Đề thi cuối kì 1 Toán 11 năm 2025-2026 THPT Phùng Khắc Khoan (Thạch Thất-Hà Nội) có đáp án - mã đề 2345

• (1) Đúng: Hai đường thẳng song song luôn thuộc cùng một mặt phẳng.
• (2) Sai: Trong không gian, hai đường thẳng không song song có thể chéo nhau.
• (3) Đúng: Hai đường thẳng chéo nhau không cùng thuộc một mặt phẳng và không có điểm chung.
• (4) Sai: Hai đường thẳng cắt nhau xác định duy nhất một mặt phẳng (đồng phẳng).

Vậy có \(2\) mệnh đề đúng là (1) và (3).

Chọn C.

Trong tam giác \(SAB\), \(E,F\) là trung điểm của \(AB\) và \(SB\) nên \(EF\) là đường trung bình. Suy ra \(EF{\rm{//}}SA\).

Mặt khác, \(SA \subset \left( {SAC} \right)\) và \(EF \not\subset \left( {SAC} \right)\). Vậy \(EF{\rm{//}}\left( {SAC} \right)\).

Chọn A.

Xét hai mặt phẳng \(\left( {BA'C'} \right)\) và \(\left( {AD'C} \right)\):

• Tứ giác \(ABC'D'\) là hình bình hành nên \(BC'{\rm{//}}AD'\).
• Tứ giác \(A'BCD'\) là hình bình hành nên \(A'B{\rm{//}}CD'\).

Ta có \(BC',A'B \subset \left( {BA'C'} \right)\) cắt nhau và lần lượt song song với \(AD',CD' \subset \left( {AD'C} \right)\).

Vậy \(\left( {BA'C'} \right){\rm{//}}\left( {AD'C} \right)\).

Chọn D.

Ta có \(\frac{1}{2} = \sin \frac{\pi }{6}\). Do đó phương trình tương đương với:

\(\sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \frac{\pi }{6}\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\{x - \frac{\pi }{3} = \pi - \frac{\pi }{6} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{\pi }{2} + k2\pi }\\{x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi }\end{array}\quad } \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

a) Sai, vì \(\sin \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \ne \frac{1}{2}\).

b) Đúng, đây là họ nghiệm chính xác của phương trình.

c) Sai, ứng với \(k = 0\), hai nghiệm dương lần lượt là \(x = \frac{\pi }{2}\) và \(x = \frac{{7\pi }}{6}\).

Nghiệm dương nhỏ nhất là \(x = \frac{\pi }{2}\).

d) Đúng, các nghiệm thuộc \(\left( {0;2\pi } \right)\) bao gồm \({x_1} = \frac{\pi }{2}\) và \({x_2} = \frac{{7\pi }}{6}\). Tổng là\(\frac{\pi }{2} + \frac{{7\pi }}{6} = \frac{{5\pi }}{3}\).

a) Đúng. Công sai: \(d = {u_3} - {u_2} = 2 - 6 = - 4\).

b) Đúng. Số hạng đầu: \({u_1} = {u_2} - d = 6 - \left( { - 4} \right) = 10\).

c) Sai. Số hạng tổng quát: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 10 + \left( {n - 1} \right) \cdot \left( { - 4} \right) = - 4n + 14\).

d) Đúng. Tổng 15 số hạng đầu tiên:

\({S_{15}} = \frac{{15}}{2} \cdot \left[ {2{u_1} + \left( {15 - 1} \right)d} \right] = \frac{{15}}{2} \cdot \left[ {2 \cdot 10 + 14 \cdot \left( { - 4} \right)} \right] = \frac{{15}}{2} \cdot \left( { - 36} \right) = - 270\).

Áp dụng công thức biến đổi hiệu thành tích: \(\sin x - \sin y = 2\cos \left( {\frac{{x + y}}{2}} \right)\sin \left( {\frac{{x - y}}{2}} \right)\).

