Đề thi cuối kì 1 Toán 11 năm 2025-2026 THPT Trường Chinh (TP.HCM) có đáp án
21 câu hỏi
PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3 điểm)
Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi học sinh chỉ chọn một phương án.
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = - 5\) và \(d = 3\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
\({u_{15}} = 34\).
\({u_{13}} = 31\).
\({u_{15}} = 45\).
\({u_{10}} = 35\).
Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\).
Kiểm tra phương án A và C với \(n = 15\): \({u_{15}} = - 5 + \left( {15 - 1} \right) \cdot 3 = - 5 + 42 = 37\). (Loại cả A và C)
Kiểm tra phương án B với \(n = 13\): \({u_{13}} = - 5 + \left( {13 - 1} \right) \cdot 3 = - 5 + 36 = 31\). (Đúng)
Chọn B.
Góc có số đo \(108^\circ \) đổi ra radian là:
\(\frac{{3\pi }}{5}\).
\(\frac{\pi }{5}\).
\(\frac{{4\pi }}{5}\).
\(\frac{\pi }{{10}}\).
Ta có \(\alpha = 108 \cdot \frac{\pi }{{180}} = \frac{{3\pi }}{5}\).
Chọn A.
Bảng sau đây là thống kê về việc trồng lúa của một xã A:
Năng suất (tấn/ha) | \(\left[ {3;4} \right)\) | \(\left[ {4;5} \right)\) | \(\left[ {5;6} \right]\) |
Số hộ gia đình | 30 | 40 | 20 |
Tìm số trung bình (làm tròn kết quả đến hai chữ số sau dấu phẩy).
4,4.
4,50.
4,38.
4,39.
Tổng số hộ gia đình là: \(N = 30 + 40 + 20 = 90\).
Giá trị đại diện của các nhóm lần lượt là:
- Nhóm \(\left[ {3;4} \right)\): \({x_1} = \frac{{3 + 4}}{2} = 3,5\).
- Nhóm \(\left[ {4;5} \right)\): \({x_2} = \frac{{4 + 5}}{2} = 4,5\).
- Nhóm \(\left[ {5;6} \right]\): \({x_3} = \frac{{5 + 6}}{2} = 5,5\).
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\(\bar x = \frac{{30 \cdot 3,5 + 40 \cdot 4,5 + 20 \cdot 5,5}}{{90}} = \frac{{105 + 180 + 110}}{{90}} = \frac{{395}}{{90}} \approx 4,3889 \approx 4,39\).
Chọn D.
Khảo sát thời gian tập thể dục của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:
Thời gian (phút) | \(\left[ {0;20} \right)\) | \(\left[ {20;40} \right)\) | \(\left[ {40;60} \right)\) | \(\left[ {60;80} \right)\) | \(\left[ {80;100} \right)\) |
Số học sinh | 5 | 9 | 12 | 10 | 6 |
Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu trên là:
\(\left[ {40;60} \right)\).
\(\left[ {80;100} \right)\).
\(\left[ {60;80} \right)\).
\(\left[ {20;40} \right)\).
Tổng số học sinh là: \(N = 5 + 9 + 12 + 10 + 6 = 42\).
Vị trí của trung vị là \(\frac{N}{2} = \frac{{42}}{2} = 21\).
Ta tính tần số tích lũy:
- Nhóm \(\left[ {0;20} \right)\): \(c{f_1} = 5\).
- Nhóm \(\left[ {20;40} \right)\): \(c{f_2} = 5 + 9 = 14\).
- Nhóm \(\left[ {40;60} \right)\): \(c{f_3} = 14 + 12 = 26\).
Vì \(14 < 21 \le 26\) nên trung vị thuộc nhóm thứ ba, tức là nhóm \(\left[ {40;60} \right)\).
Chọn A.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 2}}}&{{\rm{khi\;}}x \ne 2}\\a&{{\rm{khi\;}}x = 2}\end{array}} \right.\). Hàm số liên tục tại \(x = 2\) khi \(a\) bằng:
2.
