Đề thi cuối kì 1 Toán 11 năm 2025-2026 THPT Phùng Khắc Khoan (Thạch Thất-Hà Nội) có đáp án - mã đề 2345
21 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn một phương án.
Điểm khảo sát môn Toán của các học sinh lớp 11A được thống kê bởi mẫu số liệu ghép nhóm sau đây:
Điểm | \(\left[ {3;4} \right)\) | \(\left[ {4;5} \right)\) | \(\left[ {5;6} \right)\) | \(\left[ {6;7} \right)\) | \(\left[ {7;8} \right)\) | \(\left[ {8;9} \right)\) | \(\left[ {9;10} \right)\) |
Số học sinh | \(2\) | \(3\) | \(3\) | \(14\) | \(23\) | \(3\) | \(2\) |
Số học sinh có điểm thi dưới \(6\) là:
\(2\).
\(8\).
\(5\).
\(3\).
Các nhóm điểm nhỏ hơn \(6\) bao gồm các khoảng \(\left[ {3;4} \right)\), \(\left[ {4;5} \right)\) và \(\left[ {5;6} \right)\).
Tổng số học sinh có điểm thi dưới \(6\) là: \(N = 2 + 3 + 3 = 8\).
Chọn B.
\( - 135^\circ \).
\( - 315^\circ \).
\(45^\circ \).
\(405^\circ \).
Quan sát hình vẽ, góc quay từ tia đầu \(Ou\) đến tia cuối \(Ov\) theo chiều quay của kim đồng hồ (chiều âm) một góc có độ lớn: \(360^\circ - 45^\circ = 315^\circ \).
Do quay theo chiều âm nên số đo của góc lượng giác \(\left( {Ou,Ov} \right)\) bằng: \( - 315^\circ \).
Chọn B.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng tổng quát là \({u_n} = {n^2} + 2n\). Số hạng thứ \(10\) của dãy số là:
\({u_{10}} = 100\).
\({u_{10}} = 80\).
\({u_{10}} = 60\).
\({u_{10}} = 120\).
Thay \(n = 10\) vào công thức số hạng tổng quát \({u_n}\), ta có: \({u_{10}} = {10^2} + 2 \cdot 10 = 100 + 20 = 120\).
Chọn D.
Cho hình chóp \(S.ABC\). Trên cạnh \(SA,SB\) lần lượt lấy các điểm \(M,N\) sao cho hai đường thẳng \(MN\) và \(AB\) cắt nhau tại \(I\).
Điểm \(I\) không thuộc mặt phẳng nào sau đây?
\(\left( {ABC} \right)\).
\(\left( {SAB} \right)\).
\(\left( {SAC} \right)\).
\(\left( {CMN} \right)\).
Vì \(I \in AB\) và \(AB \subset \left( {ABC} \right)\) nên \(I \in \left( {ABC} \right)\).
Vì \(I \in AB\) và \(AB \subset \left( {SAB} \right)\) nên \(I \in \left( {SAB} \right)\).
Vì \(I \in MN\) và \(MN \subset \left( {CMN} \right)\) nên \(I \in \left( {CMN} \right)\).
Vì \(I \in AB\) (với \(I \ne A\)) và \(AB \cap \left( {SAC} \right) = \left\{ A \right\}\) nên \(I \notin \left( {SAC} \right)\).
Chọn C.
Giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + m}&{{\rm{khi\;}}x < 0}\\{{x^2} + x + 1}&{{\rm{khi\;}}x \ge 0}\end{array}} \right.\) liên tục tại điểm \({x_0} = 0\) là:
\(m = 1\).
\(m = \frac{1}{2}\).
\(m = 0\).
\(m = \frac{1}{4}\).
Ta có: \(f\left( 0 \right) = {0^2} + 0 + 1 = 1\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {{x^2} + x + 1} \right) = 1\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {x + m} \right) = m\).
Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại \({x_0} = 0\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow m = 1\).
Chọn A.
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\).
Hình chiếu song song của cạnh \(BC\) trên mặt phẳng \(\left( {A'B'C'D'} \right)\) theo phương \(AA'\) là:
\(A'D'\).
\(B'C'\).
\(A'B'\).
\(A'C'\).
Theo phương chiếu \(AA'\) (song song với các cạnh bên \(BB',CC'\)):
- Hình chiếu của điểm \(B\) lên mặt phẳng \(\left( {A'B'C'D'} \right)\) là điểm \(B'\).
- Hình chiếu của điểm \(C\) lên mặt phẳng \(\left( {A'B'C'D'} \right)\) là điểm \(C'\).
