Đề thi Giữa kì 2 Toán 9 trường THCS Dịch Vọng (Hà Nội) năm 2024-2025 có đáp án
7 câu hỏi
Giải các phương trình sau:
(a) \(2{x^2} + 3x - 1 = 0\).
(b) \({x^2} - \sqrt 5 x + \sqrt 5 - 1 = 0\).
a) \(2{x^2} + 3x - 1 = 0\) \(\left( 1 \right)\)
Phương trình \(2{x^2} + 3x - 1 = 0\) có các hệ số \(a = 2;b = 3;c = - 1\).
Ta có: \(\Delta = {3^2} - 4.2.\left( { - 1} \right) = 17 > 0\).
Khi đó phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt:
\({x_1} = \frac{{ - 3 - \sqrt {17} }}{{2.2}} = \frac{{ - 3 - \sqrt {17} }}{4}\); \({x_2} = \frac{{ - 3 + \sqrt {17} }}{{2.2}} = \frac{{ - 3 + \sqrt {17} }}{4}\).
Vậy tập nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right)\) là \(\left\{ {\frac{{ - 3 - \sqrt {17} }}{4};\frac{{ - 3 + \sqrt {17} }}{4}} \right\}\).
b) \({x^2} - \sqrt 5 x + \sqrt 5 - 1 = 0\) \(\left( 2 \right)\)
Phương trình \(\left( 2 \right)\) có các hệ số \(a = 1;b = - \sqrt 5 ;c = \sqrt 5 - 1\)
Ta có: \(\Delta = {\left( { - \sqrt 5 } \right)^2} - 4.1.\left( {\sqrt 5 - 1} \right) = 5 - 4\sqrt 5 + 4 = 9 - 4\sqrt 5 > 0\)
Khi đó phương trình \(\left( 2 \right)\) có hai nghiệm phân biệt:
\({x_1} = \frac{{ - \left( { - \sqrt 5 } \right) - \sqrt {9 - 4\sqrt 5 } }}{{2.1}} = \frac{{\sqrt 5 - \sqrt {9 - 4\sqrt 5 } }}{2}\); \({x_2} = \frac{{ - \left( { - \sqrt 5 } \right) + \sqrt {9 - 4\sqrt 5 } }}{{2.1}} = \frac{{\sqrt 5 + \sqrt {9 - 4\sqrt 5 } }}{2}.\)
Vậy tập nghiệm của phương trình \(\left( 2 \right)\) là \(\left\{ {\frac{{\sqrt 5 - \sqrt {9 - 4\sqrt 5 } }}{2};\frac{{\sqrt 5 + \sqrt {9 - 4\sqrt 5 } }}{2}} \right\}\).
Cho phương trình: \({x^2} - 2x + m + 1 = 0\) (\(m\) là tham số). Biết phương trình có một nghiệm là \(x = - 4\). Tính tổng lập phương hai nghiệm của phương trình.
Thay \(x = - 4\) vào phương trình \({x^2} - 2x + m + 1 = 0\) ta được:
\({\left( { - 4} \right)^2} - 2.\left( { - 4} \right) + m + 1 = 0\)
\(16 + 8 + m + 1 = 0\)
\(m + 25 = 0\)
\(m = - 25\)
Với \(m = - 25\) ta có phương trình \({x^2} - 2x - 24 = 0\) \(\left( 3 \right)\)
\({x^2} - 6x + 4x - 24 = 0\)
\(\left( {{x^2} - 6x} \right) + \left( {4x - 24} \right) = 0\)
\(x\left( {x - 6} \right) + 4\left( {x - 6} \right) = 0\)
\(\left( {x - 6} \right)\left( {x + 4} \right) = 0\)
Suy ra phương trình có hai nghiệm \({x_1} = 6;{x_2} = - 4\)
Tổng lập phương hai nghiệm của phương trình là: \({6^3} + {\left( { - 4} \right)^3} = 152\).
Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng \(28\) m. Đường chéo hình chữ nhật dài \(10\) m. Tính diện tích mảnh đất đó.
Gọi chiều dài, chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật là \(x\), \(y\) (m) (\(x > y > 0\)).
