Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Nguyễn Thị Minh Khai (Hà Nội) có đáp án

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đạo hàm \(f'\left( x \right) > 0\) trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 5} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).

Do đó, hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 5} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).

Đối chiếu với các phương án đưa ra, khoảng \(\left( { - 1; + \infty } \right)\) là khoảng đồng biến của hàm số.

Chọn A.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm, ký hiệu là \(R\), được tính bằng hiệu số giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên.

• Đầu mút trái của nhóm đầu tiên \(\left[ {10;12} \right)\) là \({x_{{\rm{min}}}} = 10\).
• Đầu mút phải của nhóm cuối cùng \(\left[ {18;20} \right)\) là \({x_{{\rm{max}}}} = 20\).

Vậy khoảng biến thiên \(R = {x_{{\rm{max}}}} - {x_{{\rm{min}}}} = 20 - 10 = 10\).

Chọn C.

• Xét dạng đồ thị: Nhánh cuối cùng của đồ thị (bên phải) đi lên tiến tới \( + \infty \) khi \(x \to + \infty \). Do đó, hệ số a của hàm số bậc ba \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) phải dương (\(a > 0\)). Ta loại phương án A và B.
• Xét điểm cực trị: Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung (hàm số có hai cực trị trái dấu).
  • Xét hàm số ở phương án C: \(y = {x^3} - 3x + 1 \Rightarrow y' = 3{x^2} - 3\). Phương trình \(y' = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\) (thỏa mãn có 2 cực trị).
  • Xét hàm số ở phương án D: \(y = {x^3} + 3x + 1 \Rightarrow y' = 3{x^2} + 3 > 0\,\forall x\), hàm số không có cực trị.
• Giao điểm với trục tung: Khi \(x = 0\) thì \(y = 1\), đồ thị cắt trục tung tại điểm \(\left( {0;1} \right)\) phía trên trục hoành, hoàn toàn phù hợp với hình vẽ.

Chọn C.

Gọi \(M\left( {{x_M};{y_M};{z_M}} \right)\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\). Tọa độ điểm \(M\) được xác định bởi công thức:

\({x_M} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \frac{{1 + 5}}{2} = 3\); \({y_M} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \frac{{2 + \left( { - 12} \right)}}{2} = - 5\); \({z_M} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2} = \frac{{ - 3 + 17}}{2} = 7\).

Vậy tọa độ trung điểm \(M\) là \(\left( {3; - 5;7} \right)\).

Chọn C.

Tọa độ của vectơ tổng \(\vec a + \vec b\) được tính bằng cách cộng các tọa độ tương ứng của hai vectơ thành phần:

\(\vec a + \vec b = \left( {2 + 1;3 + 1;2 + \left( { - 1} \right)} \right) = \left( {3;4;1} \right)\).

Chọn B.

Dựa vào hình vẽ, ta thấy điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là \(\left( {1; - 4} \right)\).

Chọn D.

Thực hiện phép chia đa thức ở tử số cho mẫu số:

\(\frac{{{x^2} + 3x + 5}}{{x + 2}} = \frac{{x\left( {x + 2} \right) + \left( {x + 5} \right)}}{{x + 2}} = x + \frac{{x + 5}}{{x + 2}} = x + 1 + \frac{3}{{x + 2}}\).

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{3}{{x + 2}} = 0\), đường thẳng \(y = x + 1\) chính là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Chọn B.

Đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x - 2}}\) có đường tiệm cận đứng \(x = 2\), đường tiệm cận ngang \(y = 2\).

Giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x - 2}}\) với trục hoành là điểm có tọa độ \(\left( {\frac{1}{2};0} \right)\).

Kết hợp với hình vẽ, ta thấy phần hình tô đậm là một hình thang vuông có đáy lớn bằng 2, đáy bé bằng \[2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\] và chiều cao bằng 2.

Diện tích hình được tô đậm là \(S = \frac{{\left( {2 + \frac{3}{2}} \right) \cdot 2}}{2} = \frac{7}{2}\).

Chọn C.

Để tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành, ta phải có điều kiện vectơ: \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \).

Gọi tọa độ điểm \(D\) là \(\left( {{x_D};{y_D};{z_D}} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {AD} = \left( {{x_D} - 1;{y_D} - 2;{z_D} - 1} \right)\).

