Đề thi Cuối kì 1 Toán 8 trường THCS Việt Hưng (Hà Nội) năm 2025-2026 có đáp án
5 câu hỏi
Tìm \(x,\) biết:
a) \[6{x^2} - 10x = 0.\]
b) \[{\left( {x - 2} \right)^2} - x\left( {x - 1} \right) = 3.\]
c) \[{x^2} - 4 = 3x\left( {x - 2} \right).\]
Hướng dẫn giải
a) \[6{x^2} - 10x = 0\] \[2x\left( {3x - 5} \right) = 0\] \[x = 0\] hoặc \[3x - 5 = 0\] \[x = 0\] hoặc \[x = \frac{5}{3}\]. Vậy \[x \in \left\{ {0\,;\,\,\frac{5}{3}} \right\}.\] | b) \[{\left( {x - 2} \right)^2} - x\left( {x - 1} \right) = 3\] \[{x^2} - 4x + 4 - {x^2} + x = 3\] \[ - 3x + 4 = 3\] \[ - 3x = - 1\] \[x = \frac{1}{3}.\] Vậy \[x = \frac{1}{3}.\] |
c) \[{x^2} - 4 = 3x\left( {x - 2} \right)\] \[\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) - 3x\left( {x - 2} \right) = 0\] \[\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2 - 3x} \right) = 0\] \[\left( {x - 2} \right)\left( { - 2x + 2} \right) = 0\] \[x - 2 = 0\] hoặc \[ - 2x + 2 = 0\] \[x = 2\] hoặc \[x = 1\]. Vậy \[x \in \left\{ {2\,;\,\,1} \right\}.\] |
|
Cho biểu thức \[M = \;\frac{{x - 3}}{{x + 3}} + \;\frac{{9x - 9}}{{{x^2} - 9}}\;\] và \[N = \;\frac{{x + 3}}{{x - 3}}\;\] (với \[x \ne - 3,\,\,x \ne 3).\]
a) Tính giá trị của \[N\] khi \(x = \frac{1}{2}\).
b) Chứng minh rằng \[M = \frac{x}{{x - 3}}.\;\]
c) Tìm \[x\] để \(A = \frac{{ - 1}}{5}.\) Với \(A = M:N.\)
Hướng dẫn giải
a) Thay \(x = \frac{1}{2}\) (TMĐK) vào \[N\], ta được: \[N = \;\frac{{\frac{1}{2} + 3}}{{\frac{1}{2} - 3}}\; = \frac{{ - 7}}{5}.\]
Vậy với \(x = \frac{1}{2}\) thì \[N = \frac{{ - 7}}{5}.\]
b) Với \[x \ne - 3,\,\,x \ne 3,\] ta có:
\[M = \;\frac{{x - 3}}{{x + 3}} + \;\frac{{9x - 9}}{{{x^2} - 9}}\; = \;\frac{{x - 3}}{{x + 3}} + \;\frac{{9x - 9}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}\]
\[ = \;\frac{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} + \;\frac{{9x - 9}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}\]
\[ = \;\frac{{{x^2} - 6x + 9 + 9x - 9}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{{x^2} + 3x}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}\]
\[ = \frac{{x\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{x}{{x - 3}}\].
Vậy với \[x \ne - 3,\,\,x \ne 3\] thì \[M = \frac{x}{{x - 3}}.\]
c) Ta có \(A = M:N = \frac{x}{{x - 3}}:\frac{{x + 3}}{{x - 3}}\; = \frac{x}{{x + 3}}.\)
Để \(A = \frac{{ - 1}}{5}\) thì \[\frac{x}{{x + 3}} = \frac{{ - 1}}{5}\] suy ra \[5x = - x - 3\] nên \[6x = - 3\] hay \(x = \frac{{ - 1}}{2}.\)
Vậy để \(A = \frac{{ - 1}}{5}\) thì \(x = \frac{{ - 1}}{2}.\)
1) Cho hàm số bậc nhất \[y = f\left( x \right) = 2x + 3.\]
a) Tính \[f\left( { - 1} \right).\]
b) Tìm \[x\] biết \[f\left( x \right) = - 1.\]
2) Một tổ sản xuất phải may 650 chiếc khẩu trang trong thời gian quy định. Do tăng năng suất, thực tế mỗi giờ tổ may nhiều hơn 8 chiếc so với kế hoạch. Gọi \[x\] là số khẩu trang tổ may mỗi giờ theo kế hoạch \[\left( {x \in {\mathbb{N}^*},\,\,x < 650} \right).\] Viết phân thức biểu thị theo \[x\].