Do đó, hình chiếu song song của cạnh \(BC\) trên \(\left( {A'B'C'D'} \right)\) là đoạn thẳng \(B'C'\).
Chọn B.
Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{1 - 2n}}{{3n}}\) có giá trị bằng:
\(\frac{2}{3}\).
\( - \frac{1}{3}\).
\( - \frac{2}{3}\).
\(\frac{1}{3}\).
Chia cả tử và mẫu cho \(n\): \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{1 - 2n}}{{3n}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\frac{1}{n} - 2}}{3} = \frac{{0 - 2}}{3} = - \frac{2}{3}\).
Chọn C.
Cho hình chóp \(S.ABCD\), đáy \(ABCD\) là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song, điểm \(M\) là trung điểm của \(SD\). Giao điểm của đường thẳng \(AD\) và mặt phẳng \(\left( {MBC} \right)\) là giao điểm của đường thẳng \(AD\) với đường thẳng nào sau đây?
\(BC\).
\(MC\).
\(MB\).
\(SB\).
Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), hai đường thẳng \(AD\) và \(BC\) không song song nên cắt nhau tại một điểm \(K\).
Ta có: \(K \in AD\) và \(K \in BC \subset \left( {MBC} \right) \Rightarrow K \in \left( {MBC} \right)\).
Do đó, \(K\) chính là giao điểm của \(AD\) và mặt phẳng \(\left( {MBC} \right)\), tức là giao điểm của \(AD\) với \(BC\).
Chọn A.
\(\cos \left( {a - b} \right) = \cos a\cos b - \sin a\sin b\).
\(\cos \left( {a - b} \right) = \sin a\cos b - \cos a\sin b\).
\(\cos \left( {a - b} \right) = \sin a\cos b + \cos a\sin b\).
\(\cos \left( {a - b} \right) = \cos a\cos b + \sin a\sin b\).
Theo công thức cộng lượng giác đối với cosin: \(\cos \left( {a - b} \right) = \cos a\cos b + \sin a\sin b\).
Chọn D.
Xét các mệnh đề sau trong không gian:
(1) Hai đường thẳng song song thì đồng phẳng.
(2) Hai đường thẳng không song song thì cắt nhau.
(3) Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
(4) Hai đường thẳng cắt nhau thì không đồng phẳng.
Trong các mệnh đề đã cho, có bao nhiêu mệnh đề đúng?
\(4\).
\(3\).
\(2\).
\(1\).
- (1) Đúng: Hai đường thẳng song song luôn thuộc cùng một mặt phẳng.
- (2) Sai: Trong không gian, hai đường thẳng không song song có thể chéo nhau.
- (3) Đúng: Hai đường thẳng chéo nhau không cùng thuộc một mặt phẳng và không có điểm chung.
- (4) Sai: Hai đường thẳng cắt nhau xác định duy nhất một mặt phẳng (đồng phẳng).
Vậy có \(2\) mệnh đề đúng là (1) và (3).
Chọn C.
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(E,F\) lần lượt là trung điểm của \(AB,SB\). Đường thẳng \(EF\) song song với mặt phẳng nào sau đây?
\(\left( {SAC} \right)\).
\(\left( {SBC} \right)\).
\(\left( {SAB} \right)\).
\(\left( {ABC} \right)\).
Trong tam giác \(SAB\), \(E,F\) là trung điểm của \(AB\) và \(SB\) nên \(EF\) là đường trung bình. Suy ra \(EF{\rm{//}}SA\).
Mặt khác, \(SA \subset \left( {SAC} \right)\) và \(EF \not\subset \left( {SAC} \right)\). Vậy \(EF{\rm{//}}\left( {SAC} \right)\).
Chọn A.
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Mặt phẳng \(\left( {BA'C'} \right)\) song song với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau đây?
\(\left( {ADD'} \right)\).
\(\left( {ACD} \right)\).
\(\left( {DCD'} \right)\).
\(\left( {AD'C} \right)\).
Xét hai mặt phẳng \(\left( {BA'C'} \right)\) và \(\left( {AD'C} \right)\):
- Tứ giác \(ABC'D'\) là hình bình hành nên \(BC'{\rm{//}}AD'\).
- Tứ giác \(A'BCD'\) là hình bình hành nên \(A'B{\rm{//}}CD'\).
Ta có \(BC',A'B \subset \left( {BA'C'} \right)\) cắt nhau và lần lượt song song với \(AD',CD' \subset \left( {AD'C} \right)\).
