Đề thi Cuối kì 1 Toán 8 trường THCS Cầu Giấy (Hà Nội) năm 2023-2024 có đáp án
9 câu hỏi
I. TRẮC NGHIỆM
Điều kiện để giá trị của phân thức \[\frac{{x + 5}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)}}\] xác định là:
\[x \ne - 5\].
\[x \ne 2\].
\[x \ne 2\] và \(x \ne - 3\).
\[x \ne - 3\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Điều kiện: \(\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right) \ne 0\)
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ne 0\\x + 3 \ne 0\end{array} \right.\)
Do đó \(x \ne 2\) và \(x \ne - 3.\)
Giá trị của biểu thức \({x^3} - 3{x^2} + 3x - 1\) tại \(x = 101\) bằng:
\(10\,\,000\).
\(1\,\,001\).
\(1\,\,000\,\,000\).
\(300\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \({x^3} - 3{x^2} + 3x - 1\)\( = {\left( {x - 1} \right)^3}\)\( = {\left( {101 - 1} \right)^3} = {100^3} = 1\,\,000\,\,000.\)
Kết quả rút gọn biểu thức \(\left( {x - 2y} \right)\left( {{x^2} + 2xy + 4{y^2}} \right) - \left( {x + 2y} \right)\left( {{x^2} - 2xy + 4{y^2}} \right)\) là:
\( - 16{y^3}\).
\( - 4{y^3}\).
\(16{y^3}\).
\( - 12{y^3}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\left( {x - 2y} \right)\left( {{x^2} + 2xy + 4{y^2}} \right) - \left( {x + 2y} \right)\left( {{x^2} - 2xy + 4{y^2}} \right)\)
\( = \left[ {{x^3} - {{\left( {2y} \right)}^3}} \right] - \left[ {{x^3} + {{\left( {2y} \right)}^3}} \right]\)
\( = {x^3} - 8{y^3} - {x^3} - 8{y^3}\)
\( = - 16{y^3}\).
Cho các khẳng định sau:
1. Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau.
2. Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau là hình thang cân.
3. Trong hình chữ nhật, giao của hai đường chéo cách đều bốn đỉnh của hình chữ nhật.
4. Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình chữ nhật.
Số các khẳng định đúng là:
0.
1.
2.
3.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Khẳng định đúng là:
3. Trong hình chữ nhật, giao của hai đường chéo cách đều bốn đỉnh của hình chữ nhật.
II. TỰ LUẬN
Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) \(2{x^2}y - 4xy + 2y\)
b) \({x^2} - 9 + 4{y^2} - 4xy\)
c) \({x^2} - 9x + 20\).
Hướng dẫn giải
a) \(2{x^2}y - 4xy + 2y\) \( = 2y\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)\) \( = 2y{\left( {x - 1} \right)^2}\). | b) \({x^2} - 9 + 4{y^2} - 4xy\) \( = \left( {{x^2} - 4xy + 4{y^2}} \right) - 9\) \( = {\left( {x - 2y} \right)^2} - {3^2}\) \( = \left( {x - 2y + 3} \right)\left( {x - 2y - 3} \right)\). | c) \({x^2} - 9x + 20\) \( = {x^2} - 4x - 5x + 20\) \( = x\left( {x - 4} \right) - 5\left( {x - 4} \right)\) \( = \left( {x - 4} \right)\left( {x - 5} \right)\). |
Tìm \(x\), biết:
a) \(4x\left( {x - 3} \right) + 6\left( {3 - x} \right) = 0\)
b) \({x^3} - x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 14\)
c) \({\left( {{x^2} - x} \right)^2} + 2\left( {{x^2} - x} \right) = 8\).
Hướng dẫn giải
a) \(4x\left( {x - 3} \right) + 6\left( {3 - x} \right) = 0\) \(\left( {x - 3} \right)\left( {4x - 6} \right) = 0\) | b) \({x^3} - x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 14\) \({x^3} - x\left( {{x^2} - 1} \right) = 14\) | |
Trường hợp 1: \(x - 3 = 0\) \(x = 3\). Vậy \(x \in \left\{ {3;\frac{3}{2}} \right\}\). | Trường hợp 2: \(4x - 6 = 0\) \(4x = 6\) \(x = \frac{3}{2}\). | \({x^3} - {x^3} + x = 14\) \(x = 14\) Vậy \(x = 14\). |
c) \({\left( {{x^2} - x} \right)^2} + 2\left( {{x^2} - x} \right) = 8\)
\({\left( {{x^2} - x} \right)^2} + 2\left( {{x^2} - x} \right) - 8 = 0\)
\({\left( {{x^2} - x} \right)^2} + 2\left( {{x^2} - x} \right) + 1 - 9 = 0\)
\({\left[ {\left( {{x^2} - x} \right) + 1} \right]^2} - {3^2} = 0\)
\(\left( {{x^2} - x + 1 + 3} \right)\left( {{x^2} - x + 1 - 3} \right) = 0\)
\(\left( {{x^2} - x + 4} \right)\left( {{x^2} - x - 2} \right) = 0\)
\(\left[ {{{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{{15}}{4}} \right].\left( {{x^2} + x - 2x - 2} \right) = 0\)
Suy ra \({x^2} + x - 2x - 2 = 0\) (Vì \({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{15}}{4} > 0\))
\(x\left( {x + 1} \right) - 2\left( {x + 1} \right) = 0\)
\(\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\)
Suy ra \(x + 1 = 0\) hoặc \(x - 2 = 0\)
Do đó \(x = - 1\) hoặc \(x = 2.\)
Vậy \(x \in \left\{ { - 1;2} \right\}\).
