Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Phùng Khắc Khoan (Thạch Thất-Hà Nội) có đáp án (mã đề 345)

Theo định nghĩa tọa độ của vectơ trong không gian: Nếu \(\vec a = x\vec i + y\vec j + z\vec k\) thì \(\vec a = \left( {x;y;z} \right)\).

Từ giả thiết \(\vec a = - 1\vec i + 2\vec j + 3\vec k\), suy ra tọa độ của \(\vec a\) là \(\left( { - 1;2;3} \right)\).

Chọn D.

Ta có: \(\vec a = \left( {1;1; - 2} \right)\); \(2\vec b = \left( {2 \cdot \left( { - 2} \right);2 \cdot 1;2 \cdot 4} \right) = \left( { - 4;2;8} \right)\).

Tọa độ của vectơ \(\vec u = \vec a - 2\vec b\) là: \(\vec u = \left( {1 - \left( { - 4} \right);1 - 2; - 2 - 8} \right) = \left( {5; - 1; - 10} \right)\).

Chọn A.

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 6x\) trên đoạn \(\left[ { - 1;4} \right]\).

Đạo hàm: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6\).

Giải phương trình \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 2 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 2 \).

Vì xét trên đoạn \(\left[ { - 1;4} \right]\) nên ta chỉ nhận giá trị \(x = \sqrt 2 \) (do \( - \sqrt 2 \notin \left[ { - 1;4} \right]\)).

Tính giá trị của hàm số tại các điểm đầu mút và điểm cực trị:

\(f\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^3} - 6 \cdot \left( { - 1} \right) = 5\);

\(f\left( 4 \right) = {4^3} - 6 \cdot 4 = 64 - 24 = 40\);

\(f\left( {\sqrt 2 } \right) = {\left( {\sqrt 2 } \right)^3} - 6\sqrt 2 = 2\sqrt 2 - 6\sqrt 2 = - 4\sqrt 2 \).

So sánh các giá trị trên, ta thấy giá trị nhỏ nhất của hàm số là \( - 4\sqrt 2 \).

Chọn A.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm bằng hiệu số giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên chứa dữ liệu.

Nhóm đầu tiên là \(\left[ {40;45} \right)\) có đầu mút trái là \(40\).

Nhóm cuối cùng là \(\left[ {60;65} \right)\) có đầu mút phải là \(65\).

Khoảng biến thiên là: \(R = 65 - 40 = 25\).

Chọn A.

Quan sát đồ thị hàm số trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\):

Điểm cao nhất của đồ thị là điểm có tọa độ \(\left( { - 1;2} \right)\), do đó giá trị lớn nhất \(M = 2\).

Điểm thấp nhất của đồ thị là điểm có tọa độ \(\left( {2; - 4} \right)\), do đó giá trị nhỏ nhất \(m = - 4\).

Vậy tổng \(M + m = 2 + \left( { - 4} \right) = - 2\).

Chọn B.

Ta có bậc của tử số (bậc 1) nhỏ hơn bậc của mẫu số (bậc 2).

Do đó: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{5x - 2}}{{4{x^2} - 4}} = 0\quad {\rm{v\`a }}\quad \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{5x - 2}}{{4{x^2} - 4}} = 0\).

Vậy đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 0\).

Chọn B.

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).

Đạo hàm: \(y' = 3{x^2} - 6x\).

Cho \(y' = 0 \Leftrightarrow 3x\left( {x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 2}\end{array}} \right.\).

Lập bảng xét dấu đạo hàm, ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2\).

Khi \(x = 2\), giá trị cực tiểu tương ứng là \(y\left( 2 \right) = {2^3} - 3 \cdot {2^2} + 2 = 8 - 12 + 2 = - 2\).

Vậy tọa độ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là \(\left( {2; - 2} \right)\).

Chọn B.

Độ lệch chuẩn \(s\) là căn bậc hai số học của phương sai \({s^2}\).

Ta có: \(s = \sqrt {{s^2}} = \sqrt {36} = 6\).

Chọn A.

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy:

Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = - 1\) với giá trị cực đại \(y = 2\).

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x = 1\) với giá trị cực tiểu \(y = - 2\).

Khi \(x \to + \infty \) thì \(y \to + \infty \), đồ thị đi lên từ trái sang phải ở nhánh cuối.

