Đề thi cuối kì 1 Toán 11 năm 2025-2026 THPT Nguyễn Thị Minh Khai (TP.HCM) có đáp án
12 câu hỏi
PHẦN A. TRẮC NGHIỆM (GỒM PHẦN I VÀ PHẦN II)
PHẦN I. Câu trắc nghiệm với nhiều phương án lựa chọn. Học sinh trả lời trên phần I của phiếu trả lời trắc nghiệm từ câu 1 đến câu 8. Mỗi câu hỏi, học sinh chỉ tô một đáp án duy nhất tương ứng với đáp án A, B, C, D.Trong các khẳng định về giới hạn của dãy số sau, khẳng định nào là đúng?
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {1^n} = 0\).
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{n} = 1\).
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {q^n} = 0\) với \(q > 1\).
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {q^n} = 0\) với \(\left| q \right| < 1\).
Theo lý thuyết giới hạn của dãy số cơ bản:
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {1^n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } 1 = 1 \ne 0\).
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{n} = 0 \ne 1\).
Nếu \(q > 1\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {q^n} = + \infty \).
Nếu \(\left| q \right| < 1\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {q^n} = 0\).
Chọn đáp án: D.
Cho góc lượng giác \(\alpha \) thoả \(90^\circ < \alpha < 180^\circ \). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng?
\(\tan \alpha < 0\).
\(\cos \alpha > 0\).
\(\sin \alpha < 0\).
\(\cot \alpha > 0\).
Với góc \(\alpha \) thuộc góc phần tư thứ II (\(90^\circ < \alpha < 180^\circ \)), ta có:
\(\sin \alpha > 0\); \(\cos \alpha < 0\); \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} < 0\); \(\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} < 0\).
Chọn đáp án: A.
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 1\) và \(q = 2\). Hỏi số \(1024\) là số hạng thứ mấy?
11.
9.
10.
8.
Số hạng tổng quát của cấp số nhân là: \({u_n} = {u_1} \cdot {q^{n - 1}}\).
Thay các giá trị đã cho vào ta có: \(1024 = 1 \cdot {2^{n - 1}} \Leftrightarrow {2^{10}} = {2^{n - 1}} \Leftrightarrow n - 1 = 10 \Leftrightarrow n = 11\).
Vậy số \(1024\) là số hạng thứ \(11\) của cấp số nhân.
Chọn đáp án: A.
Hàm số nào sau đây không liên tục trên \(\mathbb{R}\)?
\(y = {x^2} - 3x + 2\).
\(y = \frac{{3x}}{{x + 2}}\).
\(y = \cos x\).
\(y = \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}\).
Hàm đa thức \(y = {x^2} - 3x + 2\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Hàm phân thức \(y = \frac{{3x}}{{x + 2}}\) có tập xác định là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\), do đó nó không liên tục tại \(x = - 2\), tức là không liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Hàm lượng giác \(y = \cos x\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Hàm phân thức \(y = \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}\) có mẫu số \({x^2} + 1 > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\), tập xác định là \(D = \mathbb{R}\) nên liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Chọn đáp án: B.
Tìm tham số \(m\) để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}}}&{{\rm{khi\;}}x \ne - 2}\\m&{{\rm{khi\;}}x = - 2}\end{array}} \right.\) liên tục tại \({x_0} = - 2\).
\(m = 4\).
\(m = 0\).
\(m = 2\).
\(m = - 4\).
Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại \({x_0} = - 2\) khi và chỉ khi: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right)\).
Ta có: \(f\left( { - 2} \right) = m\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {x - 2} \right) = - 2 - 2 = - 4\).
Do đó, để hàm số liên tục tại \({x_0} = - 2\) thì \(m = - 4\).
Chọn đáp án: D.
Biểu thức \(\left( {\sin x\cos y - \cos x\sin y} \right)\) bằng
\(\sin \left( {y - x} \right)\).
