Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Vạn Xuân (Hoài Đức-Hà Nội) có đáp án (đề lẻ)
21 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu thí sinh chỉ chọn một phương án.
Hàm số \(y = \frac{{x + 3}}{{x - 2}}\) nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
\(\left( { - 2;3} \right)\).
\(\left( { - \infty ;3} \right)\).
\(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\).
\(\left( {3; + \infty } \right)\).
Ta có: \(y' = \frac{{ - 5}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0,\forall x \ne 2\).
\( \Rightarrow \) Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\).
Chọn đáp án D.
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} + 10\) trên đoạn \(\left[ { - 5; - 1} \right]\) bằng
12.
18.
−40.
14.
Trên đoạn \(\left[ { - 5; - 1} \right]\) ta có hàm số đã cho liên tục và có
\(y{\rm{'}} = 3{x^2} + 6x \Rightarrow 3{x^2} + 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = - 2}\end{array}} \right. \Rightarrow x = - 2 \in \left[ { - 5; - 1} \right]\);
\(y\left( { - 5} \right) = - 40;y\left( { - 2} \right) = 14;y\left( { - 1} \right) = 12\).
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn \(\left[ { - 5; - 1} \right]\) bằng 14.
Chọn đáp án D.
Tìm đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 3x + 1}}{{x - 2}}\).
\(y = x + 1\).
\(y = - 3x + 1\).
\(y = x - 2\).
\(y = x - 1\).
\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} - 3x + 1}}{{{x^2} - 2x}} = 1\);
\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{{{x^2} - 3x + 1}}{{x - 2}} - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - x + 1}}{{x - 2}} = - 1\).
Tương tự do \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = 1\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f\left( x \right) - x} \right] = - 1\).
Vậy đường thẳng \(y = x - 1\) là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.
Chọn đáp án D.
Bảng biến thiên ở hình bên dưới là của một trong bốn hàm số nào sau đây?
\(y = - {x^3} - 3{x^2}\).
\(y = {x^3} - 3{x^2} - 1\).
\(y = {x^3} + 2{x^2} + 1\).
\(y = - {x^3} + 3{x^2} + 1\).
Ta thấy đây là hàm số bậc ba và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } = - \infty \) nên hệ số \(a < 0\).
Ta có \(f\left( 0 \right) = 1\) nên hàm số cần tìm là \(y = - {x^3} + 3{x^2} + 1\).
Chọn đáp án D.
Cho tứ diện \(ABCD\). Đặt \(\overrightarrow {AB} = \vec a,\overrightarrow {AC} = \vec b,\overrightarrow {AD} = \vec c\). Gọi \(M\) là trung điểm của đoạn \(BC\). Đẳng thức nào dưới đây đúng?
\(\overrightarrow {DM} = \frac{1}{2}\left( {\vec a + \vec b - 2\vec c} \right)\).
\(\overrightarrow {DM} = \frac{1}{2}\left( {\vec a + 2\vec b - \vec c} \right)\).
\(\overrightarrow {DM} = \frac{1}{2}\left( {\vec a - 2\vec b + \vec c} \right)\).
\(\overrightarrow {DM} = \frac{1}{2}\left( {\vec a + \vec b - \vec c} \right)\).
Vì \(M\) là trung điểm của \(BC \Rightarrow \overrightarrow {BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \).
Mặt khác \(\overrightarrow {DM} = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \)
\( = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} } \right) = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\vec a + \frac{1}{2}\vec b - \vec c = \frac{1}{2}\left( {\vec a + \vec b - 2\vec c} \right)\)
Chọn đáp án A.
Cho ba vectơ \(\vec a,\vec b,\vec c\). Điều kiện nào dưới đây khẳng định \(\vec a,\vec b,\vec c\) đồng phẳng?
Tồn tại ba số thực \(m,n,p\) thỏa mãn \(m + n + p = 0\) và \(m\vec a + n\vec b + p\vec c = \vec 0\).
Tồn tại ba số thực \(m,n,p\) thỏa mãn \(m + n + p \ne 0\) và \(m\vec a + n\vec b + p\vec c = \vec 0\).
Tồn tại ba số thực \(m,n,p\) sao cho \(m\vec a + n\vec b + p\vec c = \vec 0\).
Giá của \(\vec a,\vec b,\vec c\) đồng qui.
