Đề thi Cuối kì 1 Toán 8 trường THCS Lương Thế Vinh (Hà Nội) năm 2023-2024 có đáp án
9 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM
Ghi lại chữ cái đứng trước đáp án đúng vào bài làm.
Kết quả của phép tính \(2{x^2}y + 3x{y^2} - \left( {2x{y^2} - 3{x^2}y} \right)\) là:
\(6{x^2}y\).
\(5{x^2}y + x{y^2}\).
\( - {x^2}y + x{y^2}\).
\(x{y^2}\).
Đáp án đúng là: B
Khẳng định nào sau đây đúng?
\({\left( {2x + 1} \right)^2} = 2{x^2} + 4x + 1\).
\(\left( {3 + x} \right)\left( {x - 3} \right) = 9 - {x^2}\).
\({x^3} + 8 = \left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 2} \right)\).
\({\left( {x - 1} \right)^3} = {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1\).
Đáp án đúng là: D
Khẳng định sai là:
Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình chữ nhật.
Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.
Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.
Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.
Đáp án đúng là: A
Cho hình thang cân \(ABCD\,\,\left( {AB\,{\rm{//}}\,CD} \right)\) có \(\widehat {A\,\,} - \widehat {C\,} = 20^\circ .\) Số đo \(\widehat {A\,\,}\) và \(\widehat {C\,}\) lần lượt là:
\(90^\circ \) và \(70^\circ .\)
\(100^\circ \) và \(80^\circ .\)
\(110^\circ \) và \(80^\circ .\)
\(80^\circ \) và \(60^\circ .\)
Đáp án đúng là: B
PHẦN II. TỰ LUẬN
a) Thu gọn và tìm bậc của đơn thức \(A = 2x{y^2} \cdot \left( { - \frac{7}{2}{x^4}y} \right).\)
b) Cho đa thức \(B = 2xy + 4{x^3}y - 5{y^2} - 4.\) Tìm đa thức \(C\) sao cho \(B + C = 4{x^3}y - 4{y^2} + 3.\)
Hướng dẫn giải
a) \(A = 2x{y^2} \cdot \left( {\frac{{ - 7}}{2}{x^4}y} \right) = - 7{x^5}{y^3}\)
Bậc của đơn thức \[A\] là: 8.
b) Ta có \(B + C = 4{x^3}y - 4{y^2} + 3.\)
Suy ra \(C = 4{x^3}y - 4{y^2} + 3 - B\)
\( = 4{x^3}y - 4{y^2} + 3 - \left( {2xy + 4{x^3}y - 5{y^2} - 4} \right)\)
\( = 4{x^3}y - 4{y^2} + 3 - 2xy - 4{x^3}y + 5{y^2} + 4\)
\( = {y^2} - 2xy + 7.\)
Vậy \(C = {y^2} - 2xy + 7.\)
Tìm \(x,\) biết:
a) \(6x\left( {3 - x} \right) + 6{x^2} - 15x = 18.\)
b) \(4\left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} - 3x + 9} \right) - x\left( {4{x^2} - 3x} \right) = 6x + 108.\)
Hướng dẫn giải
a) \(6x(3 - x) + 6{x^2} - 15x = 18\)
\(18x - 6{x^2} + 6{x^2} - 15x = 18\)
\(3x = 18\)
\(x = 6\)
Vậy \(x = 6.\)
b) \(4\left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} - 3x + 9} \right) - x\left( {4{x^2} - 3x} \right) = 6x + 108\)
\(4\left( {{x^3} + {3^3}} \right) - \left( {4{x^3} - 3{x^2}} \right) = 6x + 108\)
\(4{x^3} + 108 - 4{x^3} + 3{x^2} - 6x - 108 = 0\)
\(3{x^2} - 6x = 0\)
\(3x\left( {x - 2} \right) = 0\)
\(3x = 0\) hoặc \(x - 2 = 0\)
\(x = 0\) hoặc \(x = 2.\)
