Đề thi Cuối kì 1 Toán 8 trường THCS Marie Curie (Hà Nội) năm 2023-2024 có đáp án
12 câu hỏi
I. TRẮC NGHIỆM
Điều kiện để giá trị phân thức \(\frac{{2012x}}{{2 - x}}\) xác định là:
\(x \ne 0\).
\(x = 2\).
\(x \ne 2\).
\(x \ne \pm 2\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Điều kiện xác định của biểu thức là \(2 - x \ne 0\), suy ra \(x \ne 2\).
Giá trị của biểu thức \({x^3} - 3{x^2} + 3x - 1\) tại \(x = - 1\) là:
\(8\).
\( - 8\).
\( - 6\).
\(0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: \({x^3} - 3{x^2} + 3x - 1 = {\left( {x - 1} \right)^3}\).
Thay \(x = - 1\) vào biểu thức trên, ta được: \({\left( { - 1 - 1} \right)^3} = {\left( { - 2} \right)^3} = - 8\).
Kết quả của phép nhân \(\left( {1 - 2x} \right)\left( {1 + 2x} \right)\) bằng:
\(1 - 4{x^2}\).
\(4{x^2} - 1\).
\(1 - 2{x^2}\).
\({\left( {1 - 2x} \right)^2}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\left( {1 - 2x} \right)\left( {1 + 2x} \right) = 1 - 4{x^2}\).
Rút gọn phân thức \(\frac{{2{{\left( {y - x} \right)}^2}}}{{4\left( {x - y} \right)}}\) ta được phân thức:
\(\frac{{y - x}}{2}\).
\(2\left( {x - y} \right)\).
\(2\left( {y - x} \right)\).
\(\frac{{x - y}}{2}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\frac{{2{{\left( {y - x} \right)}^2}}}{{4\left( {x - y} \right)}} = \frac{{2{{\left( {x - y} \right)}^2}}}{{4\left( {x - y} \right)}} = \frac{{x - y}}{2}\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = 4x - 1\). Tính \(f\left( 0 \right)\).
\(f\left( 0 \right) = 1\).
\(f\left( 0 \right) = 3\).
\(f\left( 0 \right) = 4\).
\(f\left( 0 \right) = - 1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có \(f\left( 0 \right) = 4.0 - 1 = - 1\).
Trong các hàm số sau, hàm số bậc nhất là:
\(y = 2\).
\(y = - 2x + 1\).
\(y = 2{x^2} + 3\).
\(y = \frac{2}{x} + 1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng \(y = ax + b\) \(\left( {a \ne 0} \right)\).
Hàm số \(y = - 2x + 1\) có \[a = - 2 \ne 0\] và \(b = 1\) nên là hàm số bậc nhất.
Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành nếu:
\(\widehat {A\,\,} = \widehat {C\,}\).
\(\widehat {A\,\,} = \widehat {B\,};\,\,\widehat {C\,} = \widehat {D\,}\).
\(AB\,{\rm{//}}\,CD;\,\,AB = AD\).
\(AB\,{\rm{//}}\,CD;\,\,BC\,{\rm{//}}\,AD\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Tứ giác \(ABCD\) có \(AB\,{\rm{//}}\,CD;\,\,BC\,{\rm{//}}\,AD\) nên là hình bình hành (hai cặp cạnh đối song song).
Hình nào sau đây là hình vuông?
Hình thang cân có một góc vuông.
Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau.
Tứ giác có \(3\) góc vuông.
Hình bình hành có một góc vuông.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau nên là hình vuông.
II. TỰ LUẬN
Cho hai biểu thức \(A = \frac{x}{{x - 2}} - \frac{{2x + 1}}{{x + 2}} - \frac{{{x^2} + 8}}{{4 - {x^2}}}\) \(\left( {x \ne 2;\,\,x \ne - 2} \right);\) \(B = \frac{5}{{x + 1}}\) \(\left( {x \ne - 1} \right).\)
a) Rút gọn \(A\).
b) Tính giá trị của \(A\) biết \(x = - 6\).
c) Tìm \(x\) để \(A = 2\).
d) Tìm giá trị nguyên của \(x\) để \(M = A:B\) nhận giá trị nguyên.
Hướng dẫn giải
a) Với điều kiện \(x \ne 2;\,\,x \ne - 2,\) ta có:
\(A = \frac{x}{{x - 2}} - \frac{{2x + 1}}{{x + 2}} - \frac{{{x^2} + 8}}{{4 - {x^2}}}\)
\( = \frac{{x\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} - \frac{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{{{x^2} + 8}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)
\( = \frac{{{x^2} + 2x - \left( {2{x^2} - 4x + x - 2} \right) + {x^2} + 8}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)
\( = \frac{{{x^2} + 2x - 2{x^2} + 4x - x + 2 + {x^2} + 8}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)
\( = \frac{{5x + 10}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)\( = \frac{{5\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)\( = \frac{5}{{x - 2}}.\)
Vậy với \(x \ne 2;\,\,x \ne - 2\) thì \(A = \frac{5}{{x - 2}}.\)
b) Thay \(x = - 6\) (thỏa mãn điều kiện) vào \(A\) ta có: \(A = \frac{5}{{ - 6 - 2}} = \frac{5}{{ - 8}} = \frac{{ - 5}}{8}.\)
Vậy với \(x = - 6\) thì \(A = \frac{{ - 5}}{8}.\)
c) Với \(x \ne 2;\,\,x \ne - 2,\) để \(A = 2\) ta có: \(\frac{5}{{x - 2}} = 2\)
\(5 = 2\left( {x - 2} \right)\)
\(x - 2 = \frac{5}{2}\)
\(x = \frac{5}{2} + 2\)
\(x = \frac{9}{2}\) (thỏa mãn điều kiện).