Ta cũng có \(\overrightarrow {BC} = \left( {{x_C} - {x_B};{y_C} - {y_B};{z_C} - {z_B}} \right) = \left( {2 - \left( { - 3} \right);4 - 0; - 1 - 3} \right) = \left( {5;4; - 4} \right)\).

Đồng nhất các tọa độ:

\({x_D} - 1 = 5 \Rightarrow {x_D} = 6\)

\({y_D} - 2 = 4 \Rightarrow {y_D} = 6\)

\({z_D} - 1 = - 4 \Rightarrow {z_D} = - 3\)

Vậy tọa độ điểm \(D\) là \(\left( {6;6; - 3} \right)\).

Chọn C.

Ta có \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CM} \).

Mà \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \).

Vì \(M\) là trung điểm của \(CC'\) nên \(\overrightarrow {CM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {CC'} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'} \).

Thay vào biểu thức ta được: \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'} \).

Chọn D.

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(P\left( x \right)\) với \(x > 0\).

Tính đạo hàm của \(P\left( x \right)\): \(P'\left( x \right) = - 0,9{x^2} + 72x + 1800\).

Cho \(P'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - 0,9{x^2} + 72x + 1800 = 0\)\( \Leftrightarrow x = 100\) hoặc \(x = - 20\).

Vì \(x > 0\) nên ta chọn \(x = 100\).

Vì \(P'\left( x \right)\) đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua \(x = 100\) nên hàm số đạt cực đại tại \(x = 100\).

Vậy công ty cần sản xuất 100 chiếc máy xay sinh tố mỗi tháng để đạt lợi nhuận lớn nhất.

Chọn D.

Ta có: \(\vec a + \vec b = \left( {1 + \left( { - 2} \right); - 2 + 1;3 + 2} \right) = \left( { - 1; - 1;5} \right)\).

Tích vô hướng với vectơ \(\vec b = \left( { - 2;1;2} \right)\) là: \(\left( {\vec a + \vec b} \right) \cdot \vec b = \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 2} \right) + \left( { - 1} \right) \cdot 1 + 5 \cdot 2 = 2 - 1 + 10 = 11\).

Chọn C.

a) Đúng. Cỡ mẫu \(n = 4 + 13 + 16 + 17 = 50\).

b) Sai. Khoảng biến thiên \(R = 12 - 0 = 12\). Do đó mệnh đề bảo bằng 9 là sai.

c) Đúng. Ta có \(\frac{n}{4} = \frac{{50}}{4} = 12,5\).

Tần số tích lũy của nhóm \(\left[ {0;3} \right)\) là 4. Tần số tích lũy của nhóm \(\left[ {3;6} \right)\) là \(4 + 13 = 17\).

Vì \(4 < 12,5 \le 17\) nên \({Q_1}\) thuộc nhóm \(\left[ {3;6} \right)\).

d) Đúng. Tính số trung bình cộng mảnh ghép nhóm \(\bar x\):

Giá trị đại diện các nhóm lần lượt là: \({x_1} = 1,5;\,{x_2} = 4,5;\,{x_3} = 7,5;\,{x_4} = 10,5\).

Số trung bình \(\bar x = \frac{{4 \cdot 1,5 + 13 \cdot 4,5 + 16 \cdot 7,5 + 17 \cdot 10,5}}{{50}} = \frac{{6 + 58,5 + 120 + 178,5}}{{50}} = \frac{{363}}{{50}} = 7,26\).

Tính phương sai \({s^2}\): \({s^2} = \frac{1}{{50}}\left[ {4 \cdot {{\left( {1,5} \right)}^2} + 13 \cdot {{\left( {4,5} \right)}^2} + 16 \cdot {{\left( {7,5} \right)}^2} + 17 \cdot {{\left( {10,5} \right)}^2}} \right] - {\left( {7,26} \right)^2} = 8,2224\).

Vì \(8,2224 > 8\), mệnh đề đúng.

a) Đúng. Chiếu lên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) thì hoành độ \(x = 0\), giữ nguyên \(y\) và \(z\). Do đó hình chiếu có tọa độ \(\left( {0;2;1} \right)\).

b) Đúng. \(\overrightarrow {AB} = \left( {4; - 4;2} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{4^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {2^2}} = \sqrt {16 + 16 + 4} = \sqrt {36} = 6\).

