Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Phùng Khắc Khoan (Thạch Thất-Hà Nội) có đáp án (mã đề 123)
21 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi, học sinh chỉ chọn một phương án.
Hàm số nào sau đây đồng biến trên \(\mathbb{R}\)?
\(y = {x^3} - 3{x^2} - 1\).
\(y = {x^3} - {x^2} + 6x - 1\).
\(y = \frac{{x - 2}}{{x + 1}}\).
\(y = {x^4} + 2{x^2} - 1\).
Xét hàm số ở đáp án B: \(y = {x^3} - {x^2} + 6x - 1\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
Đạo hàm: \(y' = 3{x^2} - 2x + 6\).
Tam thức bậc hai \(y'\) có \({\rm{\Delta '}} = {\left( { - 1} \right)^2} - 3 \cdot 6 = - 17 < 0\) và hệ số \(a = 3 > 0\).
Do đó, \(y' > 0,\forall x \in \mathbb{R}\), suy ra hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Chọn B.
Cho hàm số \(y = \frac{{ - x + 2}}{{x - 1}}\), khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\).
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).
Đạo hàm: \(y' = \frac{{\left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 1} \right) - 2 \cdot 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0,\forall x \ne 1\).
Vì \(y' < 0\) trên các khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\) nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng này.
Chọn B.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 6x\) trên \(\left[ { - 1;4} \right]\) là
\( - 4\sqrt 2 \).
\( - 5\).
\(5\).
\(40\).
Đạo hàm: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6\).
Cho \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 2 \). Vì xét trên \(\left[ { - 1;4} \right]\), ta nhận nghiệm \(x = \sqrt 2 \).
Tính các giá trị: \(f\left( { - 1} \right) = 5\), \(f\left( 4 \right) = 40\), \(f\left( {\sqrt 2 } \right) = - 4\sqrt 2 \).
So sánh các giá trị trên, ta được giá trị nhỏ nhất của hàm số là \( - 4\sqrt 2 \).
Chọn A.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\) và có đồ thị như hình vẽ bên dưới.
![Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [- 1;3] và có đồ thị như hình vẽ bên dưới.Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/images/1783786550/image1.png)
Gọi \(M\) và \(m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\). Khi đó, tổng \(M + m\) bằng
\( - 6\).
\( - 2\).
\( - 5\).
\(2\).
Dựa vào đồ thị hàm số trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\), điểm cao nhất của đồ thị là \(\left( { - 1;2} \right)\) ứng với giá trị lớn nhất là \(M = 2\).
Điểm thấp nhất của đồ thị là \(\left( {2; - 4} \right)\) ứng với giá trị nhỏ nhất \(m = - 4\).
Vậy tổng \(M + m = 2 + \left( { - 4} \right) = - 2\).
Chọn B.
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{{x^2} - 4}}\) có đường tiệm cận ngang là:
\(y = 2\).
\(y = 0\).
\(y = 1\).
\(y = - 2\).
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x - 2}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{x + 2}} = 0\).
Tương tự: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x - 2}}{{{x^2} - 4}} = 0\).
Do đó, đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng \(y = 0\).
Chọn B.
Hàm số nào sau đây có bảng biến thiên như hình dưới đây?
\(y = \frac{{2x - 7}}{{x - 2}}\).
\(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 2}}\).
\(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 2}}\).
\(y = \frac{{1 - 2x}}{{x - 2}}\).
Dựa vào bảng biến thiên, đồ thị có tiệm cận đứng là \(x = 2\) và tiệm cận ngang là \(y = 2\).
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định nên đạo hàm phải mang dấu âm (\(y' < 0\)).
Xét hàm số ở đáp án C: \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 2}}\) có \(y' = \frac{{2 \cdot \left( { - 2} \right) - 1 \cdot 1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{ - 5}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0,\forall x \ne 2\), thỏa mãn hoàn toàn bảng biến thiên.
Chọn C.
Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\). Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số có tọa độ là
\(\left( {2;2} \right)\).
\(\left( {2; - 2} \right)\).
\(\left( {0; - 2} \right)\).
