Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Chuyên Ngoại ngữ - ĐH Ngoại Ngữ (Hà Nội) có đáp án

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\). Hàm số liên tục trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right]\).

Đạo hàm: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x - 9\).

Tìm nghiệm của \(f'\left( x \right) = 0\) trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right]\):

\(3{x^2} - 6x - 9 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1 \in \left[ { - 2;2} \right]}\\{x = 3 \notin \left[ { - 2;2} \right]}\end{array}} \right.\).

Tính giá trị của hàm số tại các điểm đầu mút và điểm cực trị:

\(f\left( { - 2} \right) = {\left( { - 2} \right)^3} - 3 \cdot {\left( { - 2} \right)^2} - 9 \cdot \left( { - 2} \right) + 3 = - 8 - 12 + 18 + 3 = 1\);

\(f\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^3} - 3 \cdot {\left( { - 1} \right)^2} - 9 \cdot \left( { - 1} \right) + 3 = - 1 - 3 + 9 + 3 = 8\);

\(f\left( 2 \right) = {2^3} - 3 \cdot {2^2} - 9 \cdot 2 + 3 = 8 - 12 - 18 + 3 = - 19\).

So sánh các giá trị trên, ta có giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right]\) là \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right) = 8\).

Chọn C.

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy trên khoảng \(\left( { - 2;1} \right)\), đạo hàm \(f'\left( x \right) > 0\) (hoặc mũi tên của hàm số \(f\left( x \right)\) đi lên từ \( - 2\) đến \(3\)). Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 2;1} \right)\).

Chọn A.

Áp dụng công thức tính cosin của góc giữa hai vectơ: \(\cos \left( {\vec a,\vec b} \right) = \frac{{\vec a \cdot \vec b}}{{\left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec b} \right|}}\).

Tính tích vô hướng: \(\vec a \cdot \vec b = 1 \cdot 0 + 1 \cdot \left( { - 2} \right) + 0 \cdot 2 = - 2\).

Tính độ dài các vectơ: \(\left| {\vec a} \right| = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {0^2}} = \sqrt 2 \); \(\left| {\vec b} \right| = \sqrt {{0^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} = \sqrt 8 = 2\sqrt 2 \).

Thay vào công thức: \(\cos \left( {\vec a,\vec b} \right) = \frac{{ - 2}}{{\sqrt 2 \cdot 2\sqrt 2 }} = \frac{{ - 2}}{4} = - \frac{1}{2}\).

Suy ra góc giữa hai vectơ là \(\left( {\vec a,\vec b} \right) = 120^\circ \).

Chọn C.

Dựa vào đồ thị hàm số bậc ba đã cho, ta thấy điểm cực đại của đồ thị hàm số có tọa độ là \(\left( {1;2} \right)\). Do đó, giá trị cực đại (chính là giá trị cực đại của \(y\)) của hàm số bằng \(2\).

Chọn C.

Giá trị của biểu thức \(a + b + c + d\) chính là giá trị của hàm số tại \(x = 1\), tức là \(f\left( 1 \right)\).

Quan sát đồ thị hàm số, tại vị trí \(x = 1\), điểm trên đồ thị có tung độ tương ứng là \(y = 2\) (đây cũng chính là điểm cực đại của đồ thị).

Vậy \(f\left( 1 \right) = a + b + c + d = 2\).

Chọn C.

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số phân thức hữu tỉ có dạng đường thẳng nằm ngang \(y = {y_0}\).

Quan sát đồ thị, đường tiệm cận ngang là đường nét đứt cắt trục tung \(Oy\) tại điểm có tung độ bằng \(2\). Do đó phương trình đường tiệm cận ngang là \(y = 2\).

Chọn D.

Theo công thức nguyên hàm cơ bản của hàm số mũ: \(\int {{3^x}\,{\rm{d}}x} = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C\).

Chọn D.

Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(MN\) là \(\overrightarrow {MN} = \left( {3 - 1; - 4 - 2; - 9 - \left( { - 1} \right)} \right) = \left( {2; - 6; - 8} \right)\).

Rút gọn vectơ chỉ phương bằng cách chia cho 2, ta được \(\vec u = \left( {1; - 3; - 4} \right)\).