Vậy \(\left( {BA'C'} \right){\rm{//}}\left( {AD'C} \right)\).
Chọn D.
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu hỏi, thí sinh chọn Đúng hoặc Sai.
Xét phương trình lượng giác \(\sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2}\).
Phương trình tương đương với \(\sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \frac{\pi }{3}\).
Nghiệm của phương trình là \(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \), \(x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là \(x = \frac{{7\pi }}{6}\).
Tổng các nghiệm của phương trình thuộc khoảng \(\left( {0;2\pi } \right)\) bằng \(\frac{{5\pi }}{3}\).
Ta có \(\frac{1}{2} = \sin \frac{\pi }{6}\). Do đó phương trình tương đương với:
\(\sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \frac{\pi }{6}\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\{x - \frac{\pi }{3} = \pi - \frac{\pi }{6} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{\pi }{2} + k2\pi }\\{x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi }\end{array}\quad } \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
a) Sai, vì \(\sin \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \ne \frac{1}{2}\).
b) Đúng, đây là họ nghiệm chính xác của phương trình.
c) Sai, ứng với \(k = 0\), hai nghiệm dương lần lượt là \(x = \frac{\pi }{2}\) và \(x = \frac{{7\pi }}{6}\).
Nghiệm dương nhỏ nhất là \(x = \frac{\pi }{2}\).
d) Đúng, các nghiệm thuộc \(\left( {0;2\pi } \right)\) bao gồm \({x_1} = \frac{\pi }{2}\) và \({x_2} = \frac{{7\pi }}{6}\). Tổng là\(\frac{\pi }{2} + \frac{{7\pi }}{6} = \frac{{5\pi }}{3}\).
Cấp số cộng có công sai là \(d = - 4\).
Số hạng đầu của cấp số cộng là \({u_1} = 10\).
Số hạng tổng quát của cấp số cộng là \({u_n} = - 4n + 6\).
Tổng 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là \({S_{15}} = - 270\).
a) Đúng. Công sai: \(d = {u_3} - {u_2} = 2 - 6 = - 4\).
b) Đúng. Số hạng đầu: \({u_1} = {u_2} - d = 6 - \left( { - 4} \right) = 10\).
c) Sai. Số hạng tổng quát: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 10 + \left( {n - 1} \right) \cdot \left( { - 4} \right) = - 4n + 14\).
d) Đúng. Tổng 15 số hạng đầu tiên:
\({S_{15}} = \frac{{15}}{2} \cdot \left[ {2{u_1} + \left( {15 - 1} \right)d} \right] = \frac{{15}}{2} \cdot \left[ {2 \cdot 10 + 14 \cdot \left( { - 4} \right)} \right] = \frac{{15}}{2} \cdot \left( { - 36} \right) = - 270\).
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4.
Rút gọn biểu thức \(A = \sin \left( {\frac{{2\pi }}{3} - \alpha } \right) - \sin \left( {\frac{{2\pi }}{3} + \alpha } \right)\) được kết quả là \(A = k \cdot \sin \alpha \) với \(k \in \mathbb{Z}\). Tìm \(k.\)
Áp dụng công thức biến đổi hiệu thành tích: \(\sin x - \sin y = 2\cos \left( {\frac{{x + y}}{2}} \right)\sin \left( {\frac{{x - y}}{2}} \right)\).
Ta có: \(A = 2\cos \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right)\sin \left( { - \alpha } \right)\)\( = 2 \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) \cdot \left( { - \sin \alpha } \right) = 1 \cdot \sin \alpha \).
Do đó \(k = 1\).
Đáp số: \(1\).
Trong hình dưới, khi vật \(A\) gắn ở đầu lò xo được kéo ra khỏi vị trí cân bằng ở điểm \(O\) và buông tay, lực đàn hồi của lò xo khiến vật \(A\) dao động quanh \(O\). Tọa độ \(s\) (cm) của vật \(A\) trên trục \(Ox\) vào thời điểm \(t\) (giây) sau khi buông tay được xác định bởi công thức \(s = 10\sin \left( {10t + \frac{\pi }{2}} \right)\). Hỏi trong \(8\) giây đầu tiên (\(0 \le t \le 8\)), có bao nhiêu thời điểm vật \(A\) ở xa vị trí cân bằng nhất?