Xét \(m = n = p = 0\) ta luôn có \(m + n + p = 0\) và \(m\vec a + n\vec b + p\vec c = \vec 0\) nhưng không thể suy ra được \(\vec a,\vec b,\vec c\) đồng phẳng.
Xét \(m + n + p \ne 0\) thì chắc chắn có một trong ba số \(m,n,p\) khác \(0\).
Giả sử \(m \ne 0 \Rightarrow m\vec a + n\vec b + p\vec c = \vec 0 \Leftrightarrow \vec a = - \frac{n}{m}\vec b - \frac{p}{m}\vec c \Rightarrow \vec a,\vec b,\vec c\) đồng phẳng.
Chọn đáp án B.
Cho hai vectơ \(\vec a,\vec b\) thỏa mãn: \(\left| {\vec a} \right| = 4;\left| {\vec b} \right| = 3;\left| {\vec a - \vec b} \right| = 4\). Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai vectơ \(\vec a,\vec b\). Chọn khẳng định đúng?
\({\rm{cos}}\alpha = \frac{3}{8}\).
\(\alpha = 30^\circ \).
\({\rm{cos}}\alpha = \frac{1}{3}\).
\(\alpha = 60^\circ \).
Ta có \({\left( {\vec a - \vec b} \right)^2} = {\left| {\vec a} \right|^2} + {\left| {\vec b} \right|^2} - 2\vec a.\vec b \Rightarrow \vec a.\vec b = \frac{9}{2}\). Do đó: \({\rm{cos}}\alpha = \frac{{\vec a.\vec b}}{{\left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|}} = \frac{3}{8}\).
Chọn đáp án A.
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA = SB = SC\) và \(\widehat {ASB} = \widehat {BSC} = \widehat {CSA}\). Hãy xác định góc giữa cặp vectơ \(\overrightarrow {SA} \) và \(\overrightarrow {BC} \)?
\(120^\circ \).
\(90^\circ \).
\(60^\circ \).
\(45^\circ \).
Ta có: \(\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {SA} .\left( {\overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SB} } \right) = \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SB} = SA.SC.{\rm{cos}}\widehat {ASC} - SA.SB.{\rm{cos}}\widehat {ASB} = 0\)\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = 90^\circ \).
Chọn đáp án B.
Trong không gian \(Oxyz\) cho ba điểm \(M\left( {2;0;0} \right);N\left( {0; - 3;0} \right);P\left( {0;0;4} \right)\). Nếu \(MNPQ\) là hình bình hành thì tọa độ điểm \(Q\) là
\(\left( { - 2; - 3;4} \right)\).
\(\left( { - 2; - 3; - 4} \right)\).
\(\left( {2;3;4} \right)\).
\(\left( {3;4;2} \right)\).
Gọi \(Q\left( {x;y;z} \right)\) khi đó \(\overrightarrow {MN} = \left( { - 2; - 3;0} \right);\overrightarrow {QP} = \left( { - x; - y;4 - z} \right)\).
Tứ giác \(MNPQ\) là hình bình hành \( \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {QP} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - x = - 2}\\{ - y = - 3}\\{4 - z = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 3}\\{z = 4}\end{array}} \right.\). Vậy \(Q\left( {2;3;4} \right)\).
Chọn đáp án C.
Bảng dưới biểu diễn mẫu số liệu ghép nhóm về số tiền (đơn vị: nghìn đồng) mà 60 khách hàng mua sách ở một cửa hàng trong một ngày.
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:
50.
40.
14,23.
70,87.
Tần số tích lũy của các nhóm lần lượt là \(c{f_1} = 3,c{f_2} = 9,c{f_3} = 28,c{f_4} = 51,c{f_5} = 60\).
Ta có: \(\frac{n}{4} = \frac{{60}}{4} = 15\) mà \(9 < 15 < 28\) suy ra nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 15. Xét nhóm 3 là nhóm \(\left[ {60;70} \right)\) có \(s = 60,h = 10,{n_3} = 19\) và nhóm 2 là nhóm \(\left[ {50;60} \right)\) có \(c{f_2} = 9\).
Ta có tứ phân vị thứ nhất là: \({Q_1} = s + \left( {\frac{{15 - c{f_2}}}{{{n_3}}}} \right).h = 60 + \left( {\frac{{15 - 9}}{{19}}} \right).10 = \frac{{1200}}{{19}}\).