Đường thẳng đi qua điểm \(M\left( {1;2; - 1} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( {1; - 3; - 4} \right)\) có phương trình chính tắc là:

\(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 3}} = \frac{{z + 1}}{{ - 4}}\)

Chọn C.

Vì mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) nên nó nhận vectơ đơn vị của trục \(Ox\) là \(\vec i = \left( {1;0;0} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình mặt phẳng đi qua \(A\left( {4;9;1} \right)\) có dạng: \(1\left( {x - 4} \right) + 0\left( {y - 9} \right) + 0\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 4 = 0\).

Chọn B.

Tọa độ trung điểm \(I\) của đoạn thẳng \(MN\) được tính theo công thức:

\({x_I} = \frac{{{x_M} + {x_N}}}{2} = \frac{{ - 3 + 1}}{2} = - 1\); \({y_I} = \frac{{{y_M} + {y_N}}}{2} = \frac{{0 + 2}}{2} = 1\); \({z_I} = \frac{{{z_M} + {z_N}}}{2} = \frac{{1 + \left( { - 1} \right)}}{2} = 0\).

Vậy \(I\left( { - 1;1;0} \right)\).

Chọn D.

Sử dụng công thức lượng giác \(\sin 2x = 2\sin x\cos x\), ta biến đổi tích phân:

\(\int {\frac{{\sin 2x}}{{\cos x}}\,{\rm{d}}x} = \int {\frac{{2\sin x\cos x}}{{\cos x}}\,{\rm{d}}x} = \int {2\sin x\,{\rm{d}}x} = - 2\cos x + C\).

Chọn D.

Khoảng biến thiên \(R\) của mẫu số liệu ghép nhóm được tính bằng hiệu số giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên: \(R = 175 - 150 = 25\).

Chọn D.

a) ĐÚNG. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa giá trị lớn nhất của đầu mút phải cuối cùng và giá trị nhỏ nhất của đầu mút trái đầu tiên: \(R = 4 - 1 = 3\) cho cả hai năm.

b) ĐÚNG. Tổng số quả năm 2023 là \(N = 100\). Trung vị nằm ở vị trí thứ 50 và 51.

Tần số tích lũy đến hết nhóm 2 là \(10 + 20 = 30\).

Tần số tích lũy đến hết nhóm 3 là \(30 + 25 = 55\).

Do đó, nhóm chứa trung vị là nhóm thứ ba \(\left[ {2;2,5} \right)\).

Công thức trung vị: \({Q_2} = 2 + \frac{{\frac{{100}}{2} - 30}}{{25}} \cdot \left( {2,5 - 2} \right) = \frac{{12}}{5}{\rm{\;}}\left( {{\rm{kg}}} \right)\).

c) SAI. Tính giá trị đại diện \({x_i}\) của các nhóm: \(1,25;1,75;2,25;2,75;3,25;3,75\).

Số trung bình năm 2024:

\({\bar x_{2024}} = \frac{{14 \cdot 1,25 + 20 \cdot 1,75 + 24 \cdot 2,25 + 26 \cdot 2,75 + 10 \cdot 3,25 + 6 \cdot 3,75}}{{100}} = \frac{{233}}{{100}} = 2,33{\rm{\;}}\left( {{\rm{kg}}} \right)\).

d) SAI. Ta cần tính phương sai của hai năm:

Năm 2023: \({\bar x_{2023}} = \frac{{10 \cdot 1,25 + 20 \cdot 1,75 + 25 \cdot 2,25 + 18 \cdot 2,75 + 15 \cdot 3,25 + 12 \cdot 3,75}}{{100}} = 2,47{\rm{\;kg}}\).

Phương sai năm 2023:

\(s_{2023}^2 = \frac{{10{{\left( {1,25 - 2,47} \right)}^2} + 20{{\left( {1,75 - 2,47} \right)}^2} + \ldots + 12{{\left( {3,75 - 2,47} \right)}^2}}}{{100}} = 0,5666\).

Phương sai năm 2024:

\(s_{2024}^2 = \frac{{14{{\left( {1,25 - 2,33} \right)}^2} + 20{{\left( {1,75 - 2,33} \right)}^2} + \ldots + 6{{\left( {3,75 - 2,33} \right)}^2}}}{{100}} = 0,4836\).