−1.
1.
0.
Hàm số liên tục tại \(x = 2\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\).
Ta có \(f\left( 2 \right) = a\).
Tính giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x - 1} \right) = 1\).
Do đó, \(a = 1\).
Chọn C.
Giới hạn \(\lim \frac{{3n - 7}}{{2{n^2} + 3n - 1}}\) bằng:
\(\frac{{ - 3}}{2}\).
0.
3.
\(\frac{3}{2}\).
Chia cả tử và mẫu cho \({n^2}\) (bậc cao nhất của mẫu): \({\rm{lim\;}}\frac{{3n - 7}}{{2{n^2} + 3n - 1}} = {\rm{lim\;}}\frac{{\frac{3}{n} - \frac{7}{{{n^2}}}}}{{2 + \frac{3}{n} - \frac{1}{{{n^2}}}}} = \frac{{0 - 0}}{{2 + 0 - 0}} = 0\).
Chọn B.
Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 2x + 3}}{{x + 1}}\) bằng?
1.
3.
0.
2.
Thay trực tiếp \(x = 1\) vào biểu thức vì mẫu số không triệt tiêu: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 2x + 3}}{{x + 1}} = \frac{{{1^2} - 2 \cdot 1 + 3}}{{1 + 1}} = \frac{2}{2} = 1\).
Chọn A.
Cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng tổng quát là \({u_n} = \frac{3}{5} \cdot {2^{n - 1}}\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}\). Số hạng đầu tiên và công bội của cấp số nhân đó là:
\({u_1} = \frac{6}{5},q = 2\).
\({u_1} = \frac{3}{5},q = - 2\).
\({u_1} = \frac{3}{5},q = 2\).
\({u_1} = \frac{6}{5},q = - 2\).
Số hạng đầu tiên (\(n = 1\)): \({u_1} = \frac{3}{5} \cdot {2^{1 - 1}} = \frac{3}{5} \cdot 1 = \frac{3}{5}\).
Số hạng thứ hai (\(n = 2\)): \({u_2} = \frac{3}{5} \cdot {2^{2 - 1}} = \frac{6}{5}\).
Công bội: \(q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{6/5}}{{3/5}} = 2\).
Chọn C.
Giải phương trình \(\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi }\\{x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi }\end{array}} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi }\\{x = - \frac{\pi }{4} + k\pi }\end{array}} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = \pm \frac{{5\pi }}{6} + k\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = \pm \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Ta có \( - \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \cos \frac{{5\pi }}{6}\). Khi đó phương trình tương đương với:
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - \frac{\pi }{3} = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi }\\{2x - \frac{\pi }{3} = - \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi }\\{2x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi }\\{x = - \frac{\pi }{4} + k\pi }\end{array}\quad \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.\).
Chọn B.
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
Qua 2 điểm phân biệt có duy nhất một mặt phẳng.
Qua 3 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng.
Qua 4 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng.
Qua 3 điểm phân biệt không thẳng hàng có duy nhất một mặt phẳng.
Theo tính chất thừa nhận của hình học không gian: Qua ba điểm không thẳng hàng có một và chỉ một mặt phẳng.
Chọn D.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành. \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(SB\) và \(SD\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
\(MN{\rm{//}}\left( {SAB} \right)\).
\(MN{\rm{//}}\left( {SBD} \right)\).
\(MN{\rm{//}}\left( {ABCD} \right)\).
\(MN{\rm{//}}\left( {SCD} \right)\).
Xét tam giác \(SBD\), ta có \(M\) là trung điểm của \(SB\) và \(N\) là trung điểm của \(SD\).
Do đó, \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(SBD\), suy ra \(MN{\rm{//}}BD\).
Mà \(BD \subset \left( {ABCD} \right)\) và \(MN \not\subset \left( {ABCD} \right)\) nên \(MN{\rm{//}}\left( {ABCD} \right)\).
Chọn C.
Trong các công thức sau, công thức nào đúng?
\(\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b - \cos a\sin b\).