\(\overrightarrow {AC} = \left( { - 3; - 1;0} \right) \Rightarrow AC = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2}} = \sqrt {9 + 1} = \sqrt {10} \).

Vậy \(AB + AC = 6 + \sqrt {10} \).

c) Sai. \(\cos \widehat {BAC} = \frac{{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} }}{{AB \cdot AC}} = \frac{{4 \cdot \left( { - 3} \right) + \left( { - 4} \right) \cdot \left( { - 1} \right) + 2 \cdot 0}}{{6 \cdot \sqrt {10} }} = \frac{{ - 12 + 4}}{{6\sqrt {10} }} = \frac{{ - 8}}{{6\sqrt {10} }} = \frac{{ - 4}}{{3\sqrt {10} }} = \frac{{ - 2\sqrt {10} }}{{15}}\).

d) Sai. Vì \(M \in Ox \Rightarrow M\left( {x;0;0} \right)\).

\(\overrightarrow {MA} = \left( {5 - x;2;1} \right),\quad \overrightarrow {MB} = \left( {9 - x; - 2;3} \right),\quad \overrightarrow {MC} = \left( {2 - x;1;1} \right)\);

\(\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} = \left( {5 - x} \right) \cdot \left( {9 - x} \right) + 2 \cdot \left( { - 2} \right) + 1 \cdot 3 = {x^2} - 14x + 45 - 4 + 3 = {x^2} - 14x + 44\);

\(\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MC} = \left( {5 - x} \right) \cdot \left( {2 - x} \right) + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = {x^2} - 7x + 10 + 2 + 1 = {x^2} - 7x + 13\).

Cân bằng hai biểu thức: \({x^2} - 14x + 44 = {x^2} - 7x + 13 \Leftrightarrow - 7x = - 31 \Leftrightarrow x = \frac{{31}}{7} \approx 4,43\).

Vì \(4,43 < 5\), hoành độ nhỏ hơn 5.

a) Đúng. \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x\).

b) Sai. Ta có \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3x\left( {x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 2\).

Qua \(x = 0\), đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm nên hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\) và qua \(x = 2\), đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2\).

c) Đúng. Các giá trị cần tính: \(f\left( 0 \right) = 0\); \(f\left( 2 \right) = {2^3} - 3 \cdot {2^2} = - 4\); \(f\left( 4 \right) = {4^3} - 3 \cdot {4^2} = 64 - 48 = 16\).

Giá trị lớn nhất trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\) chính là \(f\left( 4 \right) = 16\).

d) Sai. Biến đổi mẫu số: \(\left( {x - 1} \right){\left( {x - 3} \right)^2}\).

Hàm số: \(y = \frac{{{x^2}\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 1} \right){{\left( {x - 3} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}\).

Phương trình mẫu số triệt tiêu có các nghiệm \(x = 1\) và \(x = 3\) (đều không là nghiệm tử số).

Do đó đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng là \(x = 1\) và \(x = 3\). Mệnh đề bảo có 1 tiệm cận đứng là sai.

a) Sai. Từ \(Q = \sqrt {KL} = 160 \Rightarrow KL = {160^2} \Rightarrow L = \frac{{{{160}^2}}}{K} = \frac{{25600}}{K}\). Phát biểu \(L = \frac{{160}}{K}\) là sai.

b) Sai. Với \(K = 200 \Rightarrow L = \frac{{25600}}{{200}} = 128\).

Tổng chi phí: \(F = 16 \cdot 200 + 9 \cdot 128 + 40 = 3200 + 1152 + 40 = 4392\) (nghìn USD).

Vì \(4392 < 4500\), phát biểu bảo lớn hơn 4500 là sai.

c) Đúng. Thay \(L = \frac{{{{160}^2}}}{K}\) vào biểu thức \(F\) ta được: \(F = 16K + 9 \cdot \frac{{{{160}^2}}}{K} + 40\).

d) Sai. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si (AM-GM) cho hai số dương \(16K\) và \(9L\):

\(16K + 9L \ge 2\sqrt {16K \cdot 9L} = 2\sqrt {144 \cdot KL} = 2 \cdot 12 \cdot \sqrt {25600} = 24 \cdot 160 = 3840\).