Vì \(s_{2024}^2 < s_{2023}^2\) nên dữ liệu năm 2024 có độ phân tán nhỏ hơn, tức là đồng đều hơn dữ liệu năm 2023. Do đó phát biểu “năm 2023 đồng đều hơn” là Sai.

Biến đổi hàm số: \(y = \frac{{{x^2} - 2x + 1}}{{x - 2}} = x + \frac{1}{{x - 2}}\).

a) ĐÚNG. Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = - \infty \) nên \(x = 2\) là tiệm cận đứng.

b) ĐÚNG. Cho \(x = 0 \Rightarrow y = \frac{{{0^2} - 2 \cdot 0 + 1}}{{0 - 2}} = - \frac{1}{2}\). Do đó đồ thị cắt trục tung tại \(\left( {0; - \frac{1}{2}} \right)\).

c) SAI. Đạo hàm: \(y' = 1 - \frac{1}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2} - 1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\); \(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} = 1}\\{{x_2} = 3}\end{array}} \right.\).

Theo định lý Vi-ét, tổng hai nghiệm cực trị phải là \({x_1} + {x_2} = 4\). Do đó khẳng định bằng \( - 4\) là sai.

d) SAI. Hàm số có tiệm cận đứng là \(x = 2\) và tiệm cận xiên là \(y = x\). Giao điểm của hai đường tiệm cận là \(I\left( {2;2} \right)\), đây mới chính là tâm đối xứng của đồ thị hàm số bậc hai trên bậc nhất. Điểm đề bài cho là \(I\left( {2;1} \right)\) là sai.

a) ĐÚNG. Theo lý thuyết kinh tế và định nghĩa, hàm lợi nhuận bằng doanh thu trừ đi chi phí:

\(P\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right)\).

b) SAI. Ta có \(R\left( x \right) = \int {R'\left( x \right){\rm{d}}} x = \int {\left( {278 - 2x} \right){\rm{d}}} x = 278x - {x^2} + {C_1}\).

Biết \(R\left( 5 \right) = 1465 \Rightarrow 278 \cdot 5 - {5^2} + {C_1} = 1465 \Leftrightarrow 1390 - 25 + {C_1} = 1465 \Rightarrow {C_1} = 100\).

Vậy \(R\left( x \right) = 278x - {x^2} + 100\).

c) ĐÚNG. Ta có \(C\left( x \right) = \int {C'\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( {\frac{6}{5}{x^2} - 2x + 8} \right){\rm{d}}x} = \frac{2}{5}{x^3} - {x^2} + 8x + {C_2}\).

Biết \(C\left( 5 \right) = 900 \Rightarrow \frac{2}{5} \cdot {5^3} - {5^2} + 8 \cdot 5 + {C_2} = 900 \Leftrightarrow 50 - 25 + 40 + {C_2} = 900 \Rightarrow {C_2} = 835\).

Vậy \(C\left( x \right) = \frac{2}{5}{x^3} - {x^2} + 8x + 835\).

d) SAI. Hàm lợi nhuận biên là: \(P'\left( x \right) = R'\left( x \right) - C'\left( x \right) = \left( {278 - 2x} \right) - \left( {\frac{6}{5}{x^2} - 2x + 8} \right) = - \frac{6}{5}{x^2} + 270\).

\(P'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - \frac{6}{5}{x^2} + 270 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 225 \Rightarrow x = 15 \in \left[ {0;24} \right]\).

Vì \(P'\left( x \right)\) đổi dấu từ dương sang âm khi qua \(x = 15\), nên hàm số đạt cực đại tại \(x = 15\).

Hàm lợi nhuận: \(P\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right) = - \frac{2}{5}{x^3} + 270x - 735\).

