Đề thi Cuối kì 1 Toán 8 trường THCS&THPT Ban Mai School (Hà Nội) năm 2024-2025 có đáp án
10 câu hỏi
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THI SINH
A. Trắc nghiệm (1,0 điểm) – Điểm mỗi câu trả lời đúng là 0,25 điểm
Đường thẳng \(y = - 3x + 2\) có hệ số góc là
\(2\).
\(3\).
\( - 3\).
\( - 2\).
Đáp án đúng là: C
Cho hàm số \(y = \frac{1}{2}x + 3\). Giá trị \(y\) cần điền vào ô trống trong bảng giá trị là
\(x\) | \(0\) | \( - 6\) |
\(y = \frac{1}{2}x + 3\) | \(3\) |
|
\[0\].
\[6\].
\[4\].
\[ - 6\].
Đáp án đúng là: A
Trong các hình vẽ sau, tứ giác nào là hình bình hành
\(MNPQ\).
\(EFGH\).
\(ABCD\).
\(KLGH\).
Đáp án đúng là: B
Cho tứ giác \[MNEF\] là hình vuông, đường chéo \[ME\] và \[NF\] cắt nhau tại \[I\], biết \[MI = 10\,cm\]. Độ dài đoạn thẳng \[FN\] bằng
\(20\,{\rm{cm}}\).
\(10\,{\rm{cm}}\).
\(5\,{\rm{cm}}\).
\(2,5\,{\rm{cm}}\).
Đáp án đúng là: A
B. Tự luận
Cho hai biểu thức \(A = \frac{x}{{x + 3}}\) và \(B = \frac{{3{x^2} + 9}}{{{x^2} - 9}} - \frac{{2x}}{{x - 3}}\) với \(x \ne 3,\,\,\,x \ne - 3\).
a) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 12\).
b) Rút gọn biểu thức \(B\).
c) Tìm các giá trị nguyên của \[x\] để biểu thức \(T = A - B\) nhận giá trị nguyên.
a) Với \(x = 12\) thỏa mãn điều kiện (\(x \ne 3,\,\,\,x \ne - 3\)). Thay \(x = 12\)vào biểu thức A ta được: \(A = \frac{{12}}{{12 + 3}} = \frac{{12}}{{15}} = \frac{4}{5}\).
b) Với \(x \ne 3,\,\,\,x \ne - 3\), ta có:
\[B = \frac{{3{x^2} + 9}}{{{x^2} - 9}} - \frac{{2x}}{{x - 3}} = \frac{{3{x^2} + 9}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} - \frac{{2x}}{{x - 3}}\]
\[ = \frac{{3{x^2} + 9 - 2x\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{3{x^2} + 9 - 2{x^2} - 6x}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\]
\[ = \frac{{{x^2} - 6x + 9}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{x - 3}}{{x + 3}}\]
Vậy \[B = \frac{{x - 3}}{{x + 3}}\] với \(x \ne 3,\,\,\,x \ne - 3\)c) Với \(x \ne 3,\,\,\,x \ne - 3\), ta có \(T = A - B = \frac{x}{{x + 3}} - \frac{{x - 3}}{{x + 3}} = \frac{3}{{x + 3}}\)
Biểu thức \(T\) nhận giá trị nguyên khi và chỉ khi \(\frac{3}{{x + 3}}\) nguyên.
Khi đó \(\frac{3}{{x + 3}}\) nguyên khi \(3 \vdots x + 3\), suy ra \(x + 3 \in \left\{ { \pm 1;\, \pm 3} \right\}\).
Suy ra, \(x \in \left\{ {0; - 6; - 4; - 2} \right\}\) thỏa mãn điều kiện \(x \ne 3,\,\,\,x \ne - 3\)
Vậy \(x \in \left\{ {0; - 6; - 4; - 2} \right\}\) thì T nhận giá trị nguyên.Bạn Mai hiện có số tiền là \(96\,000\) đồng, bạn định sử dụng số tiền này để mua một số vở (như nhau), mỗi quyển vở bạn mua có giá \(5\,000\) đồng. Gọi \(x\) là số quyển vở và \(y\) là số tiền còn lại.
a) Lập hàm số của \(y\) theo \(x\).
b) Sau khi mua \(3\) quyển vở thì số tiền bạn Mai còn lại là bao nhiêu?
c) Nếu bạn Mai mua \(21\) quyển vở thì số tiền của Mai có đủ để trả không?
a) Hàm số của \(y\) theo \(x\) là\(y = 96\,000 - 5\,000\,.\,x\).
b) Thay \(x = 3\) vào \(y = 96\,000 - 5\,000\,.\,x\), ta có \(y = 96\,000 - 5\,000\,.\,3 = 81\,000\) (đồng).
c) Thay \(x = 21\) vào \(y = 96\,000 - 5\,000\,.\,x\), ta có\(y = 96\,000 - 5\,000\,.\,21 = - 9000 < 0\).