Vật \(A\) ở xa vị trí cân bằng nhất khi \(\left| s \right|\) đạt giá trị lớn nhất:
\(\left| s \right| = 10 \Leftrightarrow \left| {\sin \left( {10t + \frac{\pi }{2}} \right)} \right| = 1\)\( \Leftrightarrow 10t + \frac{\pi }{2} = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow 10t = k\pi \Leftrightarrow t = \frac{{k\pi }}{{10}}\quad \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Vì \(0 \le t \le 8\), nên \(0 \le \frac{{k\pi }}{{10}} \le 8 \Leftrightarrow 0 \le k \le \frac{{80}}{\pi } \approx 25,46\).
Vì \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \left\{ {0;1;2; \ldots ;25} \right\}\).
Số giá trị nguyên của \(k\) là \(25 - 0 + 1 = 26\).
Đáp số: \(26\).
Doanh thu bán hàng trong 25 ngày của một cửa hàng được ghi lại ở bảng sau:
Doanh thu (triệu đồng) | \(\left[ {7;9} \right)\) | \(\left[ {9;11} \right)\) | \(\left[ {11;13} \right)\) | \(\left[ {13;15} \right)\) | \(\left[ {15;17} \right)\) |
Số ngày | 3 | 7 | 9 | 4 | 2 |
Hỏi doanh thu trung bình mỗi ngày của cửa hàng là bao nhiêu triệu đồng?
Tính giá trị đại diện \({x_i}\) của mỗi nhóm:
- \(\left[ {7;9} \right)\): \({x_1} = 8,{n_1} = 3\).
- \(\left[ {9;11} \right)\): \({x_2} = 10,{n_2} = 7\).
- \(\left[ {11;13} \right)\): \({x_3} = 12,{n_3} = 9\).
- \(\left[ {13;15} \right)\): \({x_4} = 14,{n_4} = 4\).
- \(\left[ {15;17} \right)\): \({x_5} = 16,{n_5} = 2\).
Doanh thu trung bình mỗi ngày là:
\(\bar x = \frac{{3 \cdot 8 + 7 \cdot 10 + 9 \cdot 12 + 4 \cdot 14 + 2 \cdot 16}}{{25}} = \frac{{24 + 70 + 108 + 56 + 32}}{{25}} = \frac{{290}}{{25}} = 11,6\).
Đáp số: \(11,6\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm của \(SB,SD\) và \(BC\). Gọi \(E\) là giao điểm của mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) với cạnh \(SA\). Biết tỉ số \(\frac{{SE}}{{EA}} = \frac{m}{n}\) (\(m,n \in {\mathbb{N}^*}\), \(\frac{m}{n}\) là phân số tối giản). Tính \(2m + n\).
Xác định giao điểm \(E\):
Trong , \(M,N\) là trung điểm của \(SB,SD \Rightarrow MN{\rm{//}}BD\).
Vì \(MN{\rm{//}}BD\) với \(BD \subset \left( {ABCD} \right)\), nên \(\left( {MNP} \right)\) cắt mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) theo giao tuyến \(d\) đi qua \(P\) và \(d{\rm{//}}BD\).
Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), đường thẳng qua \(P\) song song với \(BD\) cắt \(AC\) tại \(K\).
Gọi \(O = AC \cap BD\).
Trong mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\), gọi \(I = MN \cap SO \Rightarrow I\) là trung điểm của \(SO\).
Đường thẳng \(IK\) nằm trong mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) cắt \(SA\) tại điểm \(E\).
Ta có \(I \in MN \subset \left( {MNP} \right)\) và \(K \in d \subset \left( {MNP} \right)\), suy ra \(IK \subset \left( {MNP} \right)\). Vậy \(E\) là giao điểm của mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) với cạnh \(SA\).
Tính tỉ số \(\frac{{SE}}{{SA}}\):
Trong , \(O\) là trung điểm \(AC\), \(P\) là trung điểm \(BC\).
Đường thẳng \(PK{\rm{//}}BO\) cắt \(AC\) tại \(K \Rightarrow K\) là trung điểm của \(CO\).
Do đó: \(CK = \frac{1}{2}CO = \frac{1}{4}CA \Rightarrow AK = AC - CK = \frac{3}{4}AC\).
Suy ra tỉ số: \(\frac{{AK}}{{KO}} = \frac{{\frac{3}{4}AC}}{{\frac{1}{4}AC}} = 3\).
Xét tam giác \(SAO\) và đường thẳng \(E - I - K\) cắt \(SA,SO,AO\) lần lượt tại \(E,I,K\). Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác \(SAO\) ta được \(\frac{{SE}}{{EA}} \cdot \frac{{AK}}{{KO}} \cdot \frac{{OI}}{{IS}} = 1\).
