Đề thi Giữa kì 2 Toán 9 trường THCS Nguyễn Tri Phương (Hà Nội) năm học 2024-2025 có đáp án
6 câu hỏi
Cho các biểu thức:
\(A = \frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x }}\) và \(B = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 2}} - \frac{2}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{6 + \sqrt x }}{{x - 4}}\)với \(x > 0\,;\,x \ne 4\)
1) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 25.\)
2) Chứng minh \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}\).
3) Cho \(P = A.B\). Tìm giá trị của \(x\) để \(P\) là số nguyên.
1) Tính giá trị của \(A\) tại \(x = 25.\)
Thay \(x = 25\)(thỏa mãn điều kiện \(x > 0\,;\,x \ne 4\)) vào biểu thức \(A\), ta có:
\(A = \frac{{\sqrt {25} + 5}}{{\sqrt {25} }} = \frac{{5 + 5}}{5} = \frac{{10}}{5} = 2\).
Vậy \(A = 2\) khi \(x = 25.\)
2) Chứng minh \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}\).
Ta có: \(B = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 2}} - \frac{2}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{6 + \sqrt x }}{{x - 4}}\)
\( = \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} - \frac{{2\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{{6 + \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)
\( = \frac{{x - \sqrt x - 2 - 2\sqrt x - 4 + 6 + \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)
\( = \frac{{x - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)
\( = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)
\( = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}\).
Vậy \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}\), với \(x > 0\,;\,x \ne 4\).
3) Cho \(P = A.B\). Tìm giá trị của \(x\) để \(P\) là số nguyên.
Ta có: \[P = A.B = \frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x }}.\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}\]
\[ = \frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x + 2}}\]
\[ = \frac{{\sqrt x + 2 + 3}}{{\sqrt x + 2}}\]
\[ = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 2}} + \frac{3}{{\sqrt x + 2}}\]
\[ = 1 + \frac{3}{{\sqrt x + 2}}\].
Ta có: \(3 > 0\) và \(\sqrt x + 2 > 0\), với \(x > 0\,;\,x \ne 4\).
Suy ra \(\frac{3}{{\sqrt x + 2}} > 0\).
Do đó \(1 + \frac{3}{{\sqrt x + 2}} > 1 + 0\).
Vì vậy \(P > 1\) (1)
Ta lại có: \(\sqrt x + 2 > 2\), với \(x > 0\,;\,x \ne 4\).
Suy ra \(\frac{3}{{\sqrt x + 2}} < \frac{3}{2}\).
Khi đó \(1 + \frac{3}{{\sqrt x + 2}} < 1 + \frac{3}{2}\).
Vì vậy \(P < \frac{5}{2}\) (2)
Từ (1) và (2), ta suy ra \(1 < P < \frac{5}{2}\).
Mà \(P\) là số nguyên (giả thiết).
Do đó \(P = 2\) hay \[1 + \frac{3}{{\sqrt x + 2}} = 2\].
Vì vậy \[\frac{3}{{\sqrt x + 2}} = 1\] (vì \[\sqrt x + 2 \ne 0\], với \(x > 0\,;\,x \ne 4\)).
Suy ra \[3 = \sqrt x + 2\].
Khi đó \[\sqrt x = 1\].
Vì vậy \[x = 1\].
So với điều kiện \(x > 0\,;\,x \ne 4\), ta nhận \[x = 1\].
Vậy \(x = 1\) thì \(P\) là số nguyên.
Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình
Baby Three là một loại thú nhồi bông từ Trung Quốc, được ra mắt lần đầu vào tháng 5 năm 2024 dưới hình thức “Blind box” ( hộp mù). Món đồ chơi này nhanh chóng tạo nên một cơn sốt trên thị trường, đặc biệt với giới trẻ. Một nhà sản xuất dự kiến làm \(3600\) hộp mù trong một thời gian nhất định. Nhưng thực tế, mỗi ngày nhà sản xuất đã làm được nhiều hơn \(50\) hộp so với dự kiến. Vì thế, nhà sản xuất đã hoàn thành công việc trước \(3\) ngày và làm thêm được \(150\) hộp so với dự kiến. Hỏi theo dự kiến, mỗi ngày nhà sản xuất làm xong bao nhiêu hộp mù?