Vậy sau khi mua \(21\) quyển thì số tiền bạn Mai không có đủ để trả tiền.Cho hình chữ nhật \[ABCD\left( {AB > AD} \right)\], gọi \[M\] là trung điểm cạnh \[AB\]. Từ \[M\] kẻ \[MN\] vuông góc với \[CD\] tại \[N\] (\[N\] thuộc \[CD\]).
a) Chứng minh tứ giác \[AMND\] là hình chữ nhật.
b) Trên tia \[DM\] lấy điểm \[K\] sao cho \[M\] là trung điểm của của đoạn thẳng \[DK\]. Chứng minh tứ giác \[ADBK\] là hình bình hành.
c) Chứng minh tam giác \[AKC\]cân.
a) Tứ giác AMND có:
\(\widehat A = \widehat D\, = 90^\circ \)(vì tứ giác ABCD là hình chữ nhật)
\(\widehat N\, = 90^\circ \) (MN vuông góc với CD)
Suy ra tứ giác AMDN là hình chữ nhật.c) Vì\[ADBK\] là hình bình hành nên \(AD = BK.\)
Mà \(AD = BC\)(hai cạnh đối của hình chữ nhật) nên \(BK = BC.\)
Tứ giác ADBK là hình bình hành nên AD song song với BK.
Tứ giác ADCB là hình chữ nhật nên AD song song với BC.
Suy ra 3 điểm C, B, K thẳng hàng.
Tam giác KAC có AB là đường cao và đồng thời là đường trung tuyến nên tam giác KAC cân tại ACho \({a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc\) và \(a + b + c \ne 0\). Tính giá trị biểu thức \(N = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}\).
\({a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc\)
\({a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = 0\)
\({\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right) + {c^3} - 3abc = 0\)
\(\begin{array}{l}\left( {a + b + c} \right)\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - c\left( {a + b} \right) + {c^2}} \right]\\ - 3ab\left( {a + b + c} \right) = 0\end{array}\)
\(\left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - ac - bc} \right) = 0\)
\({a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - ac - bc = 0{\rm{ }}\left( {a + b + c \ne 0} \right)\)
\({a^2} + {b^2} + {c^2} = ab + ac + bc\)
\(2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) = 2\left( {ab + ac + bc} \right)\)
\(3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) = {\left( {a + b + c} \right)^2}\)
\(\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}} = \frac{1}{3}{\rm{ }}\left( {a + b + c \ne 0} \right)\)
Vậy \(N = \frac{1}{3}\).II. PHẦN RIÊNG (2,0 điểm)– Thí sinh chỉ làm phần tương ứng với chương trình học
2.1. Theo chương trình hệ chuẩn (Lớp A)
Bài 5a. Cho hàm số \(y = (2m - 1)x + 3\) (\(m\)là tham số, \(m \ne \frac{1}{2}\)) có đồ thị hàm số là đường thẳng \(\left( d \right)\).
a) Với giá trị nào của \(m\)thì đồ thị hàm số đi qua điểm \(A\,\left( { - 3\,;\,\,0} \right)\).
b) Hãy vẽ đồ thị của hàm số trên với giá trị \(m\)vừa tìm được ở câu a.
c) Tìm \(m\) để \(\left( d \right)\) cắt đường thẳng \(y = 2x - 5\) tại điểm có hoành độ bằng \(3\).
d) Tìm \(m\) để \(\left( d \right)\) song song với đường thẳng \(y = 4x - 7\).