\(\cos \left( {a - b} \right) = \cos a\cos b - \sin a\sin b\).
\(\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b + \sin a\sin b\).
\(\sin \left( {a - b} \right) = \sin a\cos b - \cos a\sin b\).
Theo công thức cộng đối với hàm số lượng giác: \(\sin \left( {a - b} \right) = \sin a\cos b - \cos a\sin b\).
Chọn D.
PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (2 điểm)
Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, học sinh chọn Đúng hoặc Sai.
Cho hàm số: \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \frac{x}{2}}&{{\rm{khi\;}}x \le 1}\\{\frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}}}&{{\rm{khi\;}}x > 1}\end{array}} \right.\quad {\rm{và }}\quad g\left( x \right) = {x^2} - 3x + 1\).
Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \frac{1}{2}\).
Hàm số \(g\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).
Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right) = \frac{1}{2}\).
Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).
a) Sai. \[\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x - 2}}{{x + 1}} = - \frac{1}{2}\].
b) Đúng. Hàm số \(g\left( x \right) = {x^2} - 3x + 1\) là hàm đa thức nên liên tục trên \(\mathbb{R}\), do đó nó liên tục tại \({x_0} = 1\).
Ta có: \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 1} g\left( x \right) = g\left( 1 \right) = {1^2} - 3 \cdot 1 + 1 = - 1\).
c) Sai. Theo tính toán ở trên, \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = - \frac{1}{2}\) và \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 1} g\left( x \right) = - 1\). Các giá trị này không bằng nhau.
d) Đúng. Ta có \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {1^ - }} \left( { - \frac{x}{2}} \right) = - \frac{1}{2}\).
Vì \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = - \frac{1}{2}\) nên \(\,\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = - \frac{1}{2}\).
Mặt khác, \(f\left( 1 \right) = - \frac{1}{2}\). Vì \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = - \frac{1}{2}\) nên hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại \({x_0} = 1\).
Cho dãy số hữu hạn gồm các số hạng: \( - 1;2;5;8;11;14;17\). Khi đó:
Dãy số đã cho không phải cấp số cộng.
Dãy số đã cho là cấp số cộng công sai \(d = 3\).
Dãy số đã cho là cấp số nhân.
Dãy số đã cho là cấp số nhân có công thức số hạng tổng quát \({u_n} = {2^{n + 1}}\).
Ta xét hiệu giữa hai số hạng liên tiếp của dãy số:
\(2 - \left( { - 1} \right) = 3;\quad 5 - 2 = 3;\quad 8 - 5 = 3;\quad 11 - 8 = 3;\quad 14 - 11 = 3;\quad 17 - 14 = 3\).
Hiệu số giữa hai số hạng liên tiếp luôn không đổi và bằng \(3\). Do đó, đây là một cấp số cộng với số hạng đầu \({u_1} = - 1\) và công sai \(d = 3\). Như vậy:
a) SAI; b) ĐÚNG; c) SAI; d) SAI.
PHẦN III. CÂU TRẢ LỜI NGẮN (2 điểm). Học sinh trả lời từ câu 1 tới câu 4.