Ta có: \(\frac{{3n}}{4} = \frac{{3 \cdot 60}}{4} = 45\) mà \(28 < 45 < 51\) suy ra nhóm 4 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 45. Xét nhóm 4 là nhóm \(\left[ {70;80} \right)\) có \(t = 70,l = 10,{n_4} = 23\) và nhóm 3 là nhóm \(\left[ {60;70} \right)\) có \(c{f_3} = 28\).
Ta có tứ phân vị thứ ba là: \({Q_3} = t + \left( {\frac{{45 - c{f_3}}}{{{n_4}}}} \right).l = 70 + \left( {\frac{{45 - 28}}{{23}}} \right).10 = \frac{{1780}}{{23}}\).
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: \({Q_3} - {Q_1} = \frac{{1780}}{{23}} - \frac{{1200}}{{19}} \approx 14,23\).
Chọn đáp án C.
Mỗi ngày bác Hương đều đi bộ để rèn luyện sức khỏe. Quãng đường đi bộ mỗi ngày (đơn vị: km) của bác Hương trong 20 ngày được thống kê lại ở bảng sau:
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm có giá trị gần nhất với giá trị nào dưới đây?
3,41.
11,62.
0,017.
0,36.
Số trung bình cộng: \(\bar x = \frac{{3 \cdot 2,85 + 6 \cdot 3,15 + 5 \cdot 3,45 + 4 \cdot 3,75 + 2 \cdot 4,05}}{{20}}\)\( = \frac{{67,8}}{{20}} = 3,39\).
Phương sai cho mẫu số liệu ghép nhóm:
\({s^2} = \frac{1}{{20}}\left( {3 \cdot 2,{{85}^2} + 6 \cdot 3,{{15}^2} + 5 \cdot 3,{{45}^2} + 4 \cdot 3,{{75}^2} + 2 \cdot 4,{{05}^2}} \right) - 3,{39^2}\)\( = 0,1314\).
Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai: \(s = \sqrt {0,1314} \approx 0,3625\).
Giá trị này gần nhất với 0,36.
Chọn đáp án D.
Thời gian hoàn thành một bài viết chính tả của một học sinh lớp 4 trường A được cho ở bảng sau:
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là
5.
1.
3.
7.
Ta có khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là: \(11 - 6 = 5\).
Chọn đáp án A.
PHẦN II. Trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {2; - 2;1} \right)\), \(B\) nằm trên trục \(Oz\) sao cho \(OB = 2\).
Tọa độ điểm \(B\left( {2;0;0} \right)\).
Tọa độ điểm \(N\left( {2; - 2; - 1} \right)\) đối xứng với \(A\) qua mặt phẳng tọa độ \(\left( {Oxy} \right)\).
\(\overrightarrow {OA} = 2\vec i - 2\vec j + \vec k\).
Diện tích tam giác \(OAN\) bằng .
a) Sai. Do \(B\) nằm trên trục \(Oz\) nên \(B\left( {0;0;2} \right)\).
b) Đúng. Điểm \(N\) đối xứng với \(A\) qua mặt phẳng tọa độ \(\left( {Oxy} \right)\) có tọa độ là \(N\left( {2; - 2; - 1} \right)\).
c) Đúng. Ta có \(A\left( {2; - 2;1} \right)\) suy ra \(\overrightarrow {OA} = 2\vec i - 2\vec j + \vec k\).
d) Đúng. Vì \(N\left( {2; - 2; - 1} \right)\) đối xứng với \(A\) qua mặt phẳng tọa độ \(\left( {Oxy} \right) \Rightarrow AN = 2\).
Gọi \(H\) là chân đường cao của tam giác ứng với cạnh \(AN \Rightarrow H\left( {2; - 2;0} \right) \Rightarrow OH = 2\sqrt 2 \).
\( \Rightarrow {S_{\Delta OAN}} = \frac{{OH \cdot AN}}{2} = 2\sqrt 2 \).
Thống kê thời gian dùng Facebook trong một ngày của các bạn trong Lớp 12C1 được kết quả ghép nhóm như sau:
Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
Giá trị đại diện của nhóm thứ nhất theo chiều từ trái sang phải là 5.