Do đó, tổng chi phí tối thiểu là \({F_{{\rm{min}}}} = 3840 + 40 = 3880\) (nghìn USD). Mệnh đề bảo chi phí tối thiểu bằng 3840 là sai vì chưa cộng hằng số 40.

Hợp lực tác động lên mô hình tại đỉnh \(A\) của hình hộp chữ nhật được biểu diễn bằng vectơ:

\(\vec F = {\vec F_1} + {\vec F_2} + {\vec F_3}\).

Do các lực đôi một vuông góc với nhau (nằm trên các cạnh \(AB,AA',AD\) xuất phát từ đỉnh \(A\)), độ lớn của hợp lực \(\vec F\) tuân theo công thức Pythagore trong không gian:

\(\left| {\vec F} \right| = \sqrt {{{\left| {{{\vec F}_1}} \right|}^2} + {{\left| {{{\vec F}_2}} \right|}^2} + {{\left| {{{\vec F}_3}} \right|}^2}} = \sqrt {{2^2} + {2^2} + {3^2}} = \sqrt {4 + 4 + 9} = \sqrt {17} \approx 4,12{\rm{\;N}}\).

Đáp án: 4,12.

Vì \(C\left( {1;1;2} \right)\) nằm trên đoạn thẳng \(AB\) sao cho \(BC = 2AC \Rightarrow \overrightarrow {AC} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \).

Do đó \(\overrightarrow {AC} = \frac{1}{3}\left( {6;3;0} \right) = \left( {2;1;0} \right)\).

Mặt khác, \(\overrightarrow {AC} = \left( {{x_C} - {x_A};{y_C} - {y_A};{z_C} - {z_A}} \right) = \left( {1 - m;1 - n;2 - p} \right)\).

Đồng nhất hệ tọa độ:

\(1 - m = 2 \Rightarrow m = - 1\)

\(1 - n = 1 \Rightarrow n = 0\)

\(2 - p = 0 \Rightarrow p = 2\)

Giá trị biểu thức cần tìm là: \(m + 3n + 4p = - 1 + 3 \cdot 0 + 4 \cdot 2 = 7\).

Đáp án: 7.

Tìm khoảng tứ phân vị \({{\rm{\Delta }}_Q} = {Q_3} - {Q_1}\) của mẫu số liệu ghép nhóm. Tổng số người \(n = 100\).

• Tìm \({Q_1}\): Vị trí \(\frac{n}{4} = 25\). Nhóm chứa \({Q_1}\) là nhóm \(\left[ {22;25} \right)\) (vì tần số tích lũy trước đó là \(10\), đến nhóm này là \(10 + 27 = 37\)).

Ta có \({Q_1} = 22 + \frac{{25 - 10}}{{27}} \cdot \left( {25 - 22} \right) = 22 + \frac{{15}}{{27}} \cdot 3 = 22 + \frac{{15}}{9} = \frac{{71}}{3}\).

• Tìm \({Q_3}\): Vị trí \(\frac{{3n}}{4} = 75\). Nhóm chứa \({Q_3}\) là nhóm \(\left[ {28;31} \right)\) (tần số tích lũy đến trước nhóm này là \(10 + 27 + 31 = 68\), tần số tích lũy nhóm này là \(68 + 25 = 93\)).

Ta có \({Q_3} = 28 + \frac{{75 - 68}}{{25}} \cdot \left( {31 - 28} \right) = 28 + \frac{7}{{25}} \cdot 3 = 28 + 0,84 = 28,84\).

• Khoảng tứ phân vị: \({{\rm{\Delta }}_Q} = {Q_3} - {Q_1} = 28,84 - \frac{{71}}{3} \approx 5,17\).

Đáp án: 5,17.

Hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 48}}{{x - 1}}\).

Tính đạo hàm để tìm tọa độ hai điểm cực trị:

\(y' = \frac{{2x\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} + 48} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{2{x^2} - 2x - {x^2} - 48}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2x - 48}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\);

\(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 48 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 8} \right)\left( {x + 6} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 8\) hoặc \(x = - 6\).