Lợi nhuận lớn nhất đạt được tại \(x = 15\): \(P\left( {15} \right) = - \frac{2}{5} \cdot {15^3} + 270 \cdot 15 - 740 = 1965{\rm{\;USD}}\).

a) SAI. Độ cao của quả cầu chính là cao độ \(z\) của điểm \(A\). Tại thời điểm bắt đầu đập, quả cầu ở vị trí \(A\) có \(z = \frac{5}{2} = 2,5\) mét, không phải \(2\) mét.

b) ĐÚNG. Sân dài 13 m, lưới nằm chính giữa chia sân thành hai nửa bằng nhau theo chiều dài (trục \(Ox\)). Do đó mặt phẳng lưới song song với mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) và cắt trục \(Ox\) tại trung điểm của chiều dài sân, tức là có phương trình \(x = \frac{{13}}{2}\).

c) ĐÚNG. Độ dài của vectơ \(\vec u\) là \(\left| {\vec u} \right| = \sqrt {{{\left( {\frac{{11}}{2}} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} = \sqrt {\frac{{121}}{4} + 2} = \sqrt {\frac{{129}}{4}} = \frac{{\sqrt {129} }}{2}\).

Vì \(\vec v\) ngược hướng với \(\vec u\) và có độ lớn bằng \(\sqrt {129} \) nên:

\(\vec v = - \frac{{\left| {\vec v} \right|}}{{\left| {\vec u} \right|}} \cdot \vec u = - \frac{{\sqrt {129} }}{{\frac{{\sqrt {129} }}{2}}} \cdot \vec u = - 2\vec u = - 2\left( {\frac{{11}}{2}; - 1;1} \right) = \left( { - 11;2; - 2} \right)\).

d) ĐÚNG. Phương trình đường thẳng quỹ đạo bay của quả cầu đi qua \(A\left( {12;2;\frac{5}{2}} \right)\) và có VTCP \(\vec v = \left( { - 11;2; - 2} \right)\) là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 12 - 11t}\\{y = 2 + 2t}\\{z = \frac{5}{2} - 2t}\end{array}} \right.\).

Tìm giao điểm với mặt phẳng lưới \(x = \frac{{13}}{2} = 6,5\): \(12 - 11t = 6,5 \Leftrightarrow 11t = 5,5 \Leftrightarrow t = 0,5\).

Tại \(t = 0,5\), tọa độ quả cầu khi tới mặt phẳng chứa lưới là: \(y = 2 + 2 \cdot 0,5 = 3,\quad z = \frac{5}{2} - 2 \cdot 0,5 = 1,5\).

Lưới cầu lông có chiều rộng \(0,8\) mét, mép dưới cách mặt đất \(0,75\) mét \( \Rightarrow \) phần lưới che phủ không gian từ độ cao \(0,75\) mét đến \(0,75 + 0,8 = 1,55\) mét.

Vì tại lưới quả cầu có độ cao \(z = 1,5\) mét nằm trong khoảng \(\left[ {0,75;1,55} \right]\) nên quả cầu đã bay trúng vào lưới và bị chặn lại.

Hàm số nhiệt độ \(f\left( t \right)\) là một nguyên hàm của hàm tốc độ biến thiên \(f'\left( t \right)\):

\[f\left( t \right) = \int {\left[ {{A_0} \cdot {{\left( {\frac{4}{5}} \right)}^t} \cdot \ln \frac{4}{5}} \right]\,{\rm{d}}t} = {A_0} \cdot {\left( {\frac{4}{5}} \right)^t} + C\].

Theo đề bài, ta có hệ phương trình tại \(t = 2\) và \(t = 3\): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{A_0} \cdot {{\left( {\frac{4}{5}} \right)}^2} + C = 25,6}\\{{A_0} \cdot {{\left( {\frac{4}{5}} \right)}^3} + C = 20,48}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0,64{A_0} + C = 25,6}\\{0,512{A_0} + C = 20,48}\end{array}} \right.\).

Giải hệ phương trình ta được: \({A_0} = 40\).

Đáp án: 40.

Đổi vận tốc sang đơn vị km/phút:

• Vận tốc máy bay 1: \({v_1} = \frac{{800}}{{60}} = \frac{{40}}{3}\) km/phút.
• Vận tốc máy bay 2: \({v_2} = \frac{{750}}{{60}} = \frac{{25}}{2}\) km/phút.

Vectơ chỉ phương đơn vị (chỉ hướng chuyển động):

• Máy bay 1: \(\left| {{{\vec u}_1}} \right| = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} = 5 \Rightarrow {\vec e_1} = \left( {\frac{3}{5}; - \frac{4}{5};0} \right)\).
• Máy bay 2: \(\left| {{{\vec u}_2}} \right| = \sqrt {{4^2} + {3^2}} = 5 \Rightarrow {\vec e_2} = \left( {\frac{4}{5};\frac{3}{5};0} \right)\).