Trong Vật lí, phương trình tổng quát của một vật dao động điều hòa cho bởi công thức \(x\left( t \right) = A\cos \left( {\omega \,t + \varphi } \right)\), trong đó \(t\) là thời điểm (tính bằng giây), \(x\left( t \right)\) là li độ của vật tại thời điểm \(t\), \(A\) là biên độ dao động \(\left( {A > 0} \right)\) và \(\varphi \in \left[ { - \pi ;\pi } \right]\) là pha ban đầu của dao động. Xét hai dao động điều hòa có phương trình: \({x_1}\left( t \right) = 2\cos \left( {\frac{\pi }{3}t + \frac{\pi }{6}} \right)\) (cm) và \({x_2}\left( t \right) = 2\cos \left( {\frac{\pi }{3}t - \frac{\pi }{3}} \right)\) (cm). Tìm biên độ của dao động tổng hợp \(x\left( t \right) = {x_1}\left( t \right) + {x_2}\left( t \right)\) (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Sử dụng công thức tổng thành tích cho hai hàm số côsin có cùng biên độ \({A_1} = {A_2} = 2\):
\(x\left( t \right) = 2\cos \left( {\frac{\pi }{3}t + \frac{\pi }{6}} \right) + 2\cos \left( {\frac{\pi }{3}t - \frac{\pi }{3}} \right) = 2 \cdot 2\cos \left[ {\frac{{\left( {\frac{\pi }{3}t + \frac{\pi }{6}} \right) - \left( {\frac{\pi }{3}t - \frac{\pi }{3}} \right)}}{2}} \right] \cdot \cos \left[ {\frac{{\left( {\frac{\pi }{3}t + \frac{\pi }{6}} \right) + \left( {\frac{\pi }{3}t - \frac{\pi }{3}} \right)}}{2}} \right]\)
\( = 4\cos \left( {\frac{{\frac{\pi }{2}}}{2}} \right) \cdot \cos \left( {\frac{\pi }{3}t - \frac{\pi }{{12}}} \right) = 4\cos \left( {\frac{\pi }{4}} \right) \cdot \cos \left( {\frac{\pi }{3}t - \frac{\pi }{{12}}} \right)\)\( = 4 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} \cdot \cos \left( {\frac{\pi }{3}t - \frac{\pi }{{12}}} \right) = 2\sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{3}t - \frac{\pi }{{12}}} \right)\).
Biên độ của dao động tổng hợp là: \(A = 2\sqrt 2 \approx 2,83{\rm{\;cm}}\).
Đáp số: 2,83.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{\sqrt {5x + 1} - \sqrt {4x + 4} }}{{2x - 6}}}&{{\rm{khi\;}}x > 3}\\{m - \frac{{21x}}{{16}}}&{{\rm{khi\;}}x \le 3}\end{array}} \right.\). Tìm giá trị \(m\) để hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \(x = 3\).
Hàm số liên tục tại \(x = 3\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = f\left( 3 \right)\).
Ta có: \[f\left( 3 \right) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = m - \frac{{21 \cdot 3}}{{16}} = m - \frac{{63}}{{16}}\].
Tính giới hạn bên phải: \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{\sqrt {5x + 1} - \sqrt {4x + 4} }}{{2x - 6}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{\left( {5x + 1} \right) - \left( {4x + 4} \right)}}{{2\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {5x + 1} + \sqrt {4x + 4} } \right)}}\)
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{x - 3}}{{2\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {5x + 1} + \sqrt {4x + 4} } \right)}}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{1}{{2\left( {\sqrt {5x + 1} + \sqrt {4x + 4} } \right)}} = \frac{1}{{2\left( {\sqrt {16} + \sqrt {16} } \right)}} = \frac{1}{{2\left( {4 + 4} \right)}} = \frac{1}{{16}}\].
Để hàm số liên tục tại \(x = 3\) thì \(m - \frac{{63}}{{16}} = \frac{1}{{16}} \Leftrightarrow m = \frac{1}{{16}} + \frac{{63}}{{16}} = \frac{{64}}{{16}} = 4\).
Đáp số: 4.
Cho mẫu số liệu ghép nhóm cho bởi bảng sau:
Nhóm | \(\left[ {5;10} \right)\) | \(\left[ {10;15} \right)\) | \(\left[ {15;20} \right)\) | \(\left[ {20;25} \right)\) |
Tần số | 18 | \(a\) | 13 | 18 |
Ước lượng số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm trên, ta được kết quả là \(\bar x = \frac{{103}}{7}\). Tìm tần số \(a\) của nhóm \(\left[ {10;15} \right)\), biết rằng \(a\) là số tự nhiên.
Xác định giá trị đại diện \({x_i}\) của từng nhóm:
- Nhóm \(\left[ {5;10} \right)\): \({x_1} = 7,5\).
- Nhóm \(\left[ {10;15} \right)\): \({x_2} = 12,5\).