Vì mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng \(28\) m nên ta có phương trình
\(2x + 2y = 28\) hay \(x + y = 14\). Suy ra \(y = 14 - x\).
Đường chéo của hình chữ nhật bằng\(10\) (m) nên theo định lý Pythagore ta có phương trình
\({x^2} + {y^2} = {10^2}\)
\({x^2} + {\left( {14 - x} \right)^2} = 100\)
\(2{x^2} - 28x + 96 = 0\)
\(x = 6\) hoặc \(x = 8\)
Với \(x = 6\) suy ra \(y = 8\) (loại).
Với \(x = 8\) suy ra \(y = 6\) (thỏa mãn).
Do đó chiều dài mảnh đất bằng \(8\) m và chiều rộng bằng \(6\)m.
Vậy diện tích mảnh đất là \(8.6 = 48\) m2.
Quãng đường từ Hà Nội đến Thanh Hoá dài \(150\) km. Hai ô tô xuất phát cùng một lúc từ Hà Nội đến Thanh Hoá. Biết vận tốc ô tô thứ nhất lớn hơn vận tốc ô tô thứ hai là \(10\) km/h và ô tô thứ nhất đến B trước ô tô thứ hai \(30\) phút. Tính vận tốc của mỗi xe (giả sử hai xe đi với vận tốc không đổi trên cả quãng đường).
Gọi vận tốc xe thứ nhất là \(x\) (km/h) (\(x > 10\)).
Suy ra vận tốc xe thứ hai là \(x - 10\) (km/h).
Thời gian xe thứ nhất đi hết quảng đường \(AB\) là \(\frac{{150}}{x}\) (giờ)
Thời gian xe thứ hai đi hết quảng đường \(AB\) là \(\frac{{150}}{{x - 10}}\) (giờ)
Ô tô thứ nhất đến \(B\) trước 30 phút \( = \frac{1}{2}\) (giờ) nên ta có phương trình
\(\frac{{150}}{{x - 10}} - \frac{{150}}{x} = \frac{1}{2}\)
\(\frac{{150x - 150\left( {x - 10} \right)}}{{\left( {x - 10} \right)x}} = \frac{1}{2}\)
\(3000 = {x^2} - 10x\)
\({x^2} - 10x - 3000 = 0\)
\(x = 60\) (thỏa mãn) hoặc \(x = - 50\) (không thỏa mãn).
Vậy vận tốc xe thứ nhất là \(60\)(km/h) và vận tốc xe thứ hai là \(60 - 10 = 50\) (km/h).
Lực \(F(N)\) của gió khi thổi vuông góc vào cánh buồm tỷ lệ thuận với bình phương vận tốc \(v\left( {m/s} \right)\) của gió theo công thức \(F = a{v^2}\), (\(a\) là hằng số). Biết rằng, khi vận tốc gió là \(2\) m/s thì lực tác động lên cánh buồm của con thuyền bằng \(120\) N.
(a) Tìm hằng số \(a\).
(b) Cánh buồm của thuyền chỉ chịu được tác động tối đa là \(12000\) N. Hỏi con thuyền có thể ra khơi khi vận tốc của gió là \(25\)m/s hay không? Vì sao?
a) Khi vận tốc gió là \(2\)m/s thì lực tác động lên cánh buồm của con thuyền bằng \(120\) N nên ta có phương trình \(a{.2^2} = 120\), suy ra \(a = \frac{{120}}{4} = 30\) (m/s2).
b) Cánh buồm của thuyền chỉ chịu được tác động tối đa là \(12000\) N nên ta có
\(F \le 12000\)
\(30{v^2} \le 12000\)
\({v^2} \le 400\)
\(v \le 20\)
Do đó con thuyền không thể ra khơi khi vận tốc của gió là \(25\)m/s.
Bài III. (0,5 điểm) Mái che của ngôi nhà có dạng hình quạt tròn, có bán kính bằng \(4,5\) m và góc ở tâm bằng \(70^\circ \). Tính diện tích mái che (làm tròn kết quả với độ chính xác \(0,05\)).
Diện tích mái che là \(S = \frac{{\pi {R^2}n}}{{360}} = \frac{{\pi .4,{5^2}.70}}{{360}} \approx 12,4\) (m2).