\(\cos \left( {x - y} \right)\).
\(\sin \left( {x - y} \right)\).
\(\cos \left( {x + y} \right)\).
Sử dụng công thức cộng cho hàm số lượng giác sin: \(\sin \left( {a - b} \right) = \sin a\cos b - \cos a\sin b\).
Thay \(a = x\), \(b = y\), ta thu được: \(\sin x\cos y - \cos x\sin y = \sin \left( {x - y} \right)\).
Chọn đáp án: C.
Thời gian (đơn vị: giờ) tập thể dục thể thao của học sinh lớp 11T trong một tuần được cho ở bảng sau:
Thời gian (giờ) | \(\left[ {0;2} \right)\) | \(\left[ {2;4} \right)\) | \(\left[ {4;6} \right)\) | \(\left[ {6;8} \right)\) | \(\left[ {8;10} \right)\) |
Số học sinh | \(4\) | \(6\) | \(8\) | \(5\) | \(2\) |
Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm trên là
\(\left[ {0;2} \right)\).
\(\left[ {2;4} \right)\).
\(\left[ {6;8} \right)\).
\(\left[ {4;6} \right)\).
Tổng số học sinh (cỡ mẫu) là: \(N = 4 + 6 + 8 + 5 + 2 = 25\). Ta có \(\frac{N}{4} = \frac{{25}}{4} = 6,25\).
Ta lập bảng tần số tích lũy:
Nhóm \(\left[ {0;2} \right)\): tần số tích lũy là \(4\).
Nhóm \(\left[ {2;4} \right)\): tần số tích lũy là \(4 + 6 = 10\).
Do \(4 < 6,25 \le 10\), nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) là nhóm \(\left[ {2;4} \right)\).
Chọn đáp án: B.
Phương trình \(\sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) = 0\) có các nghiệm là
\(x = \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \frac{{5\pi }}{6} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Ta có: \(\sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow x - \frac{\pi }{3} = k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi \quad \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Chọn đáp án: C.
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Học sinh trả lời trên phần II của phiếu trả lời trắc nghiệm từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, học sinh tô vào ô tương ứng với đáp án đúng hoặc sai.
Do nhu cầu đi lại của gia đình, anh An quyết định thực hiện tích góp tiền để mua một chiếc ôtô điện Vinfast trị giá 1,259 tỉ đồng. Anh An tích góp thành hai đợt như sau:
Đợt thứ nhất: Biết rằng tháng thứ nhất anh An có một số tiền là \(a\) triệu đồng, sau đó anh An tích góp theo nguyên tắc tháng sau tích góp nhiều hơn tháng ngay trước đó một số tiền là 2 triệu đồng và cứ như thế đến tháng thứ 10 thì số tiền anh An phải tích góp là 21 triệu đồng. Hết đợt thứ nhất anh An tích góp được một số tiền là 624 triệu đồng.
Đợt thứ hai: Do muốn rút ngắn thời gian mua xe thì số tiền còn lại anh An tiếp tục tích góp với tháng thứ nhất là 5 triệu đồng và mỗi tháng tiếp theo số tiền tích góp gấp đôi tháng ngay trước nó.
Đợt thứ hai anh An tích góp tiền theo dãy số là một cấp số nhân có công bội \(q = 2\) triệu đồng và số hạng đầu \({v_1} = 5\) triệu đồng.
Đợt thứ nhất anh An tích góp tiền theo dãy số là một cấp số cộng có công sai \(d = 2\) triệu đồng và số hạng đầu \({u_1} = 3\) triệu đồng.
Anh An tích góp tiền hết đợt thứ nhất trong 25 tháng.
Để đủ tiền mua ôtô thì anh An tích góp ít nhất 31 tháng.
Phân tích đợt thứ nhất:
Dãy số tiền tích góp mỗi tháng ở đợt 1 là một cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có công sai \(d = 2\).