Vì \(I\) là trung điểm \(SO \Rightarrow \frac{{OI}}{{IS}} = 1\). Thay các tỉ số vào: \(\frac{{SE}}{{EA}} \cdot 3 \cdot 1 = 1 \Rightarrow \frac{{SE}}{{EA}} = \frac{1}{3}\).
Suy ra \(m = 1,n = 3\).
Giá trị \(2m + n = 2 \cdot 1 + 3 = 5\).
Đáp số: \(5\).
PHẦN IV. Tự luận. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 3.
Một công ty mua một chiếc máy sản xuất với giá 800 triệu đồng. Giả sử cứ sau mỗi năm, giá trị của chiếc máy giảm đi 10% so với năm trước đó. Hỏi sau 10 năm kể từ khi mua, giá trị của chiếc máy đó là bao nhiêu triệu đồng (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?
Giá trị ban đầu của máy là \({V_0} = 800\) (triệu đồng).
Sau mỗi năm, giá trị còn lại bằng \(100\% - 10\% = 90\% = 0,9\) lần giá trị năm trước.
Giá trị của máy sau \(n\) năm lập thành một cấp số nhân \(\left( {{V_n}} \right)\) với \({V_0} = 800\) và công bội \(q = 0,9\).
Ta có \({V_n} = {V_0} \cdot {q^n} = 800 \cdot {\left( {0,9} \right)^n}\).
Sau 10 năm (\(n = 10\)), giá trị của máy là: \({V_{10}} = 800 \cdot {\left( {0,9} \right)^{10}} \approx 278,94275\).
Làm tròn đến hàng phần mười, giá trị của chiếc máy sau 10 năm là \(278,9\) triệu đồng.
Tìm các giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{x + \sqrt {2 - x} }}{{{x^2} - x - 6}}}&{{\rm{khi\;}}x < - 2}\\{{m^2}x + 1}&{{\rm{khi\;}}x \ge - 2}\end{array}} \right.\) có giới hạn hữu hạn khi \(x\) dần tới \( - 2\).
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \left( {{m^2}x + 1} \right) = - 2{m^2} + 1\);
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{x + \sqrt {2 - x} }}{{{x^2} - x - 6}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{\left( {x + \sqrt {2 - x} } \right)\left( {x - \sqrt {2 - x} } \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {x - \sqrt {2 - x} } \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {x - \sqrt {2 - x} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{x - 1}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - \sqrt {2 - x} } \right)}} = - \frac{3}{{20}}\).
Hàm số \(f\left( x \right)\) có giới hạn hữu hạn khi \(x \to - 2\) khi và chỉ khi\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f\left( x \right)\)
\( - 2{m^2} + 1 = - \frac{3}{{20}} \Leftrightarrow 2{m^2} = \frac{{23}}{{20}} \Leftrightarrow {m^2} = \frac{{23}}{{40}}\)\( \Leftrightarrow m = \pm \frac{{\sqrt {230} }}{{20}}\).
Vậy \(m = \pm \frac{{\sqrt {230} }}{{20}}\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật với \(AB = 8,AD = 5\). Gọi \(E\) là điểm thuộc cạnh \(SC\) sao cho \(CE = \frac{1}{3}SC\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \(AE\) và song song với \(BD\), cắt \(SB\) tại \(M\) và cắt \(SD\) tại \(H\). Tính độ dài đoạn thẳng \(MH\).
Gọi \(O = AC \cap BD\) là tâm hình chữ nhật \(ABCD\) và \(G = SO \cap AE\).
Trong mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\), kẻ đường thẳng \(d\) đi qua \(G\) và song song với \(BD\) cắt \(SB\), \(SD\) lần lượt tại \(M\) và \(H\).
Độ dài đường chéo hình chữ nhật \(ABCD\) là \(BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \sqrt {{8^2} + {5^2}} = \sqrt {89} \).
Kẻ \(EI{\rm{//}}SO\,\,\left( {I \in AC} \right)\). Ta có \(\frac{{CI}}{{CO}} = \frac{{CE}}{{CS}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{CI}}{{CA}} = \frac{1}{6} \Rightarrow \frac{{OG}}{{EI}} = \frac{{AO}}{{AI}} = \frac{3}{5}\).
Suy ra \(OG = \frac{3}{5}EI = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{3}SO = \frac{1}{5}SO\). Khi đó \(\frac{{MH}}{{BD}} = \frac{{SG}}{{SO}} = \frac{4}{5} \Rightarrow MH = \frac{4}{5}BD = \frac{{4\sqrt {89} }}{5}\).
Vây \(MH = \frac{{4\sqrt {89} }}{5}\).
