Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Phạm Hồng Thái (Hà Nội) có đáp án

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đạo hàm \(f'\left( x \right)\) đổi dấu từ dương \(\left( + \right)\) sang âm \(\left( - \right)\) khi qua điểm \(x = 0\).

Do đó, hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = 0\) và giá trị cực đại của hàm số là .

Đạo hàm \(f'\left( x \right)\) đổi dấu từ âm \(\left( - \right)\) sang dương \(\left( + \right)\) khi qua điểm \(x = 2\), nên hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x = 2\) và giá trị cực tiểu là \({y_{CT}} = f\left( 2 \right) = 1\).

Vậy mệnh đề đúng là A.

Chọn A.

Xét phương trình đạo hàm: \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {{e^x} - 1} \right)\left( {{x^2} - x} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{e^x} - 1 = 0}\\{{x^2} - x = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 0}\\{x = 1}\end{array}} \right.\).

Ta thấy \(x = 0\) là nghiệm kép (xuất hiện 2 lần từ cả hai nhân tử), do đó qua điểm \(x = 0\) thì \(f'\left( x \right)\) không đổi dấu.

Nghiệm \(x = 1\) là nghiệm đơn, nên qua điểm \(x = 1\) thì \(f'\left( x \right)\) đổi dấu.

Vậy hàm số chỉ có 1 điểm cực trị tại \(x = 1\).

Chọn A.

Vectơ dịch chuyển của máy bay trong 10 phút đầu tiên từ \(A\) đến \(B\) là:

\(\overrightarrow {AB} = \left( {940 - 800;550 - 500;8 - 7} \right) = \left( {140;50;1} \right)\).

Vì máy bay giữ nguyên vận tốc và hướng bay, nên trong 5 phút tiếp theo (bằng \(\frac{1}{2}\) thời gian ban đầu), vectơ dịch chuyển từ vị trí \(B\) đến vị trí mới \(C\) sẽ bằng một nửa vectơ \(\overrightarrow {AB} \):

\(\overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \left( {\frac{{140}}{2};\frac{{50}}{2};\frac{1}{2}} \right) = \left( {70;25;0,5} \right)\).

Toạ độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là tọa độ của điểm \(C\): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_C} = {x_B} + 70 = 940 + 70 = 1010}\\{{y_C} = {y_B} + 25 = 550 + 25 = 575}\\{{z_C} = {z_B} + 0,5 = 8 + 0,5 = 8,5}\end{array}} \right.\).

Do đó \(C\left( {1010;575;8,5} \right)\).

Chọn C.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm bằng hiệu số giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên.

• Đầu mút trái của nhóm đầu tiên \(\left[ {75;80} \right)\) là \({x_{{\rm{min}}}} = 75\).
• Đầu mút phải của nhóm cuối cùng \(\left[ {95;100} \right)\) là \({x_{{\rm{max}}}} = 100\).

Khoảng biến thiên \(R\) là: \(R = {x_{{\rm{max}}}} - {x_{{\rm{min}}}} = 100 - 75 = 25{\rm{\;km/h}}\).

Chọn A.

Ta có tam giác \(ADC\) là tam giác đều cạnh \(2a\) (do \(ABCD\) là tứ diện đều). Do đó, \(\widehat {ADC} = 60^\circ \).

Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {DC} \) được xác định bằng cách đổi hướng vectơ:

\(\left( {\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {DC} } \right) = 180^\circ - \widehat {ADC} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).

Tích vô hướng của hai vectơ:

\(\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {DC} = AD \cdot DC \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {DC} } \right) = 2a \cdot 2a \cdot \cos 120^\circ = 4{a^2} \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) = - 2{a^2}\).

Chọn B.

Thực hiện phép chia tử cho mẫu của hàm số: \(y = \frac{{{x^2} + 4}}{x} = x + \frac{4}{x}\).

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{4}{x} = 0\).

Do đó, đường thẳng \(y = x\) là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Chọn C.

Quan sát đồ thị hàm số trên đoạn \(\left[ { - 2;4} \right]\), ta thấy:

Điểm thấp nhất của đồ thị trên đoạn này là điểm có tọa độ \(\left( {4; - 4} \right)\).

Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 2;4} \right]\) là \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;4} \right]} f\left( x \right) = - 4\).

Chọn D.

Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} \) được tính theo công thức:

\(\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A}} \right) = \left( {2 - 1;2 - 1;1 - \left( { - 2} \right)} \right) = \left( {1;1;3} \right)\).

Chọn B.

Ta tính giới hạn của hàm số khi \(x\) tiến ra vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{4x + 1}}{{x - 1}} = 4\).