Số hộp mù sản xuất trong thực tế là: \(3600 + 150 = 3750\) (hộp).
Gọi mỗi ngày nhà sản xuất đã làm được số hộp mù là \(x\) (hộp).
Điều kiện: \(x \in {\mathbb{N}^*}\).
Thời gian dự định làm xong số hộp mù là: \(\frac{{3600}}{x}\) (ngày).
Thực tế mỗi ngày nhà sản xuất đã làm được số hộp mù là: \(x + 50\) (hộp).
Thời gian thực tế làm xong số hộp mù dự định và làm thêm được \(150\) hộp so với dự kiến là: \(\frac{{3750}}{{x + 50}}\) (ngày).
Vì nhà sản xuất đã hoàn thành công việc trước \(3\) ngày nên ta có phương trình:
\(\frac{{3600}}{x} - \frac{{3750}}{{x + 50}} = 3\) (Điều kiện: \(x \in {\mathbb{N}^*}\)).
Suy ra \(\frac{{3600\left( {x + 50} \right)}}{{x\left( {x + 50} \right)}} - \frac{{3750x}}{{x\left( {x + 50} \right)}} = \frac{{3x\left( {x + 50} \right)}}{{x\left( {x + 50} \right)}}\).
Do đó \(3600\left( {x + 50} \right) - 3750x = 3x\left( {x + 50} \right)\).
Vì vậy \(3600x + 180000 - 3750x = 3{x^2} + 150x\).
Suy ra \(3{x^2} + 300x - 180000 = 0\) hay \({x^2} + 100x - 60000 = 0\).
Tức là, \({x^2} + 300x - 200x - 60000 = 0\).
Khi đó \(x\left( {x + 300} \right) - 200\left( {x + 300} \right) = 0\).
Vì vậy \(\left( {x - 200} \right)\left( {x + 300} \right) = 0\).
Suy ra \(x - 200 = 0\) hoặc \(x + 300 = 0\).
Do đó \(x = 200\) hoặc \(x = - 300\).
So với điều kiện \(x \in {\mathbb{N}^*}\), ta nhận \(x = 200\).
Vậy theo dự kiến, mỗi ngày nhà sản xuất làm xong \(200\) hộp mù.
Tại một cửa hàng đồ ăn nhanh có bán hai loại “pizza miếng” với giá tiền và kích cỡ như hình bên. Hỏi nên mua miếng nào để có lợi hơn nếu người mua thích hai loại bánh như nhau?
Diện tích miếng pizza có bán kính \(18\) cm là: \({S_1} = \frac{{\pi {{.18}^2}.45^\circ }}{{360^\circ }} = \frac{{81\pi }}{2}\,\,\,(c{m^2})\)
Diện tích miếng pizza có bán kính \(16\) cm là: \({S_2} = \frac{{\pi {{.16}^2}.60^\circ }}{{360^\circ }} = \frac{{128\pi }}{3}\,\,\,(c{m^2})\)
Vì \(\frac{{128\pi }}{3} > \frac{{81\pi }}{2}\) nên \({S_2} > {S_1}\).
Vậy người mua nên mua miếng pizza có bán kính \(16\) cm và góc ở tâm \(60^\circ \) để có lợi hơn nếu người mua thích hai loại bánh như nhau.
Cho phương trình ẩn \(x:\,\,\,{x^2} - 3x + a = 0\,\,\,\left( 1 \right)\) (với \(a\) là tham số).
(a) Giải phương trình khi \(a = 2\).
(b) Tìm \(a\) để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\) thỏa mãn hệ thức \(x_1^2 + x_2^2 = - x_1^2x_2^2 + 8\).
a) Thay \(a = 2\) vào phương trình (1), ta được: \({x^2} - 3x + 2 = 0\).
Suy ra \(\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\).
Do đó \(x - 2 = 0\) hoặc \(x - 1 = 0\).
Vì vậy \(x = 2\) hoặc \(x = 1\).