Thời gian trung bình dùng Facebook của mỗi bạn trong lớp 12C1 là 12.
Phương sai của mẫu số liệu trên gần bằng 251.
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là 15.
Cỡ của mẫu số liệu là: \(n = 15 + 10 + 5 + 2 = 32\).
a) Đúng. Giá trị đại diện của nhóm thứ I, II, III, IV theo chiều từ trái sang phải lần lượt là:
\({x_1} = \frac{{0 + 10}}{2} = 5,{x_2} = \frac{{10 + 20}}{2} = 15,{x_3} = \frac{{20 + 30}}{2} = 25,{x_4} = \frac{{30 + 40}}{2} = 35\).
b) Sai. Thời gian trung bình dùng Facebook của mỗi bạn trong lớp 12C1 là:
\(\bar x = \frac{1}{{32}}\left( {15.5 + 10.15 + 5.25 + 2.35} \right) = 13,125\).
c) Đúng. Phương sai của mẫu số liệu trên là
\({s^2} = \frac{1}{{32}}\left[ {15.{{\left( 5 \right)}^2} + 10.{{\left( {15} \right)}^2} + 5.{{\left( {25} \right)}^2} + 2.{{\left( {35} \right)}^2}} \right] - {\left( {13,125} \right)^2} \approx 251\).
d) Sai. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là: \(s = \sqrt {{s^2}} \approx \sqrt {251} \approx 15,8\).
PHẦN III. Trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4.
Xí nghiệp \(A\) sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết rằng hàm tổng chi phí sản xuất là \(TC = {x^3} - 77{x^2} + 1000x + 40000\) và hàm doanh thu là \(TR = - 2{x^2} + 1312x\), với \(x\) là số sản phẩm. Lợi nhuận của xí nghiệp \(A\) được xác định bằng hàm số \(f\left( x \right) = TR - TC\), cực đại lợi nhuận của xí nghiệp \(A\) khi đó đạt bao nhiêu sản phẩm?
Trả lời: 52.
Xét hàm số: \(f\left( x \right) = TR - TC = - 2{x^2} + 1312x - \left( {{x^3} - 77{x^2} + 1000x + 40000} \right)\).
\(f\left( x \right) = - {x^3} + 75{x^2} + 312x - 40000\).
TXĐ: \(D = \left( {0; + \infty } \right)\).
Ta có \(f'\left( x \right) = - 3{x^2} + 150x + 312 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 52\left( N \right)}\\{x = - 2\left( L \right)}\end{array}} \right.\).
Bảng biến thiên:
Hàm số đạt giá trị cực đại tại \(x = 52\).
Vậy lợi nhuận của công ty đạt cực đại khi số sản phẩm \(x = 52\).
Trong không gian, cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \(N\) là điểm thỏa \(\overrightarrow {C'N} = 2\overrightarrow {NB'} \), \(M\) là trung điểm của \(A'D'\), \(I\) là giao điểm của \(A'N\) và \(B'M\). Biết \(\overrightarrow {AI} = a\overrightarrow {AA'} + b\overrightarrow {AB} + c\overrightarrow {AD} \). Tổng \(a + b + c\) bằng bao nhiêu?
Trả lời: 1,8.
Ta có tam giác \(IA'M\) đồng dạng với tam giác \(INB'\) nên suy ra: \(\frac{{IA'}}{{IN}} = \frac{{A'M}}{{B'N}} = \frac{{\frac{1}{2}A'D'}}{{\frac{1}{3}A'D'}} = \frac{3}{2} \Rightarrow \overrightarrow {A'I} = \frac{3}{5}\overrightarrow {A'N} \).
Ta có \(\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {A'I} = \overrightarrow {AA'} + \frac{3}{5}\overrightarrow {A'N} = \overrightarrow {AA'} + \frac{3}{5}\left( {\overrightarrow {A'B'} + \overrightarrow {B'N} } \right) = \overrightarrow {AA'} + \frac{3}{5}\left( {\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} } \right)\)\( = \overrightarrow {AA'} + \frac{3}{5}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{5}\overrightarrow {AD} \).
Suy ra \(a + b + c = \frac{9}{5} = 1,8\).