- Nhóm \(\left[ {15;20} \right)\): \({x_3} = 17,5\).
- Nhóm \(\left[ {20;25} \right)\): \({x_4} = 22,5\).
Tổng số phần tử của mẫu: \(N = 18 + a + 13 + 18 = a + 49\).
Công thức số trung bình:
\(\bar x = \frac{{18 \cdot 7,5 + a \cdot 12,5 + 13 \cdot 17,5 + 18 \cdot 22,5}}{{a + 49}} = \frac{{135 + 12,5a + 227,5 + 405}}{{a + 49}} = \frac{{12,5a + 767,5}}{{a + 49}}\).
Theo đề bài ta có: \(\frac{{12,5a + 767,5}}{{a + 49}} = \frac{{103}}{7}\)\( \Leftrightarrow 7 \cdot \left( {12,5a + 767,5} \right) = 103 \cdot \left( {a + 49} \right)\)
\( \Leftrightarrow 87,5a + 5372,5 = 103a + 5047\)\( \Leftrightarrow 15,5a = 325,5 \Leftrightarrow a = 21\).
Đáp số: 21.
Một học sinh bắt đầu thực hiện kế hoạch tiết kiệm tiền để mua một món đồ công nghệ. Trong tuần đầu tiên, học sinh tiết kiệm được 20 nghìn đồng. Kể từ tuần thứ hai trở đi, mỗi tuần tiết kiệm được số tiền nhiều hơn 15 nghìn đồng so với tuần liền trước đó. Hỏi sau 16 tuần, học sinh đó sẽ tích lũy được tổng cộng bao nhiêu tiền (tính bằng đơn vị nghìn đồng)?
Số tiền tiết kiệm mỗi tuần lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu \({u_1} = 20\) và công sai \(d = 15\).
Tổng số tiền tích lũy được sau 16 tuần chính là tổng của 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng này:
\({S_{16}} = \frac{{16}}{2} \cdot \left[ {2 \cdot 20 + \left( {16 - 1} \right) \cdot 15} \right] = 8 \cdot \left[ {40 + 15 \cdot 15} \right] = 8 \cdot \left[ {40 + 225} \right] = 8 \cdot 265 = 2120\) (nghìn đồng).
Đáp số: 2120.
PHẦN IV. TỰ LUẬN (3 điểm). Học sinh trình bày Hướng dẫn giải vào giấy làm bài từ câu 1 tới câu 3.
Giải phương trình lượng giác: \(2\sin \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) - \sqrt 2 = 0\).
Ta có \(2\sin \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) - \sqrt 2 = 0\)\( \Leftrightarrow 2\sin \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = \sqrt 2 \Leftrightarrow \sin \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Vì \(\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \sin \left( {\frac{\pi }{4}} \right)\), phương trình trở thành: \(\sin \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{4}} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{2x - \frac{\pi }{6} = \pi - \frac{\pi }{4} + k2\pi }\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi }\\{2x = \frac{{11\pi }}{{12}} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{5\pi }}{{24}} + k\pi }\\{x = \frac{{11\pi }}{{24}} + k\pi }\end{array}\quad } \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {\frac{{5\pi }}{{24}} + k\pi ;\frac{{11\pi }}{{24}} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Tính giới hạn: \(\lim \frac{{{3^n} - 5 \cdot {6^n} + 1}}{{{6^n} + 2 \cdot {5^n}}}\).
Chia cả tử và mẫu của biểu thức cho \({6^n}\) (cơ số lớn nhất):
\({\rm{lim\;}}\frac{{{3^n} - 5 \cdot {6^n} + 1}}{{{6^n} + 2 \cdot {5^n}}} = {\rm{lim\;}}\frac{{\frac{{{3^n}}}{{{6^n}}} - 5 \cdot \frac{{{6^n}}}{{{6^n}}} + \frac{1}{{{6^n}}}}}{{\frac{{{6^n}}}{{{6^n}}} + 2 \cdot \frac{{{5^n}}}{{{6^n}}}}} = {\rm{lim\;}}\frac{{{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n} - 5 + {{\left( {\frac{1}{6}} \right)}^n}}}{{1 + 2 \cdot {{\left( {\frac{5}{6}} \right)}^n}}}\).