Cho nửa đường tròn tâm \[O\] đường kính \[BC\], lấy \[E\], \[F\] bất kì trên cung \[BC\] sao cho \[E\] thuộc cung \[BF\]. Gọi \[A\] là giao điểm của \[BE\] và \[CF\], \[H\] là giao điểm của \[BF\] và \[CE\], \[AH\] cắt \[BC\] tại \[D\].
(a) Chứng minh tứ giác \[AEHF\] nội tiếp.
(b) Chứng minh \[\widehat {AEF} = \widehat {ACB}\] và \[FB\] là tia phân giác của \[\widehat {EFD}\]
(c) Nếu \[\widehat {BAC} = 60^\circ \] chứng minh \[EF\] có độ dài không đổi.
a) Xét nửa đường tròn tâm \[O\] có \[E,F\] nằm trên cung \[BC\] nên \[\widehat {AEC}\,\], \[\widehat {BFC}\] là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên \[\widehat {AEC} = \,\widehat {BFC} = 90^\circ \]
\[\widehat {AEC}\,\widehat {,\,BEC}\] là hai góc kề bù nên \[\widehat {AEC}\,\, + \widehat {BEC} = \,180^\circ \]
Suy ra \[\widehat {AEC}\,\, = \,180^\circ - \widehat {BEC} = \,180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \].
Chứng minh tương tự ta có \[\widehat {AFB} = 90^\circ \].
Xét \[\Delta AEH\] vuông tại \[E\] nên \[\Delta AEH\] nội tiếp đường tròn đường kính \[AH\]
Suy ra \[A,E,H\] thuộc đường tròn đường kính \[AH\].
Chứng minh tương tự với \[\Delta AFH\] ta có \[A,F,H\] thuộc đường tròn đường kính \[AH\].
Như vậy, \[A,F,H,E\] thuộc đường tròn đường kính \[AH\], suy ra tứ giác \[AFHE\] nội tiếp đường tròn đường kính \[AH\].
b)
Xét đường tròn nội tiếp tứ giác \[AEHF\] có \[\widehat {AEF},\,\widehat {AHF}\,\]là góc nội tiếp chắn cung \[AF\] nên \[\widehat {AEF} = \widehat {AHF}\,\] (1)
Xét \[\Delta AFH\] và \[\Delta ADC\] có:
\[\widehat {AFH} = \,\widehat {ADC} = 90^\circ \] và \[\widehat {HAF}\] là góc chung
Do đó (g.g)
Suy ra \[\widehat {ACD} = \widehat {AHF}\] (hai góc tương ứng) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \[\widehat {AEF} = \widehat {ACD}\] hay \[\widehat {AEF} = \widehat {ACB}\].
Xét \[\Delta ABC\] có \[\widehat {BFC} = \widehat {BEC} = 90^\circ \] nên \[BF,CE\] là đường cao mà \[BF,CE\] cắt nhau tại \[H\] nên \[AH \bot BC\] tại \[D\], suy ra \[\widehat {ADC} = 90^\circ \].
Xét \[\Delta HFC\] vuông tại \[F\] nên \[\Delta HFC\] nội tiếp đường tròn đường kính \[HC\], suy ra \[H,F,C\] thuộc đường tròn đường kính \[HC\].
Xét \[\Delta HDC\] vuông tại \[D\] nên \[\Delta HDC\] nội tiếp đường tròn đường kính \[HC\], suy ra \[H,D,C\] thuộc đường tròn đường kính \[HC\].
Như vậy, \[H,D,C,F\] thuộc đường tròn đường kính \[HC\] suy ra tứ giác \[HDCF\] nội tiếp.