Vectơ vận tốc theo thời gian \(t\) (phút):

• \({\vec v_1} = {v_1} \cdot {\vec e_1} = \frac{{40}}{3} \cdot \left( {\frac{3}{5}; - \frac{4}{5};0} \right) = \left( {8; - \frac{{32}}{3};0} \right)\).
• \({\vec v_2} = {v_2} \cdot {\vec e_2} = \frac{{25}}{2} \cdot \left( {\frac{4}{5};\frac{3}{5};0} \right) = \left( {10;\frac{{15}}{2};0} \right)\).

Tọa độ của hai máy bay sau \(t\) phút: \({M_1}\left( {100 + 8t;150 - \frac{{32}}{3}t;10} \right)\); \({M_2}\left( { - 100 + 10t;100 + \frac{{15}}{2}t;11} \right)\).

Vectơ nối hai máy bay \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left( { - 200 + 2t; - 50 + \frac{{109}}{6}t;1} \right)\).

Bình phương khoảng cách \({d^2} = {\left( { - 200 + 2t} \right)^2} + {\left( { - 50 + \frac{{109}}{6}t} \right)^2} + 1\).

Để \({d^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất thì đạo hàm theo \(t\) phải bằng 0:

\({\left[ {{d^2}\left( t \right)} \right]^\prime } = 2\left( {2t - 200} \right) \cdot 2 + 2\left( {\frac{{109}}{6}t - 50} \right) \cdot \frac{{109}}{6} = 0\)\( \Leftrightarrow 8t - 800 + 2 \cdot \frac{{11881}}{{36}}t - \frac{{5450}}{3} = 0 \Rightarrow t \approx 3,9{\rm{\;ph\'u t}}\).

Đáp án: 3,9.

Tìm giao điểm \(M\): Chuyển phương trình \(d\) về dạng phương trình tham số: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + 2t\\y = 1 + 2t\\z = t\end{array} \right.\).

Thay vào phương trình \(\left( P \right)\): \(\left( { - 2 + 2t} \right) + \left( {1 + 2t} \right) + t + 6 = 0 \Leftrightarrow 5t + 5 = 0 \Leftrightarrow t = - 1\).

Suy ra tọa độ điểm \(M\left( { - 4; - 1; - 1} \right)\).

Tìm vectơ chỉ phương \({\vec u_{\rm{\Delta }}}\) của đường thẳng \({\rm{\Delta }}\):

Do \({\rm{\Delta }} \subset \left( P \right) \Rightarrow {\vec u_{\rm{\Delta }}} \bot {\vec n_P} = \left( {1;1;1} \right)\).

Do \({\rm{\Delta }} \bot d \Rightarrow {\vec u_{\rm{\Delta }}} \bot {\vec u_d} = \left( {2;2;1} \right)\).

Suy ra: \({\vec u_{\rm{\Delta }}} = \left[ {{{\vec n}_P},{{\vec u}_d}} \right] = \left( {1 \cdot 1 - 1 \cdot 2;1 \cdot 2 - 1 \cdot 1;1 \cdot 2 - 1 \cdot 2} \right) = \left( { - 1;1;0} \right)\).

Phương trình tham số của đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) qua \(M\left( { - 4; - 1; - 1} \right)\) có VTCP \({\vec u_{\rm{\Delta }}} = \left( { - 1;1;0} \right)\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 4 - t'\\y = - 1 + t'\\z = - 1\end{array} \right.\).

Vì đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) đi qua \(N\left( {2;b;c} \right)\), thay hoành độ \(x = 2\) vào phương trình đường thẳng:

\(2 = - 4 - t' \Leftrightarrow t' = - 6\).

Từ đó tính được các tọa độ còn lại của \(N\): \(b = - 1 + \left( { - 6} \right) = - 7\) và \(c = - 1\).

Tích \(T = b \cdot c = \left( { - 7} \right) \cdot \left( { - 1} \right) = 7\).

Đáp án: 7.

Từ đồ thị ở hình vẽ, ta xác định được các đường tiệm cận của đồ thị hàm số:

• Tiệm cận đứng: \(x = - 1\).
• Tiệm cận ngang: \(y = - 2\).