Vậy với \(x = \frac{9}{2}\) thì \(A = 2\).
d) Với \(x \ne 2;\,\,x \ne - 2\) và \(x \ne - 1\) ta có:
\(M = A:B = \frac{5}{{x - 2}}:\frac{5}{{x + 1}} = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}\)\( = \frac{{x - 2 + 3}}{{x - 2}} = 1 + \frac{3}{{x - 2}}.\)
Để \(M\) nguyên khi \(\frac{3}{{x - 2}}\) nguyên khi \(x - 2 \in \)Ư\(\left( 3 \right) = \left\{ { - 3;\,\, - 1;\,\,1;\,\,3} \right\}.\)
Ta có bảng giá trị
\(x - 2\) | \( - 3\) | \( - 1\) | \(1\) | \(3\) |
\(x\) | \( - 1\) | \(1\) | \(3\) | \(5\) |
Kết luận | thỏa mãn điều kiện | thỏa mãn điều kiện | thỏa mãn điều kiện | thỏa mãn điều kiện |
Tìm \(x,\) biết:
a) \(x\left( {3 - 2x} \right) + 2{x^2} = 12.\)
b) \(x\left( {x - 3} \right) - x + 3 = 0.\)
c) \({x^3} - 3{x^2} + 3x - 1 = 0.\)
d) \({\left( {3x - 1} \right)^2} - \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) = 0.\)
Hướng dẫn giải
a) \(x\left( {3 - 2x} \right) + 2{x^2} = 12\) \(3x - 2{x^2} + 2{x^2} = 12\) \(3x = 12\) \(x = 4\) Vậy \(x = 4\). | b) \(x\left( {x - 3} \right) - x + 3 = 0\) \(x\left( {x - 3} \right) - \left( {x - 3} \right) = 0\) \(\left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\) \(x - 3 = 0\) hoặc \(x - 1 = 0\) \(x = 3\) hoặc \(x = 1\) Vậy \(x \in \left\{ {3;\,\,1} \right\}.\) |
c) \({x^3} - 3{x^2} + 3x - 1 = 0\) \({\left( {x - 1} \right)^3} = 0\) \(x - 1 = 0\) \(x = 1\) Vậy \(x = 1\).
| d) \({\left( {3x - 1} \right)^2} - \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) = 0\) \({\left( {3x - 1} \right)^2} - {\left( {x - 1} \right)^2} = 0\) \(\left( {3x - 1 - x + 1} \right)\left( {3x - 1 + x - 1} \right) = 0\) \(2x\left( {4x - 2} \right) = 0\) \(2x = 0\) hoặc \(4x - 2 = 0\) \(x = 0\) hoặc \(x = \frac{1}{2}\) Vậy \(x \in \left\{ {0;\,\,\frac{1}{2}} \right\}.\) |
Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] \[\left( {AB < AC} \right)\], đường cao \[AH,{\rm{ }}M\] là trung điểm \[BC.\] Vẽ \[MD\] song song với \[AC\] \[(D\] thuộc \[AB),\] \[ME\] song song với \[AB\] \[(E\] thuộc \[AC).\]
a) Cho \[AB = 6\] cm, \[BC = 10\] cm, tính \[AC.\]
b) Chứng minh tứ giác \[ADME\] là hình chữ nhật.
c) Chứng minh rằng \[BDEM\] là hình bình hành.
d) Trên tia đối \[EB\] lấy \[K\] sao cho \[EB = EK;\] trên tia đối \[EM\] lấy \[I\] sao cho \[EM = EI.\] Chứng minh ba điểm \[A;\,\,I;\,\,K\] thẳng hàng.
a) Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông \[ABC\] vuông tại \(A\) ta có: \[A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\]
Hay \[{6^2} + A{C^2} = {10^2}\]
Suy ra \[A{C^2} = {10^2} - {6^2} = 64 \Rightarrow AC = 8{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right).\]
Vậy độ dài \[AC\] là 8 cm.
b) Do \[MD\,{\rm{//}}\,AC\] suy ra \[\widehat {MDB} = \widehat {DAE} = 90^\circ \] (đồng vị).
Do đó\[\widehat {MDA} = 180^\circ - \widehat {MDB} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ .\]
Do \[ME\,{\rm{//}}\,AB\] suy ra \[\widehat {MEC} = \widehat {DAE} = 90^\circ \] (đồng vị).