Mà \[\widehat {HFD},\,\widehat {HCD}\] là góc nội tiếp chắn cung \[HD\] nên \[\widehat {HFD} = \widehat {HCD}\] (3)
Xét \[\Delta ADB\] và \[\Delta CEB\] có:
\[\widehat {ADB} = \,\widehat {CEB} = 90^\circ \] và \[\widehat {ABC}\] là góc chung
Do đó (g.g)
Suy ra \[\widehat {BAD} = \widehat {BCE}\] (hai góc tương ứng) hay \[\widehat {EAH} = \widehat {HCD}\] (4)
Tứ giác \[AEHF\] nội tiếp có \[\widehat {EAH\,,}\,\,\widehat {HFE}\] là góc nội tiếp chắn cung \[HF\] nên \[\widehat {EAH\,} = \,\widehat {HFE}\] (5)
Từ (3), (4), (5) suy ra \[\widehat {HFE} = \widehat {HFD}\] hay \[\widehat {EFB} = \widehat {DFB}\] hay \[FB\] là tia phân giác \[\widehat {EFD}\].
c) Xét \[\Delta AFB\] và \[\Delta AEH\] có
\[\widehat {EAF}\] là góc chung và \[\widehat {AFB} = \widehat {AEC}\]
Do đó (g.g)
Suy ra \[\frac{{AF}}{{AE}} = \frac{{AB}}{{AC}}\] nên \[\frac{{AF}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}}\]
Xét \[\Delta AEF\] và \[\Delta ACB\] có
\[\widehat {EAF}\] chung và \[\frac{{AF}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}}\]
Do đó (c.g.c)
Suy ra \[\frac{{EF}}{{BC}} = \frac{{AF}}{{AB}}\]
Xét \[\Delta AFB\] có \[\widehat {AFB} = 90^\circ \] nên \[\cos \widehat {BAC} = \frac{{AF}}{{AB}}\]
Suy ra \[\cos 60^\circ = \frac{{EF}}{{BC}}\] nên \[EF = \frac{1}{2}BC.\]
Một xe tải có chiều rộng \(2,4\) m và chiều cao \(2,5\) m muốn đi qua một cái cổng có hình parabol. Biết khoảng cách giữa hai chân cổng là \(4\) m và khoảng cách từ đỉnh cổng (đỉnh parabol) tới mỗi chân cổng là \(2\sqrt 5 \) m (bỏ qua độ dày của cổng). Hỏi xe tải có thể qua cổng được không? Tại sao?
Đỉnh cổng là đỉnh của parabol \(y = a{x^2}\left( {a < 0} \right)\), đỉnh cổng là \(O\left( {0;0} \right)\).
Gọi hai chân cổng là \(A,B\). \(AB\) cắt \(Oy\) tại \(H\).
Ta có: \(AH = HB = \frac{{AB}}{2}\); \(OA = OB = 2\sqrt 5 \) (\(A,B,H\) nằm dưới trục hoành)
Xét \(\Delta HOA\) vuông tại \(H\), theo định lí Pythagore, ta có: \(O{H^2} + A{H^2} = O{A^2}\)
Suy ra \(O{H^2} = {\left( {2\sqrt 5 } \right)^2} - {2^2} = 16\) nên \(OH = \sqrt {16} = 4\)
Khi đó, \(H\left( {0; - 4} \right)\) suy ra \(A\left( { - 2; - 4} \right)\); \(B\left( {2; - 4} \right)\)
Vì \(A \in \left( P \right)\) nên ta có: \( - 4 = a.{\left( { - 2} \right)^2}\) suy ra \(a = - 1\)
Vậy cổng có dạng parabol \(y = - {x^2}\)
Vì chiều cao của xe tải là \(2,5m\), xét đường thẳng \(y = - \frac{3}{2}\) (ứng với chiều cao của xe).
Hoành độ giao điểm của parabol với đường thẳng \(y = - \frac{3}{2}\) là nghiệm của phương trình:
\( - {x^2} = - \frac{3}{2}\)
\({x^2} = \frac{3}{2}\)
Suy ra \(x = \pm \frac{{\sqrt 6 }}{2}\)
Khi đó toạ độ hai giao điểm là \(M\left( {\frac{{\sqrt 6 }}{2};\frac{{ - 3}}{2}} \right)\);\(N\left( {\frac{{ - \sqrt 6 }}{2};\frac{{ - 3}}{2}} \right)\)
Ta có: \(MN = 2.\frac{{\sqrt 6 }}{2} = \sqrt 6 > 2,4m\)
Vậy xe tải có thể đi qua cổng.