Vậy khi \(a = 2\) thì phương trình (1) có hai nghiệm là \(x = 2\) hoặc \(x = 1\).
b) Ta có: \({x^2} - 3x + a = 0\) (1)
Ta có: \(\Delta = {b^2} - 4ac = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.1.a = 9 - 4a\).
Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta > 0\).
Suy ra \(9 - 4a > 0\).
Do đó \(4a < 9\).
Vì vậy \(a < \frac{9}{4}\).
Áp dụng định lí Viète, ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} = - \frac{{ - 3}}{1} = 3\\P = {x_1}.{x_2} = \frac{a}{1} = a\end{array} \right.\)
Theo đề, ta có: \(x_1^2 + x_2^2 = - x_1^2x_2^2 + 8\).
Suy ra .
\(x_1^2 + x_2^2 + x_1^2x_2^2 - 8 = 0\)Vì vậy \(9 - 2a + {a^2} - 8 = 0\).
Suy ra \({a^2} - 2a + 1 = 0\).
Khi đó \({\left( {a - 1} \right)^2} = 0\).
Vì vậy \(a - 1 = 0\).
Tức là, \(a = 1\).
So với điều kiện \(a < \frac{9}{4}\), ta nhận \(a = 1\).
Vậy \(a = 1\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cho đường tròn tâm \[O\] đường kính \[AB,C\] là điểm thuộc đường tròn sao cho \(AC < BC.\) Từ điểm \[O\] kẻ đường thẳng vuông góc với dây \[BC\] tại \[H\], cắt tiếp tuyến \[Bx\] tại \[D\]. Đường thẳng \[AD\] cắt đường tròn \[\left( O \right)\] tại điểm \[E\].
1) Chứng minh tứ giác \[BHED\] là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh \(AO.EB = OD.CE\).
3) Gọi \[I\] là trung điểm của \(HD{\rm{, }}BI\) cắt đường tròn \[\left( O \right)\] tại điểm \[F\]. Chứng minh tam giác \(HAB\) đồng dạng với tam giác \(IBD\) và \(HF \bot BI.\)
1) Vì \(OD \bot BC\) tại \(H\) nên \(\Delta BHD\) vuông tại \(H\).
Suy ra \(\Delta BHD\) nội tiếp đường tròn đường kính \[BD\] (1)
Ta có: \(\widehat {AEB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính \(AB\))
Suy ra \(BE \bot AD\) tại \[E\].
Vì \(\Delta BED\) vuông tại \[E\] nên \(\Delta BED\) nội tiếp đường tròn đường kính \[BD\] (2)
Từ (1) và (2), suy ra tứ giác \[BHED\] là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính \[BD\].
2) Xét \[\Delta AOD\] và \(\Delta CEB\), có:
\(\widehat {OAD} = \widehat {BCE}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn của đường tròn \[\left( O \right)\]);
\(\widehat {ADO} = \widehat {CBE}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn của đường tròn đường kính \[BD\]).
Do đó (g.g).
Suy ra \(\frac{{AO}}{{CE}} = \frac{{OD}}{{EB}}\) (tỉ số đồng dạng)
Vậy \(AO.EB = OD.CE\) (điều phải chứng minh).
3) Vì \(OB = OC\)nên \(\Delta OBC\)cân tại \[O\].
Do đó \(OH\) vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến của \(\Delta OBC\).
Suy ra \(H\) là trung điểm của \(BC\).
Vì vậy \(BC = 2BH\).
Vì \(I\) là trung điểm của \(HD\) nên \(DH = 2DI\).
Ta có: \(\widehat {ACB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính \(AB\)).
Vì \[Bx\] là tiếp tuyến của đường tròn \[\left( O \right)\] nên \[\widehat {ABD} = 90^\circ \] hay \[AB \bot BD\].
Xét \[\Delta ABC\] và \(\Delta BDH\), có:
\(\widehat {ACB} = \widehat {BHD} = 90^\circ \);
\(\widehat {ABC} = \widehat {HDB}\) (cùng phụ \(\widehat {DBH}\)).
Do đó (g.g).