Quan sát các hình vẽ:

Hình I: Đồ thị đi qua điểm cực đại \(\left( { - 1;2} \right)\) và điểm cực tiểu \(\left( {1; - 2} \right)\). Đồng thời đi qua gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\). Đồ thị này hoàn toàn khớp với bảng biến thiên.

Chọn A.

Để hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) trước hết tập xác định của nó phải là \(\mathbb{R}\). Loại đáp án C vì có tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

Loại đáp án D vì đây là hàm bậc bốn trùng phương, luôn có cả khoảng đồng biến và nghịch biến.

Xét đáp án B: \(y = {x^3} - {x^2} + 12x - 9\).

Đạo hàm: \(y' = 3{x^2} - 2x + 12\).

Biệt thức \({\rm{\Delta '}} = {\left( { - 1} \right)^2} - 3 \cdot 12 = 1 - 36 = - 35 < 0\).

Vì \({\rm{\Delta '}} < 0\) và hệ số \(a = 3 > 0\) nên \(y' > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

Vậy hàm số này đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Chọn B.

Dựa vào bảng biến thiên, đồ thị hàm số có:

Đường tiệm cận đứng là \(x = 2 \Rightarrow \) Mẫu số phải có nghiệm \(x = 2 \Rightarrow \) Loại B và D.

Đường tiệm cận ngang là \(y = 2 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = 2\). Cả hai phương án A và C đều thỏa mãn điều này.

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định, nghĩa là đạo hàm \(y' < 0\).

Xét phương án A: \(y = \frac{{2x - 7}}{{x - 2}} \Rightarrow y' = \frac{{2 \cdot \left( { - 2} \right) - 1 \cdot \left( { - 7} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{3}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} > 0\) (Hàm số đồng biến \( \to \) Loại).

Xét phương án C: \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 2}} \Rightarrow y' = \frac{{2 \cdot \left( { - 2} \right) - 1 \cdot 1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{ - 5}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0\) (Hàm số nghịch biến \( \to \) Thỏa mãn).

Chọn C.

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Đạo hàm: \(y' = \frac{{\left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 1} \right) - 2 \cdot 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{1 - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0,\forall x \ne 1\).

Vì \(y' < 0\) trên các khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\) nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định này.

Lưu ý theo quy tắc kết luận tính đơn điệu, không dùng kí hiệu hợp \(\left( \cup \right)\) để liên kết các khoảng nghịch biến.

Chọn B.

a) Sai. Nhìn vào đồ thị, tại điểm \(x = 0\), đồ thị lõm xuống dưới và đổi dấu đạo hàm từ âm sang dương, hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x = 0\) và giá trị cực tiểu tương ứng \(y = 1\).

b) Đúng. Trên đồ thị ta thấy giao điểm với trục tung \(Oy\) nằm tại vị trí có tung độ bằng \(1\), nên tọa độ là \(\left( {0;1} \right)\).

c) Sai. Trong khoảng từ \( - \infty \) đến \( - 1\), đồ thị hàm số vừa đi lên vừa đi xuống nên không thể đồng biến trên khoảng này.

d) Sai. Dựa vào đồ thị, ta xác định được các điểm đặc biệt sau:

• Đồ thị đi qua điểm \(\left( {0;1} \right)\) và đây đồng thời là điểm cực tiểu của hàm số.
  • Vì đi qua \(\left( {0;1} \right)\) nên \(f\left( 0 \right) = d = 1\).
  • Vì đạt cực trị tại \(x = 0\) nên \(f'\left( 0 \right) = c = 0\).
• Đồ thị đi qua điểm \(\left( { - 1;2} \right) \Rightarrow f\left( { - 1} \right) = 2 \Leftrightarrow - a + b + 1 = 2 \Leftrightarrow - a + b = 1\) (1).
• Đồ thị đi qua điểm \(\left( { - 2;1} \right) \Rightarrow f\left( { - 2} \right) = 1 \Leftrightarrow - 8a + 4b + 1 = 1 \Leftrightarrow - 8a + 4b = 0\) (2).

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} - a + b = 1\\ - 8a + 4b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\end{array} \right.\).