Một căn phòng dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài \(8{\rm{m}}\), rộng \(6{\rm{m}}\) và cao \(4{\rm{m}}\) có hai chiếc quạt treo tường. Chiếc quạt A treo chính giữa bức tường \(8{\rm{m}}\) và cách trần \(1{\rm{m}}\), chiếc quạt B treo chính giữa bức tường \(6{\rm{m}}\) và cách trần \(1,5{\rm{m}}\). Hỏi khoảng cách giữa hai chiếc quạt AB cách nhau bao nhiêu m (Làm tròn đến hàng phần trăm).
Trả lời: 5,02.
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, khi đó ta có điểm \(A\left( {4;0;3} \right)\) và điểm \(B\left( {0;3;\frac{5}{2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( { - 4;3; - \frac{1}{2}} \right)\).
Do đó độ dài đoạn thẳng \(AB \approx 5,02\).
Một trang báo điện tử thống kê thời gian người sử dụng đọc thông tin trên trang trong mỗi lần truy cập ở bảng sau:
Tìm tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm trên (Làm tròn đến hàng phần trăm).
Trả lời: 3,03.
Cỡ mẫu là \(n = 45 + 34 + 23 + 18 + 5 = 125\).
Nhóm chứa tứ phân vị thứ hai là nhóm \(\left[ {2;4} \right)\).
Vậy tứ phân vị thứ hai là \({Q_2} = 2 + \left[ {\frac{{\frac{{125}}{2} - 45}}{{34}}} \right].2 \approx 3,03\).
PHẦN IV. TỰ LUẬN
Hình vẽ bên dưới mô tả đoạn đường đi vào Gara ô tô Thành Công ở Thượng Đình, Thanh Xuân, Hà Nội. Đoạn đường đầu tiên có chiều rộng bằng \(x\left( {\rm{m}} \right)\), đoạn đường thẳng vào cổng Gara có chiều rộng \(2,6{\rm{m}}\). Biết kích thước xe ô tô là \(5\,{\rm{m}} \times 1,9\,{\rm{m}}\). Để tính toán và thiết kế đường đi cho ô tô người ta coi ô tô như một khối hộp chữ nhật có kích thước chiều dài \(5{\rm{m}}\), chiều rộng \(1,9{\rm{m}}\). Hỏi chiều rộng nhỏ nhất của đoạn đường đầu tiên bằng bao nhiêu để ô tô có thể đi vào Gara được? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
Chọn hệ trục \(Oxy\) như hình vẽ. Khi đó, điểm góc \(M\) có tọa độ \(M\left( { - 2,6;m} \right)\).
Tọa độ điểm \(B\) là \(B\left( { - a;0} \right)\) khi đó \(A\left( {0;\sqrt {25 - {a^2}} } \right)\).
Phương trình đường thẳng \(AB\) là \(AB:\frac{x}{{ - a}} + \frac{y}{{\sqrt {25 - {a^2}} }} - 1 = 0\).
Do \(CD{\rm{//}}AB\) nên phương trình đường thẳng \(CD\) là \(CD:\frac{x}{{ - a}} + \frac{y}{{\sqrt {25 - {a^2}} }} - T = 0\).
Mà khoảng cách giữa \(AB\) và \(CD\) bằng \(1,9{\rm{m}}\) nên
\(d\left( {AB,CD} \right) = \frac{{\left| {T - 1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{1}{a}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{{\sqrt {25 - {a^2}} }}} \right)}^2}} }} = 1,9 \Rightarrow T = 1 + \frac{{9,5}}{{a\sqrt {25 - {a^2}} }}\).
Điều kiện để ô tô đi qua được là \(M,O\) nằm khác phía đối với bờ là đường thẳng \(CD\).
Suy ra: \(\frac{{ - 2,6}}{{ - a}} + \frac{m}{{\sqrt {25 - {a^2}} }} - 1 - \frac{{9,5}}{{a\sqrt {25 - {a^2}} }} \ge 0\)
\( \Leftrightarrow m \ge \sqrt {25 - {a^2}} + \frac{{9,5 - 2,6\sqrt {25 - {a^2}} }}{a}\) đúng với mọi \(a \in \left( {0;5} \right]\).