Dựa vào công thức tiệm cận của hàm bậc nhất trên bậc nhất:

• Tiệm cận đứng \(x = - \frac{d}{c} = - 1 \Rightarrow d = c\).
• Tiệm cận ngang \(y = \frac{a}{c} = - 2 \Rightarrow a = - 2c\).

Đồ thị đi qua điểm \(A\left( {0;1} \right) \Rightarrow f\left( 0 \right) = \frac{b}{d} = 1 \Rightarrow b = d = c\).

Thay các hệ số theo \(c\) vào hàm số: \(f\left( x \right) = \frac{{ - 2cx + c}}{{cx + c}} = \frac{{ - 2x + 1}}{{x + 1}}\).

Tính đạo hàm \(f'\left( x \right) = \frac{{\left( { - 2} \right) \cdot 1 - 1 \cdot 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\).

Giá trị đạo hàm tại \(x = 0\) là: \(f'\left( 0 \right) = \frac{{ - 3}}{{{{\left( {0 + 1} \right)}^2}}} = - 3\).

Đáp án: −3.

Tìm tọa độ trung điểm \(M\) của đoạn thẳng \(BC\):

\({x_M} = \frac{{3 + 1}}{2} = 2,\quad {y_M} = \frac{{5 + 1}}{2} = 3,\quad {z_M} = \frac{{ - 4 - 2}}{2} = - 3 \Rightarrow M\left( {2;3; - 3} \right)\).

Tính các vectơ \(\overrightarrow {MA} \) và \(\overrightarrow {MB} \):

\(\overrightarrow {MA} = \left( {3 - 2; - 2 - 3;3 - \left( { - 3} \right)} \right) = \left( {1; - 5;6} \right)\)

\(\overrightarrow {MB} = \left( {3 - 2;5 - 3; - 4 - \left( { - 3} \right)} \right) = \left( {1;2; - 1} \right)\)

Tính cosin của góc \(\widehat {AMB}\) bằng công thức góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {MA} \) và \(\overrightarrow {MB} \):

\(\cos \widehat {AMB} = \frac{{\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} }}{{\left| {\overrightarrow {MA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {MB} } \right|}}\)

Tích vô hướng: \(\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} = 1 \cdot 1 + \left( { - 5} \right) \cdot 2 + 6 \cdot \left( { - 1} \right) = 1 - 10 - 6 = - 15\).

Độ dài các đoạn thẳng:

\(\left| {\overrightarrow {MA} } \right| = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2} + {6^2}} = \sqrt {1 + 25 + 36} = \sqrt {62} \)

\(\left| {\overrightarrow {MB} } \right| = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = \sqrt {1 + 4 + 1} = \sqrt 6 \)

Suy ra: \(\cos \widehat {AMB} = \frac{{ - 15}}{{\sqrt {62} \cdot \sqrt 6 }} = \frac{{ - 15}}{{\sqrt {372} }}\).

Do đó \(\widehat {AMB} \approx 141^\circ \).

Đáp án: 141.

Tại thời điểm \(t = 0\), xe đứng yên \( \Rightarrow v\left( 0 \right) = d = 0\).

Sử dụng dữ kiện tại các thời điểm \(t = 1,2,3\), ta thu được hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn \(a,b,c\):

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \cdot {1^3} + b \cdot {1^2} + c \cdot 1 = 6}\\{a \cdot {2^3} + b \cdot {2^2} + c \cdot 2 = 16}\\{a \cdot {3^3} + b \cdot {3^2} + c \cdot 3 = 26}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a + b + c = 6}\\{8a + 4b + 2c = 16}\\{27a + 9b + 3c = 26}\end{array}} \right.\)

Giải hệ phương trình trên bằng phương pháp bấm máy tính Casio ta được: \(a = - \frac{2}{3},\quad b = 4,\quad c = \frac{8}{3}\).

Vậy \(v\left( t \right) = - \frac{2}{3}{t^3} + 4{t^2} + \frac{8}{3}t\).

Tại \(t = 5\) giây ta có \(v\left( 5 \right) = - \frac{2}{3} \cdot {5^3} + 4 \cdot {5^2} + \frac{8}{3} \cdot 5 = 30{\rm{\;m/s}}\).

Đáp án: 30.