Vậy hàm số cụ thể là: \(y = {x^3} + 2{x^2} + 1\).

Thay các hệ số vừa tìm được (\(a = 1,b = 2,c = 0\)) vào biểu thức: \(2a + 3b + c = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 0 = 8 \ne 9\).

Theo bài ra ta xác định được \(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {2;0;0} \right)\), \(D\left( {0;4;0} \right)\), \(A'\left( {0;0;2} \right)\).

a) Sai. Theo quy tắc hình bình hành áp dụng cho hình chữ nhật \(ABCD\) ở đáy, ta có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \). Do đó khẳng định bằng \(2\overrightarrow {AC} \) là sai.

b) Đúng. Đây chính là quy tắc hình hộp trong hình học không gian.

c) Đúng. Tọa độ các đỉnh: \(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {2;0;0} \right)\), \(D\left( {0;4;0} \right) \Rightarrow C\left( {2;4;0} \right)\).

\(A'\left( {0;0;2} \right) \Rightarrow C'\left( {2;4;2} \right)\).

\(E\) là tâm đáy \(ABCD\) (trung điểm \(AC\)) \( \Rightarrow E\left( {1;2;0} \right)\).

\(F\) là trung điểm \(AC' \Rightarrow F\left( {1;2;1} \right)\).

Tọa độ vectơ \(\overrightarrow {EF} = \left( {1 - 1;2 - 2;1 - 0} \right) = \left( {0;0;1} \right)\).

d) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {AC} = \left( {2;4;0} \right) \Rightarrow 2\overrightarrow {AC} = \left( {4;8;0} \right)\).

Điểm \(B'\left( {2;0;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB'} = \left( {2;0;2} \right) \Rightarrow 3\overrightarrow {AB'} = \left( {6;0;6} \right)\).

Suy ra \(\vec u = 2\overrightarrow {AC} - 3\overrightarrow {AB'} = \left( {4 - 6;8 - 0;0 - 6} \right) = \left( { - 2;8; - 6} \right)\).

Độ dài của \(\vec u\) là: \(\left| {\vec u} \right| = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {8^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} = \sqrt {4 + 64 + 36} = \sqrt {104} = 2\sqrt {26} \).

Cách 1. Thực hiện chia đa thức \(y\) cho \(y'\) để tìm phần dư:

Ta có \(y' = 3{x^2} - 6x\).

Lại có \({x^3} - 3{x^2} + 1 = \left( {\frac{1}{3}x - \frac{1}{3}} \right)\left( {3{x^2} - 6x} \right) - 2x + 1\).

Phần dư của phép chia chính là phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị: \(y = - 2x + 1\).

Suy ra \(a = - 2\) và \(b = 1\).

Giá trị của tổng cần tìm là: \(2a + b = 2 \cdot \left( { - 2} \right) + 1 = - 3\).

Cách 2. Tìm hai điểm cực trị và lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó:

Ta có \(y' = 3{x^2} - 6x\).

Cho \(y' = 3{x^2} - 6x = 0\), suy ra \[x = 0\] hoặc \[x = 2\].

Lập bảng xét dấu ta thấy \[x = 0\] là điểm cực đại và \[x = 2\] là điểm cực tiểu của hàm số.

Ta có \[y\left( 0 \right) = 1\] và \[y\left( 2 \right) = - 3\] nên hai điểm dực trị của đồ thị hàm số là \[\left( {0;1} \right)\] và \[\left( {2; - 3} \right)\].

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là \(y = - 2x + 1\).

Suy ra \(a = - 2\) và \(b = 1\).

Giá trị của tổng cần tìm là: \(2a + b = 2 \cdot \left( { - 2} \right) + 1 = - 3\).

Đáp số: −3.

Vì \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AD\) và \(SD\) nên \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(SAD\).

Do đó \(\overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AS} \).

Tích vô hướng cần tính: \(\overrightarrow {MN} \cdot \overrightarrow {SC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AS} \cdot \overrightarrow {SC} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {SA} \cdot \overrightarrow {SC} \).

Ta có công thức: \(\overrightarrow {SA} \cdot \overrightarrow {SC} = SA \cdot SC \cdot \cos \widehat {ASC} = SA \cdot SC \cdot \frac{{S{A^2} + S{C^2} - A{C^2}}}{{2SA \cdot SC}} = \frac{{S{A^2} + S{C^2} - A{C^2}}}{2}\).

