Đề thi Giữa kì 2 Toán 9 trường THCS Ba Đình (Hà Nội) năm học 2024-2025 có đáp án

a) Thay \[x = - 3,\,\,y = 18\] vào công thức hàm số\[y = \left( {m-3} \right){x^2}\], ta được:

\[18 = \left( {m-3} \right) \cdot {\left( { - 3} \right)^2}\]

\[9\left( {m-3} \right) = 18\]

\(m - 3 = 2\)

\[m = 5\] (thỏa mãn).

Vậy \[m = 5\].

b) Với \[m = 5\] hàm số có dạng \[y = 2{x^2}\].

Phương trình xác định hoành độ giao điểm của \[\left( d \right)\] và \[\left( P \right)\] là:

\(2{x^2} = - 7x + 4\)

\(2{x^2} + 7x - 4 = 0\)

\(x = \frac{1}{2}\) hoặc \(x = - 4\).

Với \(x = \frac{1}{2}\) ta có \(y = \frac{1}{2}\).

Với ta có $y=32$.

Suy ra toạ độ giao điểm của \left(d\right) và \left(P\right) là $\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$ và $\left(-4;32\right)$.

1) Thay x=25 (tmđk) vào biểu thức P ta được: $P=\frac{\sqrt{25}-6}{\sqrt{25}}=\frac{-1}{5}$.

b) Với x>0, x\ne 9, ta có:

$Q=\frac{6-8\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}+\frac{2}{\sqrt{x}+3}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}$

$Q=\frac{6-8\sqrt{x}+2\sqrt{x}-6+x+3\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}$

$Q=\frac{x-3\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}$

$Q=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}$.

c) Với x>0, x\ne 9, ta có: $T=\frac{\sqrt{x}-6}{\sqrt{x}+3}=1-\frac{9}{\sqrt{x}+3}$.

Vì $T\in \mathbb{Z}$ nên $\frac{9}{\sqrt{x}+3}\in \mathbb{Z}$

TH1: $x\in \mathbb{Z},\sqrt{x}$ là số vô tỉ, loại.

TH2: $x\in \mathbb{Z},\sqrt{x}\in \mathbb{Z}$ nên $\sqrt{x}+3\in$Ư(9) , mà $\sqrt{x}+3>3$ nên $\sqrt{x}+3=9$.

Tính được x=36 và T=0 (không thoả mãn).

Gọi số xe đội dự định sử dụng là x (xe, x\in \mathbb{N}*).

Số tấn hàng mỗi xe phải chở theo dự định là $\frac{60}{x}$ (tấn).

Số xe thực tế đội đã sử dụng là x–2 (xe).

Số tấn hàng mỗi xe phải chở thực tế là $\frac{60}{x-2}$ (tấn).

Vì thực tế mỗi xe phải chở nhiều hơn so với dự định 1 tấn nên ta có phương trình:

$\frac{60}{x-2}-\frac{60}{x}=1$

$\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x}=\frac{1}{60}$

$\frac{x-\left(x-2\right)}{x\left(x-2\right)}=\frac{1}{60}$

$\frac{2}{x\left(x-2\right)}=\frac{1}{60}$

$x^2-2x=120$

$x=12$ (thỏa mãn) hoặc $x=-10$ (không thỏa mãn).

Vậy theo kế hoạch đội dự định sử dụng 12 xe để vận chuyển.

a) Với \[m = 1\] phương trình có dạng \({x^2} - 3x + 1 = 0\).

Phương trình có \[\Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 5 > 0\] nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

\({x_1} = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2};\,\,{x_2} = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}\).

b) Phương trình đã cho có \[\Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4 \cdot 1 \cdot m = 9--4m.\]

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \[\Delta > 0\] hay \(m < \frac{9}{4}\).

Theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3\,\,\,\left( 1 \right)\\{x_1}{x_2} = m\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Theo bài, \({x_1} - 2{x_2} = 6\) nên \[{x_1} = 2{x_2} + 6\], thay vào (1) ta có:

\(2{x_2} + 6 + {x_2} = 3\) nên \({x_2} = - 1\).

Suy ra \[{x_1} = 4\].

Thay \[{x_1} = 4\] và \({x_2} = - 1\) vào (2), ta được: \(m = - 4\).

a) Bán kính đáy của thùng tôn là \[0,6:2 = 0,3\] (m).

Thể tích thùng tôn đó là: \[V = \pi {R^2}h = \pi .0,{3^2}.1 \approx 0,2826\] (m³).

b) Diện tích xung quanh của thùng tôn đó là: \(S = 2\pi Rh = 0,6\pi \) (m²).

Số tiền doanh nghiệp cần chi là: \(0,6\pi .100.500 \approx 94200\) (nghìn đồng).

Vậy số tiền doanh nghiệp cần chi khoảng 94 200 nghìn đồng (94 200 000 đồng).

Chứng minh \(\widehat {ADB} = \widehat {AEB} = 90^\circ \) .

\(\Delta ADB\) vuông nội tiếp đường tròn đường kính \(BE\).

\(\Delta AEB\) vuông nội tiếp đường tròn đường kính \(BE\).

Suy ra 4 điểm \(A,\;B,\;D,\;E\) thuộc đường tròn đường kính \(BE\).

b) \[\left( O \right)\] có: \(\widehat {ACK} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\(\widehat {ABD} = \widehat {ACK}\) (hai góc nội tiếp chắn cung \(AC\))

Chứng minh được (g.g)

Suy ra \(\frac{{AB}}{{AK}} = \frac{{AD}}{{AC}}\) nên \(AB.AC\; = \;2AD.R\)

c)

\[\Delta BOC\] cân tại \[O\] có \[OM\] là đường trung tuyến đồng thời là đường cao, suy ra \[OM\] vuông góc với \[BC\], nên \(\widehat {OMB} = 90^\circ \).

\(\widehat {OFB} = 90^\circ \)

Suy ra tứ giác \[BOFM\] nội tiếp

Tứ giác \[BOFM\] nội tiếp nên \(\widehat {BOM} = \widehat {BFM}\)

Mà \(\widehat {BOM} = \frac{1}{2}\widehat {BOC}\), \(\widehat {BAE} = \frac{1}{2}\widehat {BOC}\)

Suy ra \(\widehat {BAE} = \widehat {BFM}\) (1)

Tứ giác \[AEFB\] nội tiếp nên \(\widehat {AFE} = \widehat {ABE}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {AFE} + \widehat {BFM} = \widehat {ABE} + \widehat {BAE} = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {AFE} + \widehat {BFM} + \widehat {AFB} = 180^\circ \) nên \(E,\;F,\;M\) thẳng hàng.

Gọi chiều ngang phần chứa chữ lần là \[x\] (cm, \[x > 0)\]

Chiều dọc phần chứa chữ là \(\frac{{384}}{x}\) (cm)

Chiều ngang và chiều dọc của trang tạp chí là \[x + 4\] và\(\frac{{384}}{x} + 6\) (cm).

Diện tích trang giấy là \(S = \left( {x + 4} \right)\left( {\frac{{384}}{x} + 6} \right)\) (cm²).

⦁ Chứng minh bất đẳng thức Cauchy.

⦁ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương:

\(S = 6x + \frac{{1536}}{x} + 408 \ge 2\sqrt {6x.\frac{{1536}}{x}} + 408 = 600\).

Dấu = xảy ra khi \(x = 16\)

Vậy để diện tích chữ là 384 cm² thì diện tích trang tạp chí nhỏ nhất là 600 cm² khi chiều ngang 20 cm, chiều dọc 30 cm.