a) Vì đồ thị hàm số đi qua điểm \(A\left( { - 3;0} \right)\) nên thay \(x = - 3;\,\,y = 0\) vào hàm số, ta được:
\(\begin{array}{l}0 = (2m - 1).( - 3) + 3\\ - 6m + 3 + 3 = 0\\ - 6m = - 6\\m = 1\,\end{array}\)
Với \(m = 1\,\)(TMĐK). Vậy \(m = 1\,\).b) Với \(m = 1\,\)(TMĐK), hàm số có dạng \(y = - x + 3\)
HS vẽ đồ thị hàm số.c) Hoành độ giao điểm của (d) và đường thẳng \(y = 2x - 5\) là:
\((2m - 1)x + 3 = 2x - 5\) (1)
Vì 2 đường thẳng cắt nhau tại điểm hoành độ bằng \(3\) nên thay \(x = 3\) và (1), ta được:
\(\begin{array}{l}(2m - 1).3 + 3 = 2.3 - 5\\m = \frac{1}{6}\end{array}\)
Vậy \(m = \frac{1}{6}\).d) Để \(\left( d \right)\) song song với đường thẳng \(y = 4x - 7\) thì
\(2m - 1 = 4\) và \(3 \ne - 7\)
\(m = \frac{5}{2}\)(TMĐK)
Vậy \(m = \frac{5}{2}\).Bài 5b. Cho hàm số \(y = \left( {1 - m} \right)x + m - 1\)(\(m\)là tham số, \(m \ne 1\)) có đồ thị hàm số là đường thẳng \(\left( d \right)\).
a) Với giá trị nào của \(m\) thì đồ thị hàm số đi qua điểm \(M\left( {2\,;\,\,\,1} \right)\). Hãy vẽ đồ thị của hàm số trên với giá trị \(m\) vừa tìm được.
b) Tìm \(m\) để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \( - 3\).
c) Tìm điểm cố định mà đường thẳng \(\left( d \right)\) luôn đi qua với mọi giá trị của \(m\).
d) Tìm \(m\) để \(\left( d \right)\) tạo với các trục tọa độ \(Ox,\,\,Oy\) một tam giác có diện tích bằng \(2\).
a) Vì đồ thị hàm số đi qua điểm \(M(2;\,1)\) nên thay \(x = 2;\,\,y = 1\) vào hàm số, ta được:
\(\begin{array}{l}1 = \left( {1 - m} \right)2 + m - 1\\2 - 2m + m - 1 = 1\\m = 0\end{array}\)
Với \(m = 0\)(TMĐK). Vậy \(m = 0\).
Với \(m = 0\)(TMĐK), hàm số có dạng \(y = x - 1\)
HS vẽ đồ thị hàm số.b) Vì đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \( - 3\) nên thay \(x = 0;\,\,y = - 3\) vào hàm số, ta được:
\( - 3 = \left( {1 - m} \right).0 + m - 1\)
\( - 3 = m - 1\)
\(m = - 2\)(TMĐK)
Vậy \(m = - 2\).c) Gọi \(I({x_0};\,{y_0})\) là điểm cố định mà hàm số đi qua với mọi m.
Khi đó \({y_0} = \left( {1 - m} \right){x_0} + m - 1\) với mọi \(m\) hay \(m\left( {{x_0} - 1} \right) + {y_0} - {x_0} + 1 = 0\) với mọi \(m\).
Suy ra \({x_0} - 1 = 0\) và \({y_0} - {x_0} + 1 = 0\).
Suy ra \({x_0} = 1;\)\({y_0} = 0.\)
Vậy điểm cố định mà hàm số luôn đi qua với mọi giá trị của m là \(I(1;\,0)\).d) Bảng giá trị hàm số \(y = \left( {1 - m} \right)x + m - 1\)
x | 0 | 1 |
\(y = \left( {1 - m} \right)x + m - 1\) | \(m - 1\) | 0 |
Đồ thị hàm số \(y = \left( {1 - m} \right)x + m - 1\) lần lượt cắt hai trục tọa độ \(Ox;Oy\) tại \(A\left( {1;0} \right)\) và \(B\left( {0;m - 1} \right)\).
Ta có \(OA = \left| 1 \right| = 1;\,OB = \left| {m - 1} \right|\)
Vì \(\left( d \right)\) cùng các trục tọa độ \(Ox;Oy\) tạo thành một tam giác có diện tích bằng \(2\)
\(\begin{array}{l}\quad {S_{OAB}} = \frac{1}{2}.OA.OB\\\frac{1}{2}.1.\left| {m - 1} \right| = 2\\\left| {m - 1} \right| = 4\end{array}\)
\(m - 1 = 4\) hoặc \(m - 1 = - 4\)
\(m = 5\) hoặc \(m = - 3\) (thỏa mãn điều kiện \(m \ne - 1\))
Vậy \(\left( d \right)\) cùng các trục tọa độ \(Ox\,;\,\,Oy\) tạo thành một tam giác có diện tích bằng \(2\)\(m = 5\) hoặc \(m = - 3\).Bạn có thích hoạt động này không?