Cho hai biểu thức \(A = \frac{{2x + 3}}{{x + 1}}\) và \(B = \frac{{x + 2}}{{x + 1}} + \frac{3}{{x + 3}} - \frac{{6x + 8}}{{{x^2} + 4x + 3}}\) với \(x \ne - 1;x \ne - 3\).
a) Tính giá trị của \(A\) khi \(x = 4\).
b) Chứng minh rằng \(B = \frac{{x + 1}}{{x + 3}}\).
c) Đặt \(P = A.B\), tìm tất cả các giá trị nguyên âm của \(x\) để \(P\) nhận giá trị là số nguyên.
Hướng dẫn giải
a) Thay \(x = 4\) (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \(A\) ta có: \[A = \frac{{2.4 + 3}}{{4 + 1}} = \frac{{11}}{5}\].
Vậy \[A = \frac{{11}}{5}\] khi \(x = 4\).
b) Với điều kiện \(x \ne - 1;x \ne - 3\), biểu thức \(B\) được biến đổi như sau:
\(B = \frac{{x + 2}}{{x + 1}} + \frac{3}{{x + 3}} - \frac{{6x + 8}}{{{x^2} + 4x + 3}}\)
\(B = \frac{{x + 2}}{{x + 1}} + \frac{3}{{x + 3}} - \frac{{6x + 8}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)
\[B = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{{3\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}} - \frac{{6x + 8}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}\]
\[B = \frac{{{x^2} + 5x + 6 + 3x + 3 - 6x - 8}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}\]
\[B = \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}\]
\[B = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{x + 1}}{{x + 3}}\].
c) \(P = A.B = \frac{{2x + 3}}{{x + 1}}.\frac{{x + 1}}{{x + 3}} = \frac{{2x + 3}}{{x + 3}} = \frac{{2x + 3}}{{x + 3}} = 2 - \frac{3}{{x + 3}}.\)
Để \(P\) nhận giá trị nguyên khi \(\frac{3}{{x + 3}} \in \mathbb{Z}\) tức là \(x + 3 \in \)Ư\(\left( 3 \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 3} \right\}\)
Ta có bảng sau:
\(x + 3\) | \(1\) | \( - 1\) | \(3\) | \( - 3\) |
\(x\) | \( - 2\) | \( - 4\) | \(0\) | \( - 6\) |
Kết hợp ĐK | Thỏa mãn | Thỏa mãn | Loại | Thỏa mãn |
Vậy \(x \in \left\{ { - 2; - 4; - 6} \right\}\).
2) Cho hình vuông \(ABCD\) lấy \(M\) trên đường chéo \(AC\left( {AM > MC} \right)\). Kẻ \(MI\) vuông góc với \(AD\left( {I \in AD} \right)\). Gọi \(P,N\) lần lượt là điểm đối xứng của \(M\) và \(A\) qua \(I\).
a) Tứ giác \(AMNP\) là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh \(BM = PD\).
c) Gọi \(Q\) là giao điểm của \(BM\) và \(PD\). Chứng minh ba điểm \(C,\,\,Q,\,\,N\) thẳng hàng.
Hướng dẫn giải
1) Ta có: \(BC = 2.61 = 122\,({\rm{m}})\)
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,\) ta có
\(A{B^2} = B{C^2} - A{C^2} = {122^2} - {22^2} = \left( {122 + 22} \right)\left( {122 - 22} \right) = 144 \cdot 100 = 14\,\,400\)
Do đó \(AB = \sqrt {14400} = 120\,({\rm{m}})\).
2)
a) Theo giả thiết, \(P,N\) lần lượt là điểm đối xứng của \(M\) và \(A\) qua \(I\) nên \(I\) là trung điểm của \(AN,\,MP\)
Suy ra tứ giác \(AMNP\) là hình bình hành (dhnb).
Do \(MP \bot AN\) nên \(AMNP\) là hình thoi.
Xét tam giác \(AIM\) có \(\widehat {AIM} = 90^\circ \), \(\widehat {IAM} = 45^\circ \) (do \(ABCD\) là hình vuông)
Nên \(\Delta AIM\) vuông cân tại \(I\) nên \(AI = IM\). Do đó \(AN = MP\).