\(\left( {0;2} \right)\).
Đạo hàm: \(y' = 3{x^2} - 6x\). Cho \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 2\).
Lập bảng xét dấu đạo hàm, ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x = 2\).
Thay vào hàm số ban đầu: \(y\left( 2 \right) = {2^3} - 3 \cdot {2^2} + 2 = - 2\).
Tọa độ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là \(\left( {2; - 2} \right)\).
Chọn B.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có bảng biến thiên sau:
Đồ thị nào thể hiện hàm số \(y = f\left( x \right)\)?
I.
II.
III.
IV.
Từ bảng biến thiên, hàm số đạt cực đại tại \(\left( { - 1;2} \right)\) và cực tiểu tại \(\left( {1; - 2} \right)\), đồ thị đi qua gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\) và nét cuối đi lên vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \).
Quan sát đồ thị hình I, đồ thị này đi qua đầy đủ các điểm cực trị nêu trên và có hình dáng phù hợp với đồ thị hàm bậc ba hệ số \(a > 0\).
Chọn A.
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho \(\vec a = - \vec i + 2\vec j - 3\vec k\). Tọa độ của \(\vec a\) là
\(\left( { - 2; - 1; - 3} \right)\).
\(\left( { - 3;2; - 1} \right)\).
\(\left( {2; - 3; - 1} \right)\).
\(\left( { - 1;2; - 3} \right)\).
Tọa độ của vectơ \(\vec a\) tương ứng với các hệ số đứng trước các vectơ đơn vị \(\vec i,\vec j,\vec k\).
Do \(\vec a = - 1\vec i + 2\vec j - 3\vec k\) nên \(\vec a = \left( { - 1;2; - 3} \right)\).
Chọn D.
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\) cho hai vectơ \(\vec a = \left( {1;1; - 2} \right),\) \(\vec b = \left( { - 2;1;4} \right)\). Tìm tọa độ của vectơ \(\vec u = \vec a - 2\vec b\).
\(\left( {5; - 1; - 10} \right)\).
\(\left( {0;3;0} \right)\).
\(\left( { - 3;3;6} \right)\).
\(\left( {5; - 1;10} \right)\).
Ta có \(2\vec b = \left( { - 4;2;8} \right)\).
Khi đó: \(\vec u = \vec a - 2\vec b = \left( {1 - \left( { - 4} \right);1 - 2; - 2 - 8} \right) = \left( {5; - 1; - 10} \right)\).
Chọn A.
Thầy Thảo thống kê lại đường kính thân gỗ của một số cây xoan đào 6 năm tuổi được trồng ở một lâm trường ở bảng sau.
Hãy tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
\(25\).
\(30\).
\(6\).
\(69,8\).
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm bằng giá trị mút phải của nhóm cuối cùng trừ đi giá trị mút trái của nhóm đầu tiên.
Giá trị mút phải nhóm cuối cùng là \(65\), giá trị mút trái nhóm đầu tiên là \(40\).
Khoảng biến thiên \(R = 65 - 40 = 25\).
Chọn A.
Phương sai của một mẫu số liệu ghép nhóm là \(25\) thì độ lệch chuẩn của mẫu là:
\(5\).
\(25\).
\(625\).
\(50\).
Độ lệch chuẩn \(s\) bằng căn bậc hai số học của phương sai \({s^2}\).
Ta có \(s = \sqrt {25} = 5\).
Chọn A.
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, học sinh chọn Đúng hoặc Sai.
Cho hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\) có đồ thị là \(\left( C \right)\).
Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).
Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng \(x = 1\); đường tiệm cận ngang \(y = 2\).
Hàm số có 2 điểm cực trị, 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu.