Ta có: \(A = 2\cos \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right)\sin \left( { - \alpha } \right)\)\( = 2 \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) \cdot \left( { - \sin \alpha } \right) = 1 \cdot \sin \alpha \).

Do đó \(k = 1\).

Đáp số: \(1\).

Vật \(A\) ở xa vị trí cân bằng nhất khi \(\left| s \right|\) đạt giá trị lớn nhất:

\(\left| s \right| = 10 \Leftrightarrow \left| {\sin \left( {10t + \frac{\pi }{2}} \right)} \right| = 1\)\( \Leftrightarrow 10t + \frac{\pi }{2} = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow 10t = k\pi \Leftrightarrow t = \frac{{k\pi }}{{10}}\quad \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Vì \(0 \le t \le 8\), nên \(0 \le \frac{{k\pi }}{{10}} \le 8 \Leftrightarrow 0 \le k \le \frac{{80}}{\pi } \approx 25,46\).

Vì \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \left\{ {0;1;2; \ldots ;25} \right\}\).

Số giá trị nguyên của \(k\) là \(25 - 0 + 1 = 26\).

Đáp số: \(26\).

Tính giá trị đại diện \({x_i}\) của mỗi nhóm:

• \(\left[ {7;9} \right)\): \({x_1} = 8,{n_1} = 3\).
• \(\left[ {9;11} \right)\): \({x_2} = 10,{n_2} = 7\).
• \(\left[ {11;13} \right)\): \({x_3} = 12,{n_3} = 9\).
• \(\left[ {13;15} \right)\): \({x_4} = 14,{n_4} = 4\).
• \(\left[ {15;17} \right)\): \({x_5} = 16,{n_5} = 2\).

Doanh thu trung bình mỗi ngày là:

\(\bar x = \frac{{3 \cdot 8 + 7 \cdot 10 + 9 \cdot 12 + 4 \cdot 14 + 2 \cdot 16}}{{25}} = \frac{{24 + 70 + 108 + 56 + 32}}{{25}} = \frac{{290}}{{25}} = 11,6\).

Đáp số: \(11,6\).

Xác định giao điểm \(E\):

Trong , \(M,N\) là trung điểm của \(SB,SD \Rightarrow MN{\rm{//}}BD\).

Vì \(MN{\rm{//}}BD\) với \(BD \subset \left( {ABCD} \right)\), nên \(\left( {MNP} \right)\) cắt mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) theo giao tuyến \(d\) đi qua \(P\) và \(d{\rm{//}}BD\).

Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), đường thẳng qua \(P\) song song với \(BD\) cắt \(AC\) tại \(K\).

Gọi \(O = AC \cap BD\).

Trong mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\), gọi \(I = MN \cap SO \Rightarrow I\) là trung điểm của \(SO\).

Đường thẳng \(IK\) nằm trong mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) cắt \(SA\) tại điểm \(E\).

Ta có \(I \in MN \subset \left( {MNP} \right)\) và \(K \in d \subset \left( {MNP} \right)\), suy ra \(IK \subset \left( {MNP} \right)\). Vậy \(E\) là giao điểm của mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) với cạnh \(SA\).

Tính tỉ số \(\frac{{SE}}{{SA}}\):

Trong , \(O\) là trung điểm \(AC\), \(P\) là trung điểm \(BC\).

Đường thẳng \(PK{\rm{//}}BO\) cắt \(AC\) tại \(K \Rightarrow K\) là trung điểm của \(CO\).

Do đó: \(CK = \frac{1}{2}CO = \frac{1}{4}CA \Rightarrow AK = AC - CK = \frac{3}{4}AC\).

Suy ra tỉ số: \(\frac{{AK}}{{KO}} = \frac{{\frac{3}{4}AC}}{{\frac{1}{4}AC}} = 3\).