Do đó, đường thẳng \(y = 4\) là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Chọn C.

Theo quy tắc hình hộp áp dụng cho 3 cạnh xuất phát từ chung một đỉnh \(A\) của hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\), ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'} \).

Chọn B.

Phân tích đồ thị hàm số bậc nhất trên bậc nhất:

• Đồ thị có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = 1\). Đối chiếu các phương án, mẫu số phải triệt tiêu tại \(x = 1 \Rightarrow \) loại C và D.
• Đồ thị có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 1\).
  • Xét phương án A: \(y = \frac{{2x - 1}}{{x - 1}}\) có tiệm cận ngang \(y = 2\) (Loại).
  • Xét phương án B: \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\) có tiệm cận ngang \(y = 1\) (Thỏa mãn).
• Kiểm tra các giao điểm: Đồ thị cắt trục hoành tại \(\left( { - 1;0} \right)\) và cắt trục tung tại \(\left( {0; - 1} \right)\), hoàn toàn trùng khớp với hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\).

Chọn B.

Vectơ đơn vị \(\vec j\) nằm trên trục tung \(Oy\) nên có tọa độ là \(\vec j = \left( {0;1;0} \right)\).

Áp dụng công thức tính góc giữa hai vectơ:

\(\cos \left( {\vec j,\vec a} \right) = \frac{{\vec j \cdot \vec a}}{{\left| {\vec j} \right| \cdot \left| {\vec a} \right|}} = \frac{{0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2} + {0^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2} + {0^2}} }} = \frac{1}{{1 \cdot \sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).

Do \(\cos \left( {\vec j,\vec a} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\), suy ra góc giữa hai vectơ bằng \(45^\circ \).

Chọn C.

a) Sai: Quan sát đồ thị, hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = 0\) (giá trị cực đại \(y = 2\)) và đạt cực tiểu tại điểm \(x = 2\) (giá trị cực tiểu \(y = - 2\)).

b) Đúng: Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = m\) chính là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng nằm ngang \(y = m\). Để phương trình có 3 nghiệm phân biệt thì đường thẳng \(y = m\) phải cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt, tức là: \( - 2 < m < 2\).

Vì \(m \in \mathbb{R}\) và \(m\) là số nguyên nên \(m \in \left\{ { - 1;0;1} \right\}\). Có tất cả 3 giá trị nguyên thỏa mãn.

c) Sai: Trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\), đồ thị hàm số đi xuống từ \(x = 0\) đến \(x = 2\) nên hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\). Do đó hàm số không thể đồng biến trên toàn bộ khoảng \(\left( { - 2;2} \right)\).

d) Sai: Đặt \(t = 2\sin x + 1\). Vì \( - 1 \le \sin x \le 1 \Rightarrow - 2 \le 2\sin x \le 2 \Rightarrow - 1 \le t \le 3\).

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( t \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\).

Dựa vào đồ thị hàm số:

Khi \(t \in \left[ { - 1;3} \right]\), điểm cực đại là \(\left( {0;2} \right)\) và tại biên \(t = 3\) đồ thị đi lên đạt giá trị \(f\left( 3 \right) = 2\) (theo đường nét đứt đối xứng trên đồ thị). Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là \(M = 2\).

Điểm cực tiểu trên đoạn là \(\left( {2; - 2} \right)\), tại biên \(t = - 1\) ta thấy giá trị \(f\left( { - 1} \right) = - 2\). Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(m = - 2\).

Do đó \(M + m = 2 + \left( { - 2} \right) = 0 \ne 5\).

a) Đúng: Quan sát đồ thị thấy đường tiệm cận đứng là \(x = 1\).

b) Đúng: Đường tiệm cận xiên cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(3\) và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng \( - 3\). Phương trình đường thẳng này có dạng \(y = x + 3\).

c) Sai: Tâm đối xứng của đồ thị hàm số phân thức bậc hai trên bậc nhất là giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận xiên. Với tiệm cận đứng \(x = 1\) và tiệm cận xiên \(y = x + 3\), giao điểm có tọa độ là \(\left( {1;4} \right)\).

d) Đúng: Từ các yếu tố trên ta xác định các hệ số:

Tiệm cận đứng \(x = 1 \Rightarrow n = - 1\).

Tiệm cận xiên \(y = x + 3\). Giao điểm hai tiệm cận là \(\left( {1;4} \right)\).

Hàm số viết lại: \(y = \frac{{a{x^2} + 2x + c}}{{x - 1}} = ax + \left( {a + 2} \right) + \frac{{c + a + 2}}{{x - 1}}\).