Các đường tiệm cận của đồ thị hàm số tạo với hai trục toạ độ một hình chữ nhật có diện tích bằng \(3\).
a) ĐÚNG. Điều kiện xác định là \(x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1\) nên tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).
b) ĐÚNG. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} y = \infty \Rightarrow x = 1\) là TCĐ; \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = 2 \Rightarrow y = 2\) là TCN.
c) SAI. Đạo hàm \(y' = \frac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0,\forall x \ne 1\), hàm số bậc nhất trên bậc nhất không bao giờ có cực trị.
d) SAI. Các đường tiệm cận tạo với 2 trục tọa độ một hình chữ nhật giới hạn bởi các đoạn từ gốc \(O\left( {0;0} \right)\) đến \(x = 1\) và \(y = 2\). Diện tích hình chữ nhật là \(S = 1 \cdot 2 = 2\).
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có chiều cao bằng 5 và độ dài các cạnh đáy bằng 4. Lập hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O trùng với tâm hình vuông ABCD, tia Ox chứa A, tia Oy chứa B và tia Oz chứa S.
\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \vec 0\).
\(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = - 4\overrightarrow {SO} \).
Tọa độ đỉnh \(A\left( {2\sqrt 2 ;0;0} \right)\).
Tọa độ \(\vec u = \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {OS} = \left( {a;b;c} \right)\), khi đó \(a + b + c = 10\).
a) ĐÚNG. Do \(O\) là tâm hình vuông nên \(O\) là trung điểm của \(AC\) và \(BD\), theo tính chất trung điểm ta có \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \vec 0\) và \(\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} = \vec 0\).
b) SAI. Ta có \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = \left( {\overrightarrow {SO} + \overrightarrow {OA} } \right) + \left( {\overrightarrow {SO} + \overrightarrow {OB} } \right) + \left( {\overrightarrow {SO} + \overrightarrow {OC} } \right) + \left( {\overrightarrow {SO} + \overrightarrow {OD} } \right) = 4\overrightarrow {SO} + \vec 0 = 4\overrightarrow {SO} \).
Do đó biểu thức phải bằng \(4\overrightarrow {SO} \).
c) ĐÚNG. Cạnh hình vuông bằng \(4 \Rightarrow \) Đường chéo \(AC = 4\sqrt 2 \Rightarrow OA = 2\sqrt 2 \). Vì \(A\) thuộc tia \(Ox\) nên \(A\left( {2\sqrt 2 ;0;0} \right)\).
d) ĐÚNG. Vì \(B\) nằm trên tia \(Oy\) nên \(B\left( {0;2\sqrt 2 ;0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( { - 2\sqrt 2 ;2\sqrt 2 ;0} \right)\). Chiều cao \(SO = 5\), điểm \(S\) thuộc tia \(Oz\) nên \(S\left( {0;0;5} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OS} = \left( {0;0;5} \right) \Rightarrow 2\overrightarrow {OS} = \left( {0;0;10} \right)\). Suy ra \(\vec u = \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {OS} = \left( { - 2\sqrt 2 ;2\sqrt 2 ;10} \right)\). Do đó \(a = - 2\sqrt 2 ,b = 2\sqrt 2 ,c = 10 \Rightarrow a + b + c = 10\).
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4.
Tổng giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 4x + 7}}{{x + 1}}\) là bao nhiêu?
Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\). Ta có \(y = x + 3 + \frac{4}{{x + 1}} \Rightarrow y' = 1 - \frac{4}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\).
Cho \(y' = 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow x = 1\) hoặc \(x = - 3\).
Giá trị cực trị tương ứng: \(y\left( 1 \right) = 6\) và \(y\left( { - 3} \right) = - 2\). Tổng cần tìm là \(6 + \left( { - 2} \right) = 4\).
Đáp số: 4.
Cho chóp \(S.ABC\) có \(SA = SB = SC\) và \(\widehat {ASB} = \widehat {BSC} = \widehat {CSA}\), giá trị của tích vô hướng \(\overrightarrow {SA} \cdot \overrightarrow {BC} \) bằng bao nhiêu?
Ta phân tích vectơ \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SB} \).
Khi đó: \(\overrightarrow {SA} \cdot \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {SA} \cdot \left( {\overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SB} } \right) = \overrightarrow {SA} \cdot \overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SA} \cdot \overrightarrow {SB} = SA \cdot SC \cdot \cos \widehat {CSA} - SA \cdot SB \cdot \cos \widehat {ASB}\).