Xét hàm số: \(f\left( a \right) = \sqrt {25 - {a^2}} + \frac{{9,5}}{a} - \frac{{2,6\sqrt {25 - {a^2}} }}{a}\) trên nửa khoảng \(\left( {0;5} \right]\) ta có:
\(f'\left( a \right) = - \frac{a}{{\sqrt {25 - {a^2}} }} + \frac{{9,5}}{{{a^2}}} + \frac{{65}}{{{a^2}\sqrt {25 - {a^2}} }} = \frac{{65 - 9,5\sqrt {25 - {a^2}} - {a^3}}}{{{a^2}.\sqrt {25 - {a^2}} }}\)\( \Rightarrow f'\left( a \right) = 0 \Leftrightarrow a = 3 \in \left( {0;5} \right)\).
BBT:
Do đó \(m \ge f\left( a \right),\forall a \in \left( {0;5} \right] \Leftrightarrow m \ge {\rm{ma}}{{\rm{x}}_{\left( {0;5} \right]}}f\left( a \right) \Leftrightarrow m \ge \frac{{37}}{{10}} = 3,7\).
Vậy \(x = 3,7\) là giá trị cần tìm.
Ba chiếc Flycam cùng bay lên tại một địa điểm. Sau một thời gian bay, chiếc Flycam thứ nhất cách điểm xuất phát \(100\,{\rm{m}}\) về phía bắc và \(200\,{\rm{m}}\) về phía tây, đồng thời cách mặt đất \(50\,{\rm{m}}\). Chiếc Flycam thứ hai cách điểm xuất phát \(300\,{\rm{m}}\) về phía nam và \(200\,{\rm{m}}\) về phía đông, đồng thời cách mặt đất \(100\,{\rm{m}}\). Chiếc Flycam thứ ba cách điểm xuất phát \(150\,{\rm{m}}\) về phía đông và \(100\,{\rm{m}}\) về phía bắc, đồng thời cách mặt đất \(50\,{\rm{m}}{\rm{.}}\) Vị trí của hai chiếc Flycam thứ nhất và thứ hai tạo với vị trí của chiếc thứ ba một góc bằng \(\alpha \). Hỏi góc \(\alpha \) bằng bao nhiêu độ? (Làm tròn đến hàng phần chục).
Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ, gốc đặt tại điểm xuất phát, mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) là mặt đất, trục \(Ox\) hướng về phía Bắc, trục \(Oy\) hướng về phía tây, trục \(Oz\) hướng thẳng lên trời.
Chiếc Flycam thứ nhất có tọa độ \(A\left( {100;200;50} \right)\);
Chiếc Flycam thứ hai có tọa độ \(B\left( { - 300; - 200;100} \right)\).
Chiếc Flycam thứ ba có tọa độ \(C\left( {100; - 150;50} \right)\).
Hai chiếc Flycam thứ nhất và thứ hai tạo với chiếc thứ ba một góc bằng \(\alpha \). Nên \(\widehat {ACB} = \left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \alpha \).
\(\overrightarrow {CA} = \left( {0;350;0} \right);\overrightarrow {CB} = \left( { - 400; - 50;50} \right)\).
Ta có \({\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \frac{{\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} }}{{\left| {\overrightarrow {CA} } \right|.\left| {\overrightarrow {CB} } \right|}} = \frac{{0.\left( { - 400} \right) + 350.\left( { - 50} \right) + 0.50}}{{\sqrt {{0^2} + {{350}^2} + {0^2}} .\sqrt {{{\left( { - 400} \right)}^2} + {{\left( { - 50} \right)}^2} + {{50}^2}} }}\).
Vậy \(\alpha = \left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right) \approx 97,1^\circ \).
Bạn An là học sinh rất giỏi chơi Rubic, bạn có thể giải nhiều loại Rubic khác nhau. Trong một lần luyện tập giải khối Rubic 3×3, bạn An đã tự thống kê lại thời gian giải Rubic trong 25 lần giải liên tiếp ở bảng sau:
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là nhóm \(\left[ {10;12} \right)\) và nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là nhóm \(\left[ {14;16} \right)\).
Ta có \({Q_1} = 10 + \frac{{\frac{{25}}{4} - 4}}{6}.2 = 10,75\) và \({Q_3} = 14 + \frac{{\frac{{25.3}}{4} - 4 - 6 - 8}}{4}.2 = 14,375\).
Do đó \({\Delta _Q} = 14,375 - 10,75 = 3,625 \approx 3,6\).