Đồng nhất với tiệm cận xiên \(y = x + 3 \Rightarrow a = 1\) và \(a + 2 = 3\) (thỏa mãn).

Đồ thị cắt trục tung tại điểm \(\left( {0;2} \right)\) nên \(f\left( 0 \right) = \frac{c}{{ - 1}} = 2 \Rightarrow c = - 2\).

Khi đó, giá trị của biểu thức \(P = a + c + n = 1 + \left( { - 2} \right) + \left( { - 1} \right) = - 2\).

a) Đúng: Tọa độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\):

\({x_G} = \frac{{2 + 3 + 1}}{3} = 2;\quad {y_G} = \frac{{ - 1 + 1 - 1}}{3} = - \frac{1}{3};\quad {z_G} = \frac{{ - 2 + 2 + 1}}{3} = \frac{1}{3}\).

Vậy \(G\left( {2; - \frac{1}{3};\frac{1}{3}} \right)\).

b) Sai: Ta tính các vectơ \(\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {BC} \):

\(\overrightarrow {BA} = \left( {2 - 3; - 1 - 1; - 2 - 2} \right) = \left( { - 1; - 2; - 4} \right)\); \(\overrightarrow {BC} = \left( {1 - 3; - 1 - 1;1 - 2} \right) = \left( { - 2; - 2; - 1} \right)\).

Khi đó \(\cos \widehat {ABC} = \frac{{\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} }}{{BA \cdot BC}} = \frac{{\left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 2} \right) + \left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 2} \right) + \left( { - 4} \right) \cdot \left( { - 1} \right)}}{{\sqrt {1 + 4 + 16} \cdot \sqrt {4 + 4 + 1} }} = \frac{{2 + 4 + 4}}{{\sqrt {21} \cdot 3}} = \frac{{10}}{{3\sqrt {21} }} \ne \frac{1}{2}\).

Do đó \(\widehat {ABC} \ne 60^\circ \).

c) Sai: Để \(ABCD\) là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \).

Gọi \(D\left( {x;y;z} \right)\), ta có \(\overrightarrow {AD} = \left( {x - 2;y + 1;z + 2} \right)\).

Mà \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 2; - 2; - 1} \right)\). Do đó: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 2 = - 2}\\{y + 1 = - 2}\\{z + 2 = - 1}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y = - 3}\\{z = - 3}\end{array}} \right. \Rightarrow D\left( {0; - 3; - 3} \right)\).

d) Sai: Vectơ \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;2;4} \right)\). Phương trình đường thẳng \(AB\): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + t}\\{y = - 1 + 2t}\\{z = - 2 + 4t}\end{array}} \right.\).

Vì \(M \in \left( {Oxy} \right) \Rightarrow {z_M} = 0 \Leftrightarrow - 2 + 4t = 0 \Rightarrow t = \frac{1}{2}\).

Thay \(t = \frac{1}{2}\) vào phương trình ta được: \({x_M} = 2 + \frac{1}{2} = 2,5\) và \({y_M} = - 1 + 2 \cdot \left( {\frac{1}{2}} \right) = 0\).

Vậy \(M\left( {2,5;0;0} \right)\), không phải \(\left( {3;1;0} \right)\).

a) Sai: Tính số trung bình của Quy Nhơn.

Giá trị đại diện các nhóm lần lượt là: \(145,175,205,235,265,295\).

Tổng số năm \(N = 0 + 1 + 2 + 4 + 10 + 3 = 20\).

Số trung bình: \(\overline X = \frac{{1 \cdot 175 + 2 \cdot 205 + 4 \cdot 235 + 10 \cdot 265 + 3 \cdot 295}}{{20}} = 253\) (giờ).

b) Sai: Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm tại trạm quan trắc ở Quy Nhơn bằng \(310 - 160 = 150.\)

c) Đúng: Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm tại trạm quan trắc ở Quy Nhơn là:

\[{S^2} = \frac{1}{{20}}\left( {1 \cdot {{175}^2} + 2 \cdot {{205}^2} + 4 \cdot {{235}^2} + 10 \cdot {{265}^2} + 3 \cdot {{295}^2}} \right) - {253^2} = 936\].

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm tại trạm quan trắc ở Quy Nhơn là: \[S = \sqrt {936} = 6\sqrt {26} \approx 30,6\].

Tính toán các giá trị ở Nha Trang:

Giá trị đại diện các nhóm lần lượt là: \(145,175,205,235,265,295\).

Tổng số năm \(n = 1 + 1 + 1 + 8 + 7 + 2 = 20\).