Do \(SB = SC\) và \(\widehat {CSA} = \widehat {ASB}\) nên hai số hạng bằng nhau, hiệu số bằng \(0\).
Đáp số: 0.
Trong không gian với một hệ trục toạ độ cho trước (đơn vị đo lấy theo kilômét), ra đa phát hiện một chiếc máy bay di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm \(A\left( {800;500;7} \right)\) đến điểm \(B\left( {940;550;9} \right)\) trong \(10\) phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì toạ độ của máy bay sau \(5\) phút tiếp theo là \(C\left( {x;y;z} \right)\). Tính \(x + y + z\).
Vectơ dịch chuyển trong 10 phút đầu là \(\overrightarrow {AB} = \left( {140;50;2} \right)\). Trong 5 phút tiếp theo, vì vận tốc và hướng không đổi nên máy bay dịch chuyển một vectơ \(\overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \left( {70;25;1} \right)\).
Toạ độ điểm \(C\) là: \(C\left( {940 + 70;550 + 25;9 + 1} \right) = C\left( {1010;575;10} \right)\).
Tổng \(x + y + z = 1010 + 575 + 10 = 1595\).
Đáp số: 1595.
Một vườn thú ghi lại tuổi thọ (đơn vị: năm) của \(20\) con hổ và thu được kết quả như sau:
Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là \(\left[ {a;b} \right)\). Tổng giá trị của \(a + b\) là bao nhiêu?
Vị trí của tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) trong mẫu số liệu là \(\frac{N}{4} = \frac{{20}}{4} = 5\).
Tần số tích lũy cộng dồn các nhóm lần lượt là: Nhóm 1 bằng \(1\), nhóm 2 bằng \(1 + 3 = 4\), nhóm 3 bằng \(4 + 8 = 12\). Do vị trí số 5 nằm trong khoảng tích lũy từ 4 đến 12 nên tứ phân vị thứ nhất nằm ở nhóm 3 là nhóm \(\left[ {16;17} \right)\).
Suy ra \(a = 16,b = 17 \Rightarrow a + b = 33\).
Đáp số: 33.
PHẦN IV. Tự luận. Học sinh trình bày tự luận từ câu 1 đến câu 3.
Hình vẽ dưới mô tả một cái ao hình \(ABCDE\), ở giữa ao có một mảnh vườn hình tròn có bán kính \(15\) mét. Biết rằng:
1. Hai bờ \(AE\) và \(BC\) nằm trên hai đường thẳng vuông góc với nhau, hai đường thẳng này cắt nhau tại điểm \(O\).
2. Bờ \(AB\) là một phần của parabol có đỉnh \(A\) và có trục đối xứng là đường thẳng \(OA\).
3. Độ dài \(OA = 40{\rm{\;m}}\), \(OB = 20{\rm{\;m}}\).
4. Tâm \(I\) của mảnh vườn lần lượt cách đường thẳng \(AE\) và \(BC\) là \(40{\rm{\;m}}\) và \(30{\rm{\;m}}\).
Người ta muốn bắc một cây cầu từ bờ \(AB\) của ao đến vườn. Tìm độ dài ngắn nhất của cây cầu đó.
Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho gốc tọa độ tại \(O\), tia \(OB\) trùng với tia \(Ox\) và tia \(OA\) trùng với tia \(Oy\).
Khi đó các điểm có tọa độ: \(A\left( {0;40} \right)\), \(B\left( {20;0} \right)\) và tâm hình tròn vườn là \(I\left( {40;30} \right)\).
Parabol có đỉnh \(A\left( {0;40} \right)\) và trục đối xứng là \(Oy\) nên có phương trình dạng: \(y = a{x^2} + 40\). Vì parabol đi qua điểm \(B\left( {20;0} \right)\) nên: \(0 = a \cdot {20^2} + 40 \Rightarrow 400a = - 40 \Rightarrow a = - 0,1\).
Do đó, phương trình cung parabol \(AB\) là: \(y = - 0,1{x^2} + 40\) với \(x \in \left[ {0;20} \right]\).