Biết rằng \(SA = SC = a\). Đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\) nên đường chéo \(AC = a\sqrt 2 \).

Thay vào ta được: \(\overrightarrow {SA} \cdot \overrightarrow {SC} = \frac{{{a^2} + {a^2} - {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}}{2} = \frac{{2{a^2} - 2{a^2}}}{2} = 0\).

Vậy \(\overrightarrow {MN} \cdot \overrightarrow {SC} = 0\).

Đáp số: 0.

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) trùng với góc tường của căn phòng, trong đó mặt phẳng \(Oxy\) là mặt đất, hai trục \(Ox,Oy\) nằm trên giao tuyến của hai bức tường với mặt đất, trục \(Oz\) hướng lên trên.

Tọa độ của chiếc đèn thứ nhất là: \({M_1}\left( {1;1;2} \right)\).

Tọa độ của chiếc đèn thứ hai là: \({M_2}\left( {2;2;3} \right)\).

Khoảng cách giữa hai chiếc đèn là độ dài đoạn thẳng \({M_1}{M_2}\):

\({M_1}{M_2} = \sqrt {{{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( {3 - 2} \right)}^2}} = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} = \sqrt 3 \approx 1,73{\rm{\;m}}\).

Đáp số: 1,73.

Tần số lớn nhất trong bảng số liệu là \(8\), tương ứng với nhóm \(\left[ {16;17} \right)\). Do đó nhóm chứa mốt là \(\left[ {16;17} \right)\). Suy ra \(a = 16\) và \(b = 17\).

Khoảng biến thiên \(R\) của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu số giữa đầu mút phải lớn nhất và đầu mút trái nhỏ nhất: \(R = 19 - 14 = 5\).

Tổng cần tìm: \(a + b + R = 16 + 17 + 5 = 38\).

Đáp số: 38.

Cách 1. Dùng đạo hàm

Đặt \(A'M = x\) (m). Suy ra \(B'M = A'B' - A'M = 2200 - x\) (m) với \(0 < x < 2200\).

Áp dụng định lí Pythagore ta tính được:

\(AM = \sqrt {A{{A'}^2} + A'{M^2}} = \sqrt {{{500}^2} + {x^2}} {\rm{\;;\;}}BM = \sqrt {B{{B'}^2} + B'{M^2}} = \sqrt {{{600}^2} + {{\left( {2200 - x} \right)}^2}} \).

Tổng khoảng cách từ hai vị trí A, B đến vị trí M là

\(D = AM + BM = \sqrt {{{500}^2} + {x^2}} + \sqrt {{{600}^2} + {{\left( {2200 - x} \right)}^2}} \).

Xét hàm số \(D\left( x \right) = \sqrt {{{500}^2} + {x^2}} + \sqrt {{{600}^2} + {{\left( {2200 - x} \right)}^2}} \) với \(0 < x < 2200\)

\( \Rightarrow D'\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {{{500}^2} + {x^2}} }} + \frac{{x - 2200}}{{\sqrt {{{600}^2} + {{\left( {2200 - x} \right)}^2}} }}\).

Do đó \(D'\left( x \right) = 0 \Rightarrow \frac{x}{{\sqrt {{{500}^2} + {x^2}} }} + \frac{{x - 2200}}{{\sqrt {{{600}^2} + {{\left( {2200 - x} \right)}^2}} }} = 0 \Leftrightarrow x = 1000\).

Bảng biến thiên của hàm số \(D\left( x \right)\) như sau:

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta thấy \(D\left( x \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(1100\sqrt 5 \) tại \(x = 1000\).

Suy ra giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách cần tìm là \(1100\sqrt 5 \) m.

Cách 2. Sử dụng phương pháp hình học (Phản chiếu đối xứng)

Lấy điểm \(A''\) đối xứng với \(A\) qua đường thẳng \(A'B'\) (bờ sông). Khi đó \(AA'' \bot A'B'\) tại \(A'\) và \(A'A'' = A'A = 500{\rm{\;m}}\).

Với mọi điểm \(M\) thuộc đoạn \(A'B'\), ta luôn có \(AM = A''M\) (do tính chất đối xứng).