Số trung bình: \(\bar x = \frac{{1 \cdot 145 + 1 \cdot 175 + 1 \cdot 205 + 8 \cdot 235 + 7 \cdot 265 + 2 \cdot 295}}{{20}} = 242,5\) (giờ).

Phương sai: \[{s^2} = \frac{1}{{20}}\left( {1 \cdot {{145}^2} + 1 \cdot {{175}^2} + 1 \cdot {{205}^2} + 8 \cdot {{235}^2} + 7 \cdot {{265}^2} + 2 \cdot {{295}^2}} \right) - 242,{5^2} = 1248,75\].

Độ lệch chuẩn: \[s = \sqrt {1248,75} \approx 35,3\].

Ta thấy độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ở Quy Nhơn nhỏ hơn Nha Trang, chứng tỏ số giờ nắng ở Quy Nhơn biến động ít hơn và đồng đều hơn.

d) Sai: Tổng số năm ở Nha Trang là \(20\).

Tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) nằm ở nhóm chứa giá trị thứ \(5\), tức thuộc nhóm \(\left[ {220;250} \right)\).

Do đó \({Q_1} = 220 + \frac{{5 - 1 - 1 - 1}}{8} \cdot 30 = 227,5\).

Tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) nằm ở giá trị thứ \(15\), thuộc nhóm \(\left[ {250;280} \right)\).

Do đó \({Q_3} = 250 + \frac{{15 - 1 - 1 - 1 - 8}}{7} \cdot 30 = \frac{{1870}}{7}\).

Vậy khoảng tứ phân vị \({{\rm{\Delta }}_Q} = {Q_3} - {Q_1} \approx 39,6 \ne 45\).

Gọi chiều rộng của đáy bể là \(x{\rm{\;(m)}}\;\left( {x > 0} \right)\).

Khi đó, chiều dài của đáy bể là \(2x{\rm{\;(m)}}\).

Gọi \(h{\rm{\;(m)}}\) là chiều cao của bể cá.

Thể tích của bể cá là: \(V = x \cdot 2x \cdot h = 2{x^2}h = 288 \Rightarrow h = \frac{{144}}{{{x^2}}}\).

Diện tích cần xây dựng (bao gồm diện tích đáy và diện tích 4 mặt bên của bể không nắp):

$S=S_{\text{đáy}}+S_{\text{xung quanh}}=2x\cdot x+2\cdot \left(x\cdot h\right)+2\cdot \left(2x\cdot h\right)=2x^2+6xh$.

Thay \(h = \frac{{144}}{{{x^2}}}\) vào biểu thức diện tích: \(S = 2{x^2} + 6x \cdot \frac{{144}}{{{x^2}}} = 2{x^2} + \frac{{864}}{x} = 2{x^2} + \frac{{432}}{x} + \frac{{432}}{x}\).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (AM-GM) cho 3 số dương:

\(S \ge 3\sqrt[3]{{2{x^2} \cdot \frac{{432}}{x} \cdot \frac{{432}}{x}}} = 3\sqrt[3]{{2 \cdot 432 \cdot 432}} = 3 \cdot 72 = 216{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}\).

Diện tích nhỏ nhất đạt được khi: \(2{x^3} = 432 \Rightarrow {x^3} = 216 \Rightarrow x = 6{\rm{\;m}}\).

Chi phí thuê nhân công thấp nhất là: \(216 \cdot 500\,000 = 108\,000\,000\) (đồng) = 108 (triệu đồng).

Đáp án: 108.

Vì \(M\) thuộc tia \(Oy\) nên \(M\left( {0;y;0} \right)\) với \(y \ge 0\).

Ta có các vectơ: \(\overrightarrow {MA} = \left( {0;2 - y; - 1} \right)\); \(\overrightarrow {MB} = \left( {1; - 3 - y;6} \right)\).

Vì tam giác \(ABM\) vuông tại \(M\) nên \(\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} = 0\)\( \Leftrightarrow 0 \cdot 1 + \left( {2 - y} \right)\left( { - 3 - y} \right) + \left( { - 1} \right) \cdot 6 = 0\)

\( \Leftrightarrow - 6 - 2y + 3y + {y^2} - 6 = 0 \Leftrightarrow {y^2} + y - 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 3}\\{y = - 4}\end{array}} \right.\).

Do \(M\) thuộc tia \(Oy\) nên chọn \(y = 3 \Rightarrow M\left( {0;3;0} \right)\).

Khi đó: \(\overrightarrow {MA} = \left( {0; - 1; - 1} \right) \Rightarrow MA = \sqrt {{0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = \sqrt 2 \);

\(\overrightarrow {MB} = \left( {1; - 6;6} \right) \Rightarrow MB = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2} + {6^2}} = \sqrt {73} \).