Vì \({\rm{lim\;}}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} = 0\), \({\rm{lim\;}}{\left( {\frac{1}{6}} \right)^n} = 0\) và \({\rm{lim\;}}{\left( {\frac{5}{6}} \right)^n} = 0\) (do các cơ số đều có trị tuyệt đối nhỏ hơn 1), ta được:
\(\lim \frac{{{3^n} - 5 \cdot {6^n} + 1}}{{{6^n} + 2 \cdot {5^n}}}\)\( = \frac{{0 - 5 + 0}}{{1 + 2 \cdot 0}} = \frac{{ - 5}}{1} = - 5\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(M,N,Q\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(AB,CD,SA\).
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\).
b) Chứng minh \(SB{\rm{//}}\left( {MNQ} \right)\).
c) Tìm giao điểm của \(SD\) và mặt phẳng \(\left( {MNQ} \right)\).
a) Ta có \(S\) là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng: \(S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\).
Trong mặt phẳng đáy \(\left( {ABCD} \right)\), gọi \(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\).
Vì \(O \in AC \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right)\).
Vì \(O \in BD \subset \left( {SBD} \right) \Rightarrow O \in \left( {SBD} \right)\).
Suy ra \(O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\).
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng \(SO\), ta có \(\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO\).
b) Xét tam giác \(SAB\):
\(Q\) là trung điểm \(SA\), \(M\) là trung điểm \(AB\). Do đó \(QM\) là đường trung bình của tam giác \(SAB\).
Suy ra \(QM{\rm{//}}SB\).
Mặt khác, \(QM \subset \left( {MNQ} \right)\) và \(SB \not\subset \left( {MNQ} \right)\).
Từ đó suy ra \(SB{\rm{//}}\left( {MNQ} \right)\).
c) Chọn mặt phẳng phụ chứa \(SD\) là \(\left( {SAD} \right)\).
Tìm giao tuyến của mặt phẳng phụ \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {MNQ} \right)\):
Ta có \(Q\) là điểm chung thứ nhất vì \(Q \in SA \subset \left( {SAD} \right)\) và \(Q \in \left( {MNQ} \right)\).
Xét tứ giác \(AMND\) trong mặt phẳng đáy \(\left( {ABCD} \right)\):
Ta có \(M\) là trung điểm \(AB\) nên \(AM = \frac{1}{2}AB\) và \(AM{\rm{//}}CD\).
\(N\) là trung điểm \(CD\) nên \(DN = \frac{1}{2}CD\).
Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AB = CD\) và \(AB{\rm{//}}CD\), do đó \(AM = DN\) và \(AM{\rm{//}}DN\).
Suy ra tứ giác \(AMND\) là hình bình hành, dẫn đến \(AD{\rm{//}}MN\).
Hai mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {MNQ} \right)\) có \(AD \subset \left( {SAD} \right)\), \(MN \subset \left( {MNQ} \right)\) và \(AD{\rm{//}}MN\).
Theo định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng song song hoặc cắt nhau, giao tuyến của \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {MNQ} \right)\) là đường thẳng đi qua \(Q\) và song song với \(AD\) (và \(MN\)). Gọi đường thẳng này là \(Qx\). Trong mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\), kẻ đường thẳng qua \(Q\) song song với \(AD\), cắt \(SD\) tại \(P\).
Khi đó, \(P\) chính là giao điểm của \(SD\) và mặt phẳng \(\left( {MNQ} \right)\).
Nhận xét thêm: Vì \(Q\) là trung điểm của \(SA\) và \(QP{\rm{//}}AD\) trong tam giác \(SAD\), nên \(QP\) là đường trung bình của tam giác \(SAD\). Do đó, giao điểm \(P\) chính là trung điểm của cạnh \(SD\).