Do đó \[\widehat {MEA} = 180^\circ - \widehat {MEC} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ .\]Tứ giác \[ADME\] có: \[\widehat {DAE} = \widehat {MDA} = \widehat {MEA} = 90^\circ .\]
Do đó tứ giác \[ADME\] có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.
c) Xét \(\Delta ABC\) có \(AM\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(BC\) nên \(AM = \frac{1}{2}BC.\)
Mà \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(MB = MC = \frac{1}{2}BC.\)
Do đó \(MB = MC = AM = \frac{1}{2}BC.\)
Xét \(\Delta ABM\) có \(MA = MB\) nên \(\Delta ABM\) cân tại \(M,\) khi đó \(MD\) là đường cao của tam giác nên đồng thời là đường trung tuyến của \(\Delta ABM.\)
Do đó \[D\] là trung điểm \[AB\] nên \[DA = DB = \frac{1}{2}AB.\]
Mà \(ME = DA\) (do \[ADME\] là hình chữ nhật) nên \(ME = DB.\)
Xét tứ giác \(BDEM\) có \(ME\,{\rm{//}}\,BD\) và \(ME = DB,\) nên là hình bình hành.
d) Xét \(\Delta ABC\) có \[ME\,{\rm{//}}\,AB\] và \[M\] là trung điểm của \[BC\] nên \[E\] là trung điểm \[AC.\]
Tứ giác \[AKCB\] có \(E\) là trung điểm của \(AC\) và \(BK\) (do \[BE = EK)\] nên tứ giác \[AKCB\] là hình bình hành. Suy ra \[AK\,{\rm{//}}\,BC.\,\,\,\left( 3 \right)\]
Tứ giác \[AICM\] có \(E\) là trung điểm của \(AC\) và \(MI\) (do \[EM = EI)\] nên tứ giác \[AICM\] là hình bình hành. Suy ra \[AI\,{\rm{//}}\,BC.\,\,\,\left( 4 \right)\]
Theo tiên đề Euclid, qua \[A\] chỉ vẽ được duy nhất 1 đường thẳng song song với \[BC\] nên từ \[\left( 3 \right)\] và \[\left( 4 \right)\] ta phải có \[A;\,\,I;\,\,K\] thẳng hàng.
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của: \(P = {x^2} - 2xy + 2{y^2} - 2x + 3y + 3\).
b) Cho ba số \(a,\,\,b,\,\,c\) đôi một khác nhau. Chứng minh rằng giá trị biểu thức \(B\) không phụ thuộc vào \(a,\,\,b,\,\,c.\)
\(B = \frac{{bc}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} + \frac{{ac}}{{\left( {b - a} \right)\left( {b - c} \right)}} + \frac{{ab}}{{\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}}\).
Hướng dẫn giải
a) Ta có: \(P = {x^2} - 2xy + 2{y^2} - 2x + 3y + 3\)
\( = {x^2} - 2xy + {y^2} - 2x + 2y + 1 + {y^2} + y + \frac{1}{4} + \frac{7}{4}\)
\( = {\left( {x - y} \right)^2} - 2\left( {x - y} \right) + 1 + {\left( {y + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{7}{4}\)
\( = {\left( {x - y - 1} \right)^2} + {\left( {y + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{7}{4}.\)
Vì: \({\left( {x - y - 1} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x,\,\,y;\)
\({\left( {y + \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(y\)
Nên: \(P \ge \frac{7}{4}.\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x - y - 1 = 0\) và \(y + \frac{1}{2} = 0,\) tức là \(y = - \frac{1}{2}\) và \(x = \frac{1}{2}\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(\frac{7}{4}\) khi \(x = \frac{1}{2}\) và \(y = - \frac{1}{2}.\)
b) Với \(a,\,\,b,\,\,c\) đôi một khác nhau ta có biểu thức có nghĩa.
Khi đó: \(B = \frac{{bc}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} + \frac{{ac}}{{\left( {b - a} \right)\left( {b - c} \right)}} + \frac{{ab}}{{\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}}\)
\( = \frac{{bc}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} - \frac{{ac}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}} + \frac{{ab}}{{\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}\)
\( = \frac{{bc\left( {b - c} \right) - ac\left( {a - c} \right) + ab\left( {a - b} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}\)
\( = \frac{{bc\left( {b - c} \right) - {a^2}c + a{c^2} + {a^2}b - a{b^2}}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}\)
\( = \frac{{bc\left( {b - c} \right) + \left( { - {a^2}c + {a^2}b} \right) - \left( {a{b^2} - a{c^2}} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}\)
\( = \frac{{bc\left( {b - c} \right) + {a^2}\left( {b - c} \right) - a\left( {b - c} \right)\left( {b + c} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}\)
\( = \frac{{\left( {b - c} \right)\left( {bc + {a^2} - ab - ac} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}\)
\( = \frac{{\left( {b - c} \right)\left[ { - \left( {ac - bc} \right) + \left( {{a^2} - ab} \right)} \right]}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}\)
\( = \frac{{\left( {b - c} \right)\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}} = 1.\)
Vậy giá trị biểu thức \(B\) không phụ thuộc vào \(a,\,\,b,\,\,c.\)
Bạn có thích hoạt động này không?