Do đó, tổng khoảng cách: \(D = AM + BM = A''M + BM\).

Theo bất đẳng thức tam giác, ta có \(A''M + BM \ge A''B\).

Dấu "\( = \)" xảy ra khi và chỉ khi ba điểm \(A'',M,B\) thẳng hàng. Tức là \(M\) là giao điểm của đoạn thẳng \(A''B\) với bờ sông \(A'B'\).

Khi đó, giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách chính là độ dài đoạn thẳng \(A''B\).

Dựng hình chữ nhật \(A''A'B'H\).

Ta có: \(A''H = A'B' = 2200{\rm{\;m}}\); \(BH = BB' + B'H = BB' + A'A'' = 600 + 500 = 1100{\rm{\;m}}\).

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \(A''HB\):

\(A''B = \sqrt {A''{H^2} + B{H^2}} = \sqrt {{{2200}^2} + {{1100}^2}} = \sqrt {4840000 + 1210000} = \sqrt {6050000} = 1100\sqrt 5 {\rm{\;m}}\).

Tổng số học sinh là: \(n = 6 + 10 + 14 + 5 + 5 = 40\).

Giá trị đại điện (\({x_i}\)) của các nhóm lần lượt là:

\({x_1} = 152,5;\quad {x_2} = 157,5;\quad {x_3} = 162,5;\quad {x_4} = 167,5;\quad {x_5} = 172,5\).

Số trung bình cộng \(\bar x\) của mẫu số liệu ghép nhóm:

\(\bar x = \frac{{6 \cdot 152,5 + 10 \cdot 157,5 + 14 \cdot 162,5 + 5 \cdot 167,5 + 5 \cdot 172,5}}{{40}} = 161,625\,\,{\rm{cm}}\).

Công thức tính phương sai (\({s^2}\)):

\[\begin{array}{l}{s^2} = \frac{1}{{40}}\left[ {6 \cdot {{\left( {152,5 - 161,625} \right)}^2} + 10 \cdot {{\left( {157,5 - 161,625} \right)}^2} + 14 \cdot {{\left( {162,5 - 161,625} \right)}^2}} \right.\\\left. {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + 5 \cdot {{\left( {167,5 - 161,625} \right)}^2} + 5 \cdot {{\left( {172,5 - 161,625} \right)}^2}} \right] \approx 36,11.\end{array}\]

Độ lệch chuẩn là: \(s \approx \sqrt {36,11} \approx 6,009{\rm{\;cm}}\).

Tọa độ điểm \(A\): Điểm \(A\) nằm hoàn toàn trên trục cao \(Oz\) và cách gốc tọa độ \(O\) một đoạn bằng \(10{\rm{\;m}}\). Do đó tọa độ điểm \(A\) là \(A\left( {0;0;10} \right)\).

Tọa độ điểm \(B\): Điểm \(B\) nằm trong mặt phẳng hình chiếu đáy \(Oxy\).

Xác định hình chiếu vuông góc của \(B\) lên các trục tọa độ: Độ dài đoạn \(OB = 15{\rm{\;m}}\), \(\widehat {BOy} = 30^\circ \), khi đó

\({x_B} = OB \cdot \sin 30^\circ = 15 \cdot \frac{1}{2} = 7,5\); \({y_B} = OB \cdot \cos 30^\circ = \frac{{15\sqrt 3 }}{2}\).

Vì điểm \(B\) nằm trên mặt phẳng \(Oxy\) nên cao độ \({z_B} = 0\).

Vậy tọa độ của điểm \(B\) là \(B\left( {7,5;\frac{{15\sqrt 3 }}{2};0} \right)\).

Tính độ dài sợi dây cáp \(AB\):

Ta áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông \(AOB\) (vuông tại \(O\) vì trục \(Oz \bot \) mặt phẳng \(Oxy\)):

\(AB = \sqrt {O{A^2} + O{B^2}} = \sqrt {{{10}^2} + {{15}^2}} = \sqrt {100 + 225} = \sqrt {325} = 5\sqrt {13} {\rm{\;m}}\).

Vậy độ dài sợi cáp \(AB\) là \(5\sqrt {13} {\rm{\;m}}\).