a) Thời gian tổ phải làm xong việc theo kế hoạch.
b) Thời gian thực tế tổ đã làm xong việc.
Hướng dẫn giải
1) a) \[f\left( { - 1} \right) = 2 \cdot \left( { - 1} \right) + 3 = 1.\]
b) Ta có \[f\left( x \right) = - 1\] hay \[2x + 3 = - 1\] nên \[x = - 2\].
2) a)Thời gian tổ làm xong việc theo kế hoạch là \(\frac{{650}}{x}\) (giờ).
b) Số khẩu trang tổ may mỗi giờ theo thực tế \[x + 8\] (chiếc)
Thời gian thực tế tổ làm xong việc là: \(\frac{{650}}{{x + 8}}\) (giờ).
1) Chóp Inox đặt trên đỉnh núi Fansipan (Việt Nam) có dạng chóp tam giác đều với diện tích đáy khoảng \[1560{\rm{ c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\] và cao \[90{\rm{ cm}}.\] Tính thể tích của khối chóp Inox đó.
2) Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[B\,\,\left( {BC > \;BA} \right),\;\] \(M\) là trung điểm \(AC\). Từ M kẻ ME vuông góc với \[BC\left( {E \in BC} \right),\,\,MD\] vuông góc với \[AB\,\,\left( {D \in AB} \right).\]
a) Chứng minh tứ giác \[BDME\] là hình chữ nhật.
b) Lấy \[F\] thuộc tia đối của tia \[ME\] sao cho \[MF = ME.\] Chứng minh: \[BE = EC\] và tứ giác \[AFCE\] là hình bình hành.
c) Gọi \[I,\,\,K\] lần lượt là giao điểm của \[BM,\,\,BF\] với AE. Chứng minh: \[FC = 6IK.\]
Hướng dẫn giải
1) Thể tích của khối chóp Inox là: \(\frac{1}{3} \cdot 90 \cdot 1560 = 46\,\,800\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right).\)
a) Xét tứ giác \[BDME\] có \(\widehat {DBE} = 90^\circ \) (do \[ABC\] vuông tại \(B);\)
\(\widehat {BDM} = 90^\circ \) (do \(MD \bot AB\,)\);
\(\widehat {BEM} = 90^\circ \) (do \(ME \bot BC\,)\).
Do đó tứ giác \[BDME\] là hình chữ nhật.
b) Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) có \(BM\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AC\) nên \[BM = \frac{1}{2}AC\] suy ra \[BM = MC.\]
Suy ra \[\Delta BMC\] cân tại \(M\) có \[ME\] là đường cao (do \(ME \bot BC\,)\) nên \[ME\] là đường trung tuyến hay \[BE = EC.\]
Xét tứ giác \[AFCE\] có \(M\) là trung điểm \(AC\) (gt) và \(M\) là trung điểm \(EF\) (vì \[MF = ME\,).\]
Suy ra hai chéo \(AC\) và \(EF\) cắt nhau tại trung điểm \(M\) của mỗi đường.
Do đó \[AFCE\] là hình bình hành.
c) Gọi \[I,\,\,K\] lần lượt là giao điểm của \[BM,\,\,BF\] với AE. Chứng minh: \[FC = 6IK.\]
Trong \({\rm{\Delta }}ABC\) có
\(AM\; = \;MC\) (do \(M\) là trung điểm \(AC\)) nên \(BM\) là đường trung tuyến của \({\rm{\Delta }}ABC\);
\[BE = EC\] (câu b) nên \(AE\) là hai đường trung tuyến của \({\rm{\Delta }}ABC\).