• Với \(x = 8 \Rightarrow y = \frac{{{8^2} + 48}}{{8 - 1}} = \frac{{64 + 48}}{7} = \frac{{112}}{7} = 16 \Rightarrow A\left( {8;16} \right)\).
• Với \(x = - 6 \Rightarrow y = \frac{{{{\left( { - 6} \right)}^2} + 48}}{{ - 6 - 1}} = \frac{{36 + 48}}{{ - 7}} = \frac{{84}}{{ - 7}} = - 12 \Rightarrow B\left( { - 6; - 12} \right)\).

Hình chữ nhật được tạo bởi hai điểm cực trị làm hai đỉnh đối xứng có các cạnh song song với các trục tọa độ.

• Chiều dài theo phương ngang (độ chênh lệch hoành độ): \({\rm{\Delta }}x = \left| {8 - \left( { - 6} \right)} \right| = 14\).
• Chiều cao theo phương đứng (độ chênh lệch tung độ): \({\rm{\Delta }}y = \left| {16 - \left( { - 12} \right)} \right| = 28\).

Diện tích hình chữ nhật là: \(S = {\rm{\Delta }}x \cdot {\rm{\Delta }}y = 14 \cdot 28 = 392\).

Đáp án: 392.

Chọn gốc tọa độ \(M\left( {0;0} \right)\) là trung điểm của cạnh \(AB\), trục \(Ox\) trùng với đường thẳng \(AB\) và trục \(Oy\) vuông góc với \(AB\) hướng về phía cạnh \(CD\) (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét).

• Điểm xuất phát của robot là \(M\left( {0;0} \right)\).
• Cạnh \(CD\) nằm trên đường thẳng \(y = 200\). Điểm đích là \(N\left( {{x_0};200} \right)\) với \( - 100 \le {x_0} \le 100\). Do tính chất đối xứng, ta chỉ cần xét \(0 \le {x_0} \le 100\).
• Bãi cát hình chữ nhật đối xứng qua trục \(Oy\), giới hạn bởi:
  • Chiều rộng (nằm ngang): từ \(x = - 40\) đến \(x = 40\).
  • Chiều dài (thẳng đứng): từ \(y = 40\) đến \(y = 160\) (vì bãi cát ở chính giữa khu đất, cách mỗi cạnh \(AB,CD\) một khoảng \(\frac{{200 - 120}}{2} = 40{\rm{\;m}}\)).

Phương trình đường thẳng của quỹ đạo chuyển động thẳng \(MN\) nối từ \(\left( {0;0} \right)\) đến \(\left( {{x_0};200} \right)\) là:

\(y = \frac{{200}}{{{x_0}}}x \Leftrightarrow x = \frac{{{x_0}}}{{200}}y\).

Đường thẳng \(MN\) đi vào bãi cát tại biên dưới \(y = 40\), hoành độ giao điểm là: \({x_1} = \frac{{40{x_0}}}{{200}} = \frac{{{x_0}}}{5}\).

Vì \(0 \le {x_0} \le 100\) nên \(0 \le {x_1} \le 20 \le 40\) (luôn đi vào từ cạnh đáy của bãi cát).

Đường thẳng \(MN\) sẽ đi ra khỏi bãi cát theo 2 trường hợp:

Trường hợp 1: \(0 \le {x_0} \le 50\)

Đường thẳng đi ra ở cạnh trên \(y = 160\).

• Quãng đường đi trên cát chiếm tỉ lệ cố định bằng \(\frac{{160 - 40}}{{200}} = \frac{3}{5}\) tổng quãng đường \(MN\).
• Thời gian đi toàn bộ hành trình là: \(t\left( {{x_0}} \right) = \frac{{\frac{2}{5}MN}}{3} + \frac{{\frac{3}{5}MN}}{2} = \frac{{13}}{{30}}MN = \frac{{13}}{{30}}\sqrt {x_0^2 + 40000} \).
• Hàm số này đồng biến trên \(\left[ {0;50} \right]\), đạt giá trị nhỏ nhất tại \({x_0} = 0\):

\(t\left( 0 \right) = \frac{{13}}{{30}} \cdot 200 = \frac{{260}}{3} \approx 86,67{\rm{\;gi\^a y}}\).