Vậy \(x \in \left\{ {0;\,\,2} \right\}.\)
a) Tính giá trị của biểu thức \(D = {x^3} - 3{x^2} - 8x + 12\) biết \(\left| {x - 1} \right| = 2.\)
b) Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến \(x\) và \(y:\)
\(E = {\left( {2x - y} \right)^2} + {\left( {3x + y} \right)^2} + 2\left( {2x - y} \right)\left( {3x + y} \right) - 25\left( {1 + x} \right)\left( {x - 1} \right).\)
Hướng dẫn giải
a) Ta có \(\left| {x - 1} \right| = 2\)
\(x - 1 = 2\) hoặc \(x - 1 = - 2\)
\(x = 3\) hoặc \(x = - 1.\)
⦁ Thay \(x = 3\) vào biểu thức \[D,\] ta được:
\(D = {3^3} - 3 \cdot {3^2} - 8 \cdot 3 + 12 = 27 - 27 - 24 + 12 = - 12.\)
⦁ Thay \(x = - 1\) vào biểu thức \[D,\] ta được:
\(D = {\left( { - 1} \right)^3} - 3 \cdot {\left( { - 1} \right)^2} - 8 \cdot \left( { - 1} \right) + 12 = - 1 - 3 + 8 + 12 = 16.\)
b) \(E = {\left( {2x - y} \right)^2} + {\left( {3x + y} \right)^2} + 2\left( {2x - y} \right)\left( {3x + y} \right) - 25\left( {1 + x} \right)\left( {x - 1} \right).\)
\( = \left[ {{{\left( {2x - y} \right)}^2} + 2 \cdot \left( {2x - y} \right) \cdot \left( {3x + y} \right) + {{\left( {3x + y} \right)}^2}} \right] - 25\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)\)
\[ = {\left( {2x - y + 3x + y} \right)^2} - 25\left( {{x^2} - 1} \right)\]
\[ = {\left( {5x} \right)^2} - 25{x^2} + 25\]
\[ = 25{x^2} - 25{x^2} + 25 = 25.\]
Vậy giá trị của biểu thức \(E\) không phụ thuộc vào giá trị của biến \(x\) và \(y.\)
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) \(\left( {AB < AC} \right),\) có \(I\) là trung điểm của cạnh \(AC.\) Qua \(C\) kẻ đường thẳng song song với đường thẳng \(AB,\) đường thẳng này cắt tia \(BI\) tại \(D.\)
a) Chứng minh \(\Delta ABI = \Delta CDI\) và suy ra tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành.
b) Qua \(I\) kẻ đường thẳng \(IK\,{\rm{//}}\,AB\,\,\left( {K \in BC} \right).\) Gọi \(H\) là chân đường vuông góc hạ từ \(K\) xuống cạnh \(AB.\) Chứng minh \(AK = IH.\)
c) Gọi \(G\) là giao điểm của \(AK\) và \(BD.\) Chứng minh ba điểm \(H,\,\,G,\,\,C\) thẳng hàng.
a) Xét \[\Delta ABI\] và \[\Delta CDI\] có:
\(\widehat {BIA} = \widehat {DIC}\) (đối đỉnh);
\(IA = IC\) (do \(I\) là trung điểm của cạnh \(AC);\)
\(\widehat {BAC} = \widehat {DCA}\) (cặp góc so le trong do \(AB\,{\rm{//}}\,CD).\)Do đó \[\Delta ABI = \Delta CDI\] (g.c.g).
Suy ra \(AB = CD\) (hai cạnh tương ứng).
Xét tứ giác \(ABCD\) có \(AB\,{\rm{//}}\,CD\) và \(AB = CD\) nên là hình bình hành.
b) Cách 1: Vì \(AC \bot AB\) (do \(\Delta ABC\) vuông tại \(A)\) và \(KH \bot AB\) nên \(HK\,{\rm{//}}\,AI.\)
Xét tứ giác \(AIKH\) có \(HK\,{\rm{//}}\,AI\) và \(IK\,{\rm{//}}\,AH\) nên là hình bình hành.