Mà \[I\] là giao điểm của \(BM\) và \(AE\) nên \(I\) là trọng tâm \({\rm{\Delta }}ABC\).
Suy ra \(AI = \frac{2}{3}AE\) nên \(IE = \frac{1}{3}AE.\)
Vì \[AFCE\] là hình bình hành nên \(AF\,{\rm{//}}\,EC\) hay \(AF\,{\rm{//}}\,BC\).
Mà \(AB \bot BC\) nên \(AB \bot AF\) hay \(\widehat {BAF} = 90^\circ .\)
Xét tứ giác \(ABEF\) có \(\widehat {BAF} = 90^\circ ;\,\,\widehat {ABC} = 90^\circ ;\,\,\widehat {BEF} = 90^\circ .\)
Suy ra \(ABEF\) là hình chữ nhật nên \(K\) là trung điểm của \(AE\) hay \(AK = EK = EK = \frac{1}{2}AE.\)
Ta thấy \(K\) và \(I\) đều nằm trên đoạn \(AE\) mà \(EK\; > \;EI\) \(\left( {{\rm{do}}\,\,\frac{1}{2}AE > \frac{1}{3}AE} \right)\)
Suy ra điểm \(I\) nằm giữa \(E\) và \(K\) nên \(IK\; = \;EK\;--\;EI\) \( = \frac{1}{2}AE - \frac{1}{3}AE = \frac{1}{6}AE\).
Do đó \(AE\; = \;6IK\) (đpcm).
Một rạp chiếu phim tổ chức buổi công chiếu đặc biệt. Ban đầu, nếu giá vé là \[120\,\,000\] đồng thì có khoảng 800 người đến xem. Để thu hút thêm khán giả, rạp quyết định giảm giá vé, cứ mỗi lần giảm \[10\,\,000\] đồng thì số khán giả tăng thêm 100 người. Hỏi rạp chiếu phim phải bán vé với giá bao nhiêu để doanh thu là lớn nhất?
Hướng dẫn giải
Gọi \(x\) là số lần giảm giá vé \(\left( {x\; > \;0} \right).\)
Mỗi lần giảm \[10\,\,000\] đồng, nên tổng số tiền giảm là: \[10\,\,000x\] (đồng).
Giá vé sau khi giảm là: \[120\,\,000 - 10\,\,000x\] (đồng).
Mỗi lần giảm giá thì số khán giả tăng thêm 100 người, nên tổng số khán giả tăng thêm là \[100x\] (người).
Tổng số khán giả đến xem là: \(800\; + \;100x\) (người).
Doanh thu rạp chiếu phim là: \[R = \left( {120\,\,000 - 10\,\,000x} \right)\left( {800 + 100x} \right)\]
\( = 10\,\,000\left( {12 - x} \right) \cdot 100\left( {8 + x} \right)\)
\( = 1\,\,000\,\,000\left( {12 - x} \right)\left( {8 + x} \right)\)
\( = 1\,\,000\,\,000\left( { - {x^2} + 4x + 96} \right)\)
Để doanh thu \[R\] lớn nhất thì \( - {x^2} + 4x + 96\) đạt giá trị lớn nhất.
Ta có \( - \left( {{x^2} - 4x + 4} \right) + 4 + 96\)\( = - {\left( {x - 2} \right)^2} + 100\)
Vì \( - {\left( {x - 2} \right)^2} \le 0\) với mọi nên \( - {x^2} + 4x + 96 = - {\left( {x - 2} \right)^2} + 100 \le 100.\)
Dấu “=” xảy ra khi \(x\; - \;2\; = \;0\) hay \(x\; = \;2\).
Khi đó, số tiền giảm giá là: \(2\; \cdot 10\,\,000\; = \;20\,\,000\) (đồng).
Giá vé rạp chiếu phim phải bán để doanh thu lớn nhất là:
\(120\,\,000 - 20\,\,000 = 100\,\,000\) (đồng).
Vậy rạp chiếu phim phải bán vé với giá \(100\,\,000\) đồng để doanh thu là lớn nhất.
Bạn có thích hoạt động này không?