Hình thoi \(AMNP\) có \(AN = MP\) nên \(AMNP\) là hình vuông.
b) Xét \(\Delta APD\) và \(\Delta AMD\), ta có:
\(AD\) là cạnh chung;
\(\widehat {PAD} = \widehat {MAD}\,\,\,\left( {\widehat {PAD} = \widehat {PAN} = 45^\circ = \widehat {MAN} = \widehat {MAD}} \right);\)
\(AP = AM\) (do \(AMNP\) là hình vuông).
Vậy \(\Delta APD = \Delta AMD\) (c.g.c)
Suy ra \(PD = MD\) (3)
Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta ADM\), ta có:
\(AM\) là cạnh chung;
\(\widehat {BAM} = \widehat {DAM}\,\,\,\left( {\widehat {BAM} = \widehat {BAC} = 45^\circ = \widehat {DAC} = \widehat {DAM}} \right);\)
\(AB = AD\) (do \(ABCD\) là hình vuông).
Vậy \(\Delta ABM = \Delta ADM\) (c.g.c).
Suy ra \(BM = MD\) (4)
Từ (3) và (4) suy ra \(BM = PD.\)
c)
Xét tứ giác \(APQM\), ta có: \(\widehat {MQP} = 360 - \widehat {MAP} - \widehat {APQ} - \widehat {AMQ}\)
Mà \(\widehat {APQ} = \widehat {AMD} = \widehat {AMB}\)
Nên \(\widehat {MQP} = 360^\circ - 90^\circ - \left( {\widehat {AMB} + \widehat {AMQ}} \right) = 360^\circ - 90^\circ - 180^\circ = 90^\circ \).
Ta có \(I\) là giao 2 đường chéo hình vuông \(AMNP\), \(O\) là giao điểm của 2 đường chéo hình vuông \(ABCD\).
Ta có: \(IQ = \frac{1}{2}PM = \frac{1}{2}AN\) nên \(\widehat {AQN} = 90^\circ ,\,\,OQ = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}AC.\)
Do đó \(\widehat {AQC} = 90^\circ \).
Vậy \(\widehat {AQN} + \widehat {AQC} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \) nên \(C,Q,N\) thẳng hàng.
a) Cho các số thực dương \(x,y\) thỏa mãn \(x < y\) và \(3{x^2} + 2{y^2} = 5xy\). Tính giá trị của biểu thức \(S = \frac{{y + 2x}}{{y - 2x}}\).
b) Cho các số thực \(x,y\) thỏa mãn điều kiện \(2{x^2} + xy + 3{y^2} = 41\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(M = 7{x^2} - 13xy + {y^2}\).
Hướng dẫn giải
a) Từ \(3{x^2} + 2{y^2} = 5xy\) ta có
\[3{x^2} + 2{y^2} - 5xy = 0\]
\[3{x^2} - 3xy + 2{y^2} - 2xy = 0\]
\[3x\left( {x - y} \right) + 2y\left( {y - x} \right) = 0\]
\[\left( {x - y} \right)\left( {3x - 2y} \right) = 0\]
Suy ra \(3x = 2y\) (vì \(x < y\) nên \(x - y \ne 0)\)
Hay \(y = 1,5x\)
Ta có \(S = \frac{{y + 2x}}{{y - 2x}} = \frac{{1,5x + 2x}}{{1,5x - 2x}} = \frac{{3,5x}}{{ - 0,5x}} = - 7.\)
Vậy \(S = - 7.\)
b) Ta có \(\frac{M}{{41}} = \frac{{7{x^2} - 13xy + {y^2}}}{{2{x^2} + xy + 3{y^2}}}\).
Nếu \(y = 0\) thì \({x^2} = \frac{{41}}{2}\). Do đó \(M = \frac{{287}}{2}\).
Nếu \(y \ne 0\) thì \(P = \frac{M}{{41}} = \frac{{7{t^2} - 13t + 1}}{{2{t^2} + t + 3}}\) với \(t = \frac{x}{y}\).
Ta được \(\left( {2P - 7} \right){t^2} + \left( {P + 13} \right)t + 3P - 1 = 0\)
Suy ra \({\left[ {t + \frac{{P + 13}}{{2.\left( {2P - 7} \right)}}} \right]^2} = \frac{{{{\left( {P + 13} \right)}^2} - 4\left( {2P - 7} \right)\left( {3P - 1} \right)}}{{4.{{\left( {2P - 7} \right)}^2}}}\).
Phương trình trên có nghiệm nên \({\left( {P + 13} \right)^2} - 4\left( {2P - 7} \right)\left( {3P - 1} \right) \ge 0\)
Suy ra \(\left( {P + 1} \right)\left( {141 - 23P} \right) \ge 0\)
Do đó \( - 1 \le P \le \frac{{141}}{{23}}\)
Nên \( - 41 \le M \le \frac{{5781}}{{23}}\).
Vậy giá trị lớn nhất của \(M\) là \(\frac{{5781}}{{23}}\) khi \(x = \frac{{ - 20}}{{\sqrt {23} }},\,\,y = \frac{{11}}{{\sqrt {23} }}\).
Bạn có thích hoạt động này không?
