0\]
Giải ra ta có: \[{x_1} = 11\](thoả mãn); \[{x_2} = - 12\](loại)
Vậy số xe thực tế tham gia chở hàng là: 11 (xe).
Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn \(\left( O \right),\) hai đường cao \(BE\)và \(CF\)cắt nhau tại \(H.\) Gọi \(I\) là trung điểm của cạnh \(BC.\)
a) Chứng minh tứ giác \(BCEF\) nội tiếp.
b) Qua điểm \(I\) vẽ đường thẳng vuông góc với \(IH\) cắt các đường thẳng \(AB,\)\(AC\) và \(AH\)lần lượt tại các điểm \(M,\,\,N\)và \(Q.\) Chứng minh \(AH = 2OI\) và \(Q\) là trung điểm của \(MN.\)
a) Ta có: \[BE \bot AC\] nên \[\widehat {BEC} = {90^o}\]
Suy ra 3 điểm \[B,E,C\] cùng nằm trên đường tròn đường kính BC (1).
Ta có: \[CF \bot AB\] nên \[\widehat {BFC} = 90^\circ .\]
Suy ra 3 điểm \[B,F,C\] cùng nằm trên đường tròn đường kính BC (2).
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác \[BCEF\] nội tiếp.
b) Kẻ đường kính \[AP\] của đường tròn \[\left( O \right)\]. Khi đó \[PC \bot AC\] nên \[PC\]//\[BH\](cùng vuông góc với \[AC\]) và \[PB \bot AB\] nên \[PB\]//\[CH\](cùng vuông góc với \[AB\]). Do đó \[BHCP\] là hình bình hành.
Suy ra trung điểm \[I\]của \[BC\] cũng là trung điểm của \[PH\]. Vì vậy \[OI\] là đường trung bình của tam giác \[PAH\] nên \[OI = \frac{{AH}}{2}\] hay \[AH = 2OI\].
Kẻ đường thẳng qua \[H\], vuông góc với \[IH\]cắt các đường thẳng \[AB,AC\] lần lượt tại \[X,Y\].
Vì \[\widehat {PBX} = \widehat {PHX} = {90^o}\] nên các điểm \[P,B,X,H\] nằm trên đường tròn đường kính \[PX\], suy ra \[\widehat {PXH} = \widehat {PBH}\]. Tương tự \[\widehat {PCY} = \widehat {PHY} = {90^o}\] nên các điểm \[P,C,Y,H\] nằm trên đường tròn đường kính \[PY\], suy ra \[\widehat {PYH} = \widehat {PCH}\]
Mà \[BHCP\] là hình bình hành nên \[\widehat {PBH} = \widehat {PCH}\], suy ra \[\widehat {PXH} = \widehat {PYH}\] hay tam giác \[PXY\] cân tại \[P\], đường cao \[PH\] nên \[H\] là trung điểm của \[XY\].
Vì \[XY\]//\[MN\] nên ta có \[\frac{{XH}}{{MQ}} = \frac{{AH}}{{AQ}} = \frac{{HY}}{{QN}}\]. Suy ra \[MQ = QN\] hay \[Q\] là trung điểm của \[MN\]
a) Một công ty sản xuất hàng loạt thùng đựng hàng hóa bằng gỗ. Mỗi thùng có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, đáy là hình vuông, thể tích \(120\,d{m^3}.\) Để tiết kiệm vật liệu gỗ làm thùng, người ta cần thiết kế thùng sao cho tổng diện tích xung quanh và diện tích mặt đáy là nhỏ nhất. Khi đó độ dài cạnh đáy và chiều cao của thùng có giá trị bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến một chữ số thập phân).
b) Cho các số thực dương \(a,b,c\) thỏa mãn \(5{a^2} = 4\left( {ab + bc + ca} \right)\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(S = \sqrt {2\left( {a + b + c} \right)} - {b^2} - {c^2}.\)
a) Gọi cạnh đáy của thùng là \[a{\rm{ }}\left( {dm} \right)\] và chiều cao của thùng là \[h{\rm{ }}\left( {dm} \right)\]
Thể tích thùng là: \[{a^2}.h = 120{\rm{ (d}}{{\rm{m}}^3})\].
Phân xung quanh và mặt đáy của thùng có diện tích \[S = 4ah + {a^2}\] \[(d{m^2})\].
Ta có: \[4ah + {a^2} = 2ah + 2ah + {a^2} \ge 3\sqrt[3]{{2ah.2ah.{a^2}}} = 3\sqrt[3]{{4{{\left( {{a^2}h} \right)}^2}}} = 3\sqrt[3]{{{{4.120}^2}}} \approx 115,9(d{m^2})\]
Đẳng thức xảy ra khi vàchir khi \[2ah = {a^2}\] hay \[a = 2h\], mà \[{a^2}.h = 120\] suy ra \[{h^3} = 30\] hay \[h \approx 3,1(dm)\]
Và \[a = 2h \approx 6,2(dm)\].
Vậy thùng có cạnh đáy gần bằng \[6,2(dm)\], chiều cao gần bằng \[3,1(dm)\].
b) Ta có \[5{a^2} = 4\left( {ab + bc + ca} \right) + 4bc \le 4a\left( {b + c} \right) + {\left( {b + c} \right)^2}\].
Suy ra: \[5{a^2} - 4a\left( {b + c} \right) - {\left( {b + c} \right)^2} \le 0\] hay \[5{\left( {\frac{a}{{b + c}}} \right)^2} - 4\left( {\frac{a}{{b + c}}} \right) - 1 \le 0\]
Do đó \[ - \frac{1}{5} \le \frac{a}{{b + c}} \le 1\], suy ra \[a \le b + c\].
Từ đó \[\sqrt {2\left( {a + b + c} \right)} \le \sqrt {4\left( {b + c} \right)} = 2\sqrt {b + c} \] và \[{b^2} + {c^2} \ge \frac{1}{2}{\left( {b + c} \right)^2}\] nên
\[S \le 2\sqrt {b + c} - \frac{1}{2}{\left( {b + c} \right)^2} \le \left( {b + c + 1} \right) - \frac{1}{2}{\left( {b + c} \right)^2} = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}{\left[ {\left( {b + c} \right) - 1} \right]^2} \le \frac{3}{2}\].
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \[a = 1;b = c = \frac{1}{2}\] nên giá trị lớn nhât của \[S\]là \[\frac{3}{2}\]
