Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán Sở GD&ĐT Hà Nam năm học 2025-2026 có đáp án

Giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}2x - y = - 7\\x + 2y = 4\end{array} \right.\].

Tìm toạ độ tất cả các điểm thuộc đồ thị hàm số \[y = \frac{1}{4}{x^2}\] và có tung độ bằng 4.

Cho phương trình \[{x^2} - 7x + 2 = 0\].

            a) Chứng minh phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \[{x_1},{x_2}\].

            b) Không giải phương trình, tính giá trị biểu thức: \[T = \sqrt {x_1^2 + 2{x_1} + 1}  + \sqrt {2x_2^2 - {x_2} + 11} \].

Cho biểu thức \[P = \left( {\frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}} - \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{8}{{x - 1}}} \right) \cdot \frac{{x - 1}}{{\sqrt x }}\] với \[x > 0\] và \[x \ne 1\].

 1) Rút gọn biểu thức \[P\].

            2) Tìm tất cả các số nguyên \[x\] sao cho \[\left| P \right| + P = 0\].

Một công ty vận tải Y dự định sử dụng một đoàn xe để chở \[80\] tấn hàng hoá. Trước khi khởi hành, do phát sinh công ty Y phải chở thêm \[4\] tấn hàng nữa, vì thế công ty đã điều thêm \[2\] xe cùng tham gia vận chuyển nên tất cả các xe đều chở giảm đi \[1\] tấn hàng so với ban đầu. Hỏi ban đầu công ty Y dự định sử dụng bao nhiêu xe, biết rằng tất cả các xe công ty đều sử dụng cùng chủng loại và chở cùng khối lượng.

Điều tra thời gian tự học của \[20\] học sinh trong một ngày, thu được bảng tần số sau:

            a) Lập bảng tần số tương đối của bảng tần số trên.

            b) Tính tỉ lệ phần trăm số học sinh có thời gian tự học ít nhất \[3\] giờ trong một ngày.

Cho đường tròn \[\left( {O;R} \right)\] và điểm \[M\] nằm ngoài đường tròn \[\left( O \right)\]. Từ điểm \[M\] kẻ hai tiếp tuyến \[MA\] và \[MB\] với đường tròn \[\left( O \right)\] (\[A,B\] là hai tiếp điểm). Xét điểm \[D\] thuộc cung lớn \[AB\] \[(D\] không nằm chính giữa cung \[AB\]), đường thẳng \[MD\] cắt đường tròn \[\left( O \right)\] tại điểm \[C\]. Gọi \[E\] là trung điểm của dây \[CD\], tia \[BE\] cắt đường tròn \[\left( O \right)\] tại \[F\].

            a) Chứng minh \[4\] điểm \[M,A,O,B\] cùng thuộc một đường tròn.

            b) Chứng minh hai tam giác \[EBC\] và \[EDF\] đồng dạng.

            c) Chứng minh \[EM\] là tia phân giác của \[\widehat {AEB}\].

            d) Khi \[D\] thay đổi trên cung lớn \[AB\], tìm vị trí điểm \[D\] để diện tích tam giác \[MDF\] đạt giá trị lớn nhất.

Hình 1 mô tả ba địa điểm nằm ở ba vị trí là ba đỉnh của tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\]. Do điều kiện thực tế không đo được trực tiếp khoảng cách từ \[B\] đến \[C\] nhưng đo được \[AB = 200\,{\rm{m}}\] và \[\widehat {ABC} = 30^\circ {\rm{.}}\] Tính khoảng cách \[BC\] ( kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của mét).

Trường THCS X đang khảo sát để làm một vườn thực nghiệm hình chữ nhật \[MNPQ\] trên khu đất dạng tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] nằm ở góc khuôn viên nhà trường ( như hình 2), với \[AB = 6m,AC = 8m\]. Biết chi phí làm \[1\,{{\rm{m}}^2}\] vườn thực nghiệm là \[1,2\] triệu đồng, hỏi nhà trường cần chi bao nhiêu triệu đồng để diện tích khu vườn làm được là lớn nhất.