Trường hợp 2: \(50 < {x_0} \le 100\)

Đường thẳng đi ra ở cạnh bên \(x = 40\). Điểm ra có tung độ \({y_2} = \frac{{8000}}{{{x_0}}}\).

• Chiều dài đoạn đường đi trong cát là:

\({L_{{\rm{c\'a t}}}} = \sqrt {{{\left( {40 - \frac{{{x_0}}}{5}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{8000}}{{{x_0}}} - 40} \right)}^2}} = \frac{{200 - {x_0}}}{{5{x_0}}}\sqrt {x_0^2 + 40000} \).

• Tổng thời gian di chuyển trong trường hợp này là:

\(t\left( {{x_0}} \right) = \frac{{MN - {L_{{\rm{c\'a t}}}}}}{3} + \frac{{{L_{{\rm{c\'a t}}}}}}{2} = \frac{{MN}}{3} + \frac{{{L_{{\rm{c\'a t}}}}}}{6}\)\( = \left( {\frac{1}{3} + \frac{{200 - {x_0}}}{{30{x_0}}}} \right)\sqrt {x_0^2 + 40000} = \frac{{9{x_0} + 200}}{{30{x_0}}}\sqrt {x_0^2 + 40000} \).

Xét hàm số \(g\left( x \right) = \frac{{9x + 200}}{x}\sqrt {{x^2} + 40000} \) trên khoảng \(\left( {50,100} \right]\):

Ta có \(g'\left( x \right) = \frac{{9{x^3} - 8000000}}{{{x^2}\sqrt {{x^2} + 40000} }}\).

Cho \(g'\left( x \right) = 0 \Rightarrow 9{x^3} = 8000000 \Leftrightarrow x = \frac{{200}}{{\sqrt[3]{9}}} \approx 96,15{\rm{\;m}}\) (thỏa mãn thuộc khoảng đang xét).

Thay giá trị \({x_0} \approx 96,15\) vào công thức tính thời gian \(t\left( {{x_0}} \right)\): \(a = t\left( {96,15} \right) \approx 81,95995{\rm{\;gi\^a y}}\).

Khi đó, giá trị của \(100a\) là: \(100a = 100 \times 81,95995 = 8195,995\).

Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị, ta được 8196.

Đáp án: 8196.

Chọn hệ trục tọa độ hai chiều phẳng \(Oxy\) với góc vuông tại \(O\):

• Vị trí điểm \(O\) là gốc tọa độ \(\left( {0;0} \right)\). Khinh khí cầu bay thẳng đứng từ \(O\) lên trên dọc theo trục \(Oy\) với vận tốc \(10{\rm{\;km/h}}\), vị trí sau thời gian \(t\) là \(M\left( {0;10t} \right)\).
• Vị trí điểm \(A\) nằm trên trục hoành cách \(O\) một khoảng \(30{\rm{\;km}} \Rightarrow A\left( {30;0} \right)\). Người đi xe đạp di chuyển từ \(A\) về \(O\) ngược chiều trục \(Ox\) với vận tốc \(15{\rm{\;km/h}}\), vị trí sau thời gian \(t\) là \(N\left( {30 - 15t;0} \right)\).

Khoảng cách giữa hai vật thể tại thời điểm \(t\) là độ dài đoạn thẳng \(MN\):

\(d\left( t \right) = \sqrt {{{\left( {30 - 15t - 0} \right)}^2} + {{\left( {0 - 10t} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {30 - 15t} \right)}^2} + 100{t^2}} \)\( = \sqrt {325{t^2} - 900t + 900} \).

Khoảng cách đạt giá trị nhỏ nhất khi biểu thức bậc hai dưới dấu căn đạt cực tiểu.

Hoành độ đỉnh của parabol \(f\left( t \right) = 325{t^2} - 900t + 900\) là: \(t = - \frac{b}{{2a}} = \frac{{900}}{{2 \cdot 325}} = \frac{{900}}{{650}} = \frac{{18}}{{13}} \approx 1,38\).

Vậy \(d\left( t \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(t \approx 1,38\) (giờ).

Đáp án: 1,38.