Lại có \(\widehat {HAI} = 90^\circ \) nên \(AIKH\) là hình chữ nhật.
Suy ra \(AK = IH\) (tính chất hình chữ nhật).
Cách 2: Vì \(IK\,{\rm{//}}\,AB\) mà \(AB \bot AC\) nên \(IK \bot AC,\) hay \(\widehat {AIK} = 90^\circ .\)
Xét tứ giác \(AIKH\) có \(\widehat {AHK} = \widehat {AIK} = \widehat {HAI} = 90^\circ \) nên là hình chữ nhật.
Suy ra \(AK = IH\) (tính chất hình chữ nhật).
c) Vì \(AIKH\) là hình chữ nhật nên \(AI = HK\) và \(AH = IK\) (tính chất hình chữ nhật).
Mà \(AI = IC\) nên \(HK = IC.\)
Xét tứ giác \(IHKC\) có \(HK\,{\rm{//}}\,IC\) và \(HK = IC\) nên là hình bình hành.
Do đó \(HI = KC\) và \(HI\,{\rm{//}}\,KC\) (tính chất hình bình hành).
Xét tứ giác \(HIKB\) có \[HI\,{\rm{//}}\,BK\] và \(BH\,{\rm{//}}\,IK\) nên là hình bình hành.
Do đó \(HI = BK\) và \(HB = IK\) (tính chất hình bình hành).
Ta có \(BK = HI\) và \(HI = KC\) nên \(BK = KC,\) hay \(K\) là trung điểm của \(BC.\)
\(AH = IK\) và \(HB = IK\) nên \(AH = HB,\) hay \(H\) là trung điểm của \(AB.\)
Khi đó \(\Delta ABC\) có hai đường trung tuyến \(AK\) và \(BI\) cắt nhau tại \(G\) nên \(G\) là trọng tâm của tam giác, do đó đường trung tuyến \(CH\) đi qua \(G,\) nên ba điểm \[H,{\rm{ }}G,{\rm{ }}C\] thẳng hàng.
Cho \(x,\,\,y\) là các số thực thỏa mãn \({x^2} + {y^2} + xy - 3x - 3y + 3 = 0.\) Chứng minh biểu thức \(P = {\left( {3x + 2y - 6} \right)^{1010}} + {\left( {x - y + 1} \right)^{1011}} + 2021\) có giá trị là một số nguyên.
Hướng dẫn giải
Ta có: \({x^2} + {y^2} + xy - 3x - 3y + 3 = 0\)
\(4{x^2} + 4{y^2} + 4xy - 12x - 12y + 12 = 0\)
\(4{x^2} + 2 \cdot 2x \cdot \left( {y - 3} \right) + {\left( {y - 3} \right)^2} + 3{y^2} - 6y + 3 = 0\)
\({\left( {2x + y - 3} \right)^2} + 3{\left( {y - 1} \right)^2} = 0\)
Với mọi \(x,\,\,y\) ta có \({\left( {2x + y - 3} \right)^2} \ge 0;\,\,{\left( {y - 1} \right)^2} \ge 0\) nên \({\left( {2x + y - 3} \right)^2} + 3{\left( {y - 1} \right)^2} \ge 0.\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \({\left( {2x + y - 3} \right)^2} = 0;\,\,{\left( {y - 1} \right)^2} = 0\) hay \(x = y = 1.\)
Thay \(x = y = 1\) vào biểu thức \(P,\) ta được:
\(P = {\left( {3 \cdot 1 + 2 \cdot 1 - 6} \right)^{1010}} + {\left( {1 - 1 + 1} \right)^{1011}} + 2\,\,021 = {\left( { - 1} \right)^{1010}} + {1^{1011}} + 2\,\,021 = 2\,\,023.\)
Vậy biểu thức \(P\) có giá trị là một số nguyên.
Bạn có thích hoạt động này không?