Vì tam giác \(ABM\) vuông tại \(M\), diện tích tam giác là:

\({S_{{\rm{\Delta }}ABM}} = \frac{1}{2}MA \cdot MB = \frac{1}{2}\sqrt 2 \cdot \sqrt {73} = \frac{{\sqrt {146} }}{2} \approx 6,0415\).

Làm tròn đến hàng phần trăm ta được \(6,04\).

Đáp án: 6,04.

Gọi lực tổng hợp là \(\vec F = {\vec F_1} + {\vec F_2} + {\vec F_3}\).

Bình phương vô hướng hai vế: \({F^2} = {\left( {{{\vec F}_1} + {{\vec F}_2} + {{\vec F}_3}} \right)^2} = F_1^2 + F_2^2 + F_3^2 + 2{\vec F_1} \cdot {\vec F_2} + 2{\vec F_2} \cdot {\vec F_3} + 2{\vec F_3} \cdot {\vec F_1}\).

Vì lực \({\vec F_3}\) vuông góc với cả hai lực \({\vec F_1}\) và \({\vec F_2}\) nên \({\vec F_2} \cdot {\vec F_3} = 0\) và \({\vec F_3} \cdot {\vec F_1} = 0\).

Do đó: \({F^2} = F_1^2 + F_2^2 + F_3^2 + 2{F_1}{F_2}\cos \left( {{{\vec F}_1},{{\vec F}_2}} \right)\)\( = {20^2} + {15^2} + {10^2} + 2 \cdot 20 \cdot 15 \cdot \cos 135^\circ \)\( = 725 - 300\sqrt 2 \).

Suy ra \(F = \sqrt {725 - 300\sqrt 2 } \approx 17,3417{\rm{\;N}}\).

Làm tròn đến hàng phần mười (hàng phần chục) ta được \(17,3\).

Đáp án: 17,3.

Tốc độ mất nhiệt tăng ứng với khoảng hàm số \(H\left( v \right)\) đồng biến, tức là đạo hàm \(H'\left( v \right) > 0\).

Xét hàm số \(H\left( v \right) = 33\left( {10\sqrt v - v + 10,45} \right)\) với \(v > 0\).

Tính đạo hàm theo \(v\): \(H'\left( v \right) = 33\left( {\frac{{10}}{{2\sqrt v }} - 1} \right) = 33\left( {\frac{5}{{\sqrt v }} - 1} \right)\).

Cho \(H'\left( v \right) > 0\): \(\frac{5}{{\sqrt v }} - 1 > 0 \Leftrightarrow \frac{5}{{\sqrt v }} > 1 \Leftrightarrow \sqrt v < 5 \Leftrightarrow 0 < v < 25\).

Như vậy, tốc độ mất nhiệt tăng khi \(v \in \left( {0;25} \right)\).

Do đó, \(a = 0\) và \(b = 25\). Vậy \(a + b = 0 + 25 = 25\).

Đáp án: 25.

Vận tốc thực tế của thiết bị dưới tác động của dòng hải lưu là tổng của hai vectơ vận tốc:

\({\vec v_{{\rm{thuc}}}} = \vec v + \vec w = \left( {11 + 4;7 + 2; - 4 + 0} \right) = \left( {15;9; - 4} \right)\).

Tốc độ của thiết bị là độ dài của vectơ vận tốc thực tế:

\(\left| {{{\vec v}_{{\rm{thuc}}}}} \right| = \sqrt {{{15}^2} + {9^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} = \sqrt {225 + 81 + 16} = \sqrt {322} \approx 17,944{\rm{\;km/h}}\).

Làm tròn đến hàng phần mười (hàng phần chục) ta được \(17,9\).

Đáp án: 17,9.

Tập xác định của hàm số: \(\mathcal{D} = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2025} \right\}\).

Đạo hàm của hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất: \(y' = \frac{{1 \cdot 2025 - {m^2} \cdot 1}}{{{{\left( {x + 2025} \right)}^2}}} = \frac{{2025 - {m^2}}}{{{{\left( {x + 2025} \right)}^2}}}\).

Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định thì đạo hàm phải dương trên \(\mathcal{D}\):

\(y' > 0 \Rightarrow 2025 - {m^2} > 0 \Leftrightarrow {m^2} < 2025 \Leftrightarrow - 45 < m < 45\).

Vì \(m\) là số nguyên nên \(m \in \left\{ { - 44; - 43; \ldots ;43;44} \right\}\).

Số các giá trị nguyên của \(m\) là: \(44 - \left( { - 44} \right) + 1 = 89\) giá trị.

Đáp án: 89.