Suy ra \(\frac{{BA}}{{DB}} = \frac{{BC}}{{DH}}\).
Mà \(DH = 2DI{\rm{, }}BC = 2BH\) (chứng minh trên).
Vì vậy \(\frac{{BA}}{{DB}} = \frac{{2BH}}{{2DI}} = \frac{{BH}}{{DI}}\).
Xét \[\Delta HAB\] và \(\Delta IBD\), có:
\(\widehat {ABH} = \widehat {BDI}\) (do );
\(\frac{{BA}}{{DB}} = \frac{{BH}}{{DI}}\) (chứng minh trên).
Do đó (c.g.c).
Suy ra \(\widehat {HAB} = \widehat {IBD}\) (cặp góc tương ứng).
Gọi \[F'\] là giao điểm của \[AH\] và \[BI\].
Ta có: \(\widehat {IBD} + \widehat {IBA} = \widehat {ABD} = 90^\circ \) (do \[AB \bot BD\]).
Mà \(\widehat {HAB} = \widehat {IBD}\) (chứng minh trên).
Suy ra \(\widehat {HAB} + \widehat {ABI} = 90^\circ \) hay \(\widehat {F'AB} + \widehat {F'BA} = 90^\circ \).
Do đó \(\Delta ABF'\) vuông tại \(F'\).
Vì vậy \(AF' \bot BI\).
Ta có: \[\widehat {AFB} = 90^\circ \] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính \(AB\)).
Suy ra \[AF \bot BI\].
Mà \(AF' \bot BI\) (chứng minh trên).
Do đó \[AF\] trùng \(AF'\).
Suy ra \(F'\) trùng với \(F\).
Vì vậy \(HF \bot BI\) (điều phải chứng minh).
Vậy và \(HF \bot BI.\)
Cửa hàng nhà bác Nghĩa chuyên kinh doanh máy tính loại \(ASUS\) tại Hà Nội. Giá nhập vào một chiếc là \(18\) triệu đồng và bán ra với giá \(22\) triệu đồng. Với giá bán như trên thì một năm số lượng máy tính bán được dự kiến là \(500\) chiếc. Để tăng thêm lượng tiêu thụ dòng máy tính này, bác Nghĩa dự định giảm giá bán và ước lượng cứ giảm \(200\) nghìn đồng một chiếc thì số lượng máy tính bán ra trong một năm sẽ tăng \(50\) chiếc. Vậy bác Nghĩa phải bán với giá bao nhiêu để sau khi giảm giá lợi nhuận thu được sẽ cao nhất?
Gọi số lần giảm giá là \[x\] (\[x \in \mathbb{N}\]).
Số tiền giảm giá sau \[x\] lần là: \[0,2x\] (triệu đồng).
Số tiền lãi của một chiếc máy tính là: \[22 - 18 - 0,2x = 4 - 0,2x\] (triệu đồng).
Số máy tính bán được sau \(x\) lần giảm giá là: \(500 + 50x\) (máy tính).
Số tiền lãi thu được là:
\(L = \left( {500 + 50x} \right)\left( {4 - 0,2x} \right)\)
\( = 2000 + 200x - 100x - 10{x^2}\)
\( = - 10{x^2} + 100x + 2000\)
\( = - 10\left( {{x^2} - 10x + 25} \right) + 2250\)
\( = - 10{\left( {x - 5} \right)^2} + 2250\)
Ta có: \[{\left( {x - 5} \right)^2} \ge 0\], với \[x \in \mathbb{N}\].
Suy ra \[ - 10{\left( {x - 5} \right)^2} \le 0\], với \[x \in \mathbb{N}\].
Do đó \( - 10{\left( {x - 5} \right)^2} + 2250 \le 2250\), với \[x \in \mathbb{N}\].
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \[x - 5 = 0\] hay \[x = 5\].
Để lợi nhuận thu được cao nhất thì giá bán một chiếc máy tính là: \[22 - 0,2.5 = 21\] (triệu đồng).
Vậy bác Nghĩa phải bán một chiếc máy tính với giá \[21\] triệu đồng để sau khi giảm giá lợi nhuận thu được sẽ cao nhất.