Gọi \(M\left( {x;y} \right)\) là một điểm bất kỳ nằm trên cung \(AB\). Khoảng cách từ tâm \(I\) tới điểm \(M\) tuân theo hệ thức:
\(I{M^2} = {\left( {x - 40} \right)^2} + {\left( {y - 30} \right)^2} = {\left( {x - 40} \right)^2} + {\left( { - 0,1{x^2} + 40 - 30} \right)^2}\)\( = 0,01{x^4} - {x^2} - 80x + 1700\).
Xét hàm số \(f\left( x \right) = 0,01{x^4} - {x^2} - 80x + 1700\) trên đoạn \(\left[ {0;20} \right]\). Đạo hàm: \(f'\left( x \right) = 0,04{x^3} - 2x - 80\).
Giải phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) trên \(\left[ {0;20} \right]\) thu được nghiệm \(x \approx 13,92\).
Ta có bảng biến thiên:
Thay vào tính khoảng cách ta được \(I{M_{min}} \approx 27,71{\rm{\;m}}\).
Khoảng cách ngắn nhất từ bờ \(AB\) đến rìa khu vườn hình tròn là: \(d = I{M_{min}} - R = 27,71 - 15 = 12,71{\rm{\;m\'e t}}\).
Trên phần mềm mô phỏng việc điều khiển drone giao hàng trong không gian \(Oxyz\), một đội gồm ba drone giao hàng \(A,B,C\) đang có toạ độ là \(A\left( {1;1;1} \right)\), \(B\left( {5;7;9} \right)\), \(C\left( {9;11;4} \right)\). Gọi \({d_1}\), \({d_2}\), \({d_3}\) lần lượt là khoảng cách giữa mỗi cặp drone giao hàng trên. Tính \({d_1} + {d_2} + {d_3}\).
Áp dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng trong không gian \(Oxyz\):
\({d_1} = AB = \sqrt {{{\left( {5 - 1} \right)}^2} + {{\left( {7 - 1} \right)}^2} + {{\left( {9 - 1} \right)}^2}} = \sqrt {16 + 36 + 64} = \sqrt {116} = 2\sqrt {29} \)
\({d_2} = BC = \sqrt {{{\left( {9 - 5} \right)}^2} + {{\left( {11 - 7} \right)}^2} + {{\left( {4 - 9} \right)}^2}} = \sqrt {16 + 16 + 25} = \sqrt {57} \)
\({d_3} = CA = \sqrt {{{\left( {1 - 9} \right)}^2} + {{\left( {1 - 11} \right)}^2} + {{\left( {1 - 4} \right)}^2}} = \sqrt {64 + 100 + 9} = \sqrt {173} \)
Tổng khoảng cách giữa các cặp drone: \({d_1} + {d_2} + {d_3} = \sqrt {116} + \sqrt {57} + \sqrt {173} \approx 31,47\).
Bảng dưới đây thống kê cự li ném tạ của một vận động viên.
Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
Tổng tần số của mẫu số liệu là \(N = 13 + 45 + 24 + 12 + 6 = 100\).
Xác định các giá trị đại diện của từng nhóm lần lượt là: \({x_1} = 19,25\); \({x_2} = 19,75\); \({x_3} = 20,25\); \({x_4} = 20,75\); \({x_5} = 21,25\).
Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm:
\(\bar x = \frac{{13 \cdot 19,25 + 45 \cdot 19,75 + 24 \cdot 20,25 + 12 \cdot 20,75 + 6 \cdot 21,25}}{{100}} = 20,015{\rm{\;m}}\).
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm:
\({s^2} = \frac{1}{{100}}\left[ {13 \cdot {{\left( {19,25} \right)}^2} + 45 \cdot {{\left( {19,75} \right)}^2} + 24 \cdot {{\left( {20,25} \right)}^2} + 12 \cdot {{\left( {20,75} \right)}^2} + 6 \cdot {{\left( {21,25} \right)}^2}} \right] - {\left( {20,015} \right)^2}\)\( \approx 0,28\).
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm: \(s = \sqrt {{s^2}} \approx 0,53{\rm{\;m}}\).