Xét tam giác \(SAO\) và đường thẳng \(E - I - K\) cắt \(SA,SO,AO\) lần lượt tại \(E,I,K\). Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác \(SAO\) ta được \(\frac{{SE}}{{EA}} \cdot \frac{{AK}}{{KO}} \cdot \frac{{OI}}{{IS}} = 1\).

Vì \(I\) là trung điểm \(SO \Rightarrow \frac{{OI}}{{IS}} = 1\). Thay các tỉ số vào: \(\frac{{SE}}{{EA}} \cdot 3 \cdot 1 = 1 \Rightarrow \frac{{SE}}{{EA}} = \frac{1}{3}\).

Suy ra \(m = 1,n = 3\).

Giá trị \(2m + n = 2 \cdot 1 + 3 = 5\).

Đáp số: \(5\).

Giá trị ban đầu của máy là \({V_0} = 800\) (triệu đồng).

Sau mỗi năm, giá trị còn lại bằng \(100\% - 10\% = 90\% = 0,9\) lần giá trị năm trước.

Giá trị của máy sau \(n\) năm lập thành một cấp số nhân \(\left( {{V_n}} \right)\) với \({V_0} = 800\) và công bội \(q = 0,9\).

Ta có \({V_n} = {V_0} \cdot {q^n} = 800 \cdot {\left( {0,9} \right)^n}\).

Sau 10 năm (\(n = 10\)), giá trị của máy là: \({V_{10}} = 800 \cdot {\left( {0,9} \right)^{10}} \approx 278,94275\).

Làm tròn đến hàng phần mười, giá trị của chiếc máy sau 10 năm là \(278,9\) triệu đồng.

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \left( {{m^2}x + 1} \right) = - 2{m^2} + 1\);

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{x + \sqrt {2 - x} }}{{{x^2} - x - 6}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{\left( {x + \sqrt {2 - x} } \right)\left( {x - \sqrt {2 - x} } \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {x - \sqrt {2 - x} } \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {x - \sqrt {2 - x} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{x - 1}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - \sqrt {2 - x} } \right)}} = - \frac{3}{{20}}\).

Hàm số \(f\left( x \right)\) có giới hạn hữu hạn khi \(x \to - 2\) khi và chỉ khi\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f\left( x \right)\)

\( - 2{m^2} + 1 = - \frac{3}{{20}} \Leftrightarrow 2{m^2} = \frac{{23}}{{20}} \Leftrightarrow {m^2} = \frac{{23}}{{40}}\)\( \Leftrightarrow m = \pm \frac{{\sqrt {230} }}{{20}}\).

Vậy \(m = \pm \frac{{\sqrt {230} }}{{20}}\).

Gọi \(O = AC \cap BD\) là tâm hình chữ nhật \(ABCD\) và \(G = SO \cap AE\).

Trong mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\), kẻ đường thẳng \(d\) đi qua \(G\) và song song với \(BD\) cắt \(SB\), \(SD\) lần lượt tại \(M\) và \(H\).

Độ dài đường chéo hình chữ nhật \(ABCD\) là \(BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \sqrt {{8^2} + {5^2}} = \sqrt {89} \).

Kẻ \(EI{\rm{//}}SO\,\,\left( {I \in AC} \right)\). Ta có \(\frac{{CI}}{{CO}} = \frac{{CE}}{{CS}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{CI}}{{CA}} = \frac{1}{6} \Rightarrow \frac{{OG}}{{EI}} = \frac{{AO}}{{AI}} = \frac{3}{5}\).

Suy ra \(OG = \frac{3}{5}EI = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{3}SO = \frac{1}{5}SO\). Khi đó \(\frac{{MH}}{{BD}} = \frac{{SG}}{{SO}} = \frac{4}{5} \Rightarrow MH = \frac{4}{5}BD = \frac{{4\sqrt {89} }}{5}\).

Vây \(MH = \frac{{4\sqrt {89} }}{5}\).