Số hạng thứ 10 là \({u_{10}} = 21\). Ta có: \({u_{10}} = {u_1} + 9d \Rightarrow 21 = {u_1} + 9 \cdot 2 \Rightarrow {u_1} = 3\) (triệu đồng).
Như vậy ý b) đúng.
Gọi \(n\) là số tháng tích góp của đợt thứ nhất. Tổng số tiền tích góp được trong đợt 1 là \({S_n} = 624\) triệu đồng.
\({S_n} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2} \Rightarrow 624 = \frac{{n\left[ {2 \cdot 3 + \left( {n - 1} \right) \cdot 2} \right]}}{2}\)\( \Leftrightarrow 624 = \frac{{n\left( {6 + 2n - 2} \right)}}{2} = \frac{{n\left( {2n + 4} \right)}}{2} = n\left( {n + 2} \right)\)
\( \Leftrightarrow {n^2} + 2n - 624 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{n = 24}\\{n = - 26{\rm{\;(loai)}}}\end{array}} \right.\).
Vậy anh An tích góp đợt 1 trong \(24\) tháng. Như vậy ý c) sai (đề ghi là 25 tháng).
Phân tích đợt thứ hai:
Số tiền tích góp của đợt 2 là một cấp số nhân \(\left( {{v_m}} \right)\) với \({v_1} = 5\) triệu đồng và tháng tiếp theo gấp đôi tháng trước nên công bội \(q = 2\). Như vậy ý a) đúng.
Số tiền còn lại cần tích góp ở đợt 2 để đủ mua xe: \(1259 - 624 = 635\) (triệu đồng).
Gọi \(m\) là số tháng tích góp của đợt 2. Tổng số tiền đợt 2 phải đạt tối thiểu là \(635\) triệu đồng:
\({T_m} = {v_1} \cdot \frac{{1 - {q^m}}}{{1 - q}} = 5 \cdot \frac{{1 - {2^m}}}{{1 - 2}} = 5 \cdot \left( {{2^m} - 1} \right)\)
Ta có yêu cầu: \(5 \cdot \left( {{2^m} - 1} \right) \ge 635 \Leftrightarrow {2^m} - 1 \ge 127 \Leftrightarrow {2^m} \ge 128 \Leftrightarrow m \ge 7\).
Do đó, số tháng tối thiểu để tích góp ở đợt 2 là \(7\) tháng.
Tổng số tháng tích góp ở cả hai đợt ít nhất là: \(n + m = 24 + 7 = 31{\rm{\;(th\'a ng)}}\).
Như vậy ý d) đúng.
Kết luận:
a) ĐÚNG b) ĐÚNG c) SAI d) ĐÚNG
Phỏng vấn 100 học sinh khối 12 về thời gian (đơn vị: giờ) sử dụng mạng xã hội trong một ngày. Kết quả phỏng vấn được cho ở bảng sau:
Ước lượng thời gian trung bình học sinh sử dụng mạng xã hội trong một ngày là 3,36 giờ.
Có 36 học sinh sử dụng mạng xã hội ít hơn 4 giờ một ngày.
Ước lượng thời gian học sinh sử dụng mạng xã hội nhiều nhất trong một ngày là 3,55 giờ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Ước lượng có khoảng 75% học sinh khối 12 sử dụng mạng xã hội trong một ngày không quá 4,43 giờ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Tính giá trị đại diện của các nhóm:
\(\left[ {0;1} \right) \to 0,5\)
\(\left[ {1;2} \right) \to 1,5\)
\(\left[ {2;3} \right) \to 2,5\)
\(\left[ {3;4} \right) \to 3,5\)
\(\left[ {4;5} \right) \to 4,5\)
\(\left[ {5;6} \right) \to 5,5\)
\(\left[ {6;7} \right) \to 6,5\)
\(\left[ {7;8} \right) \to 7,5\)
Tính số trung bình \(\bar x\):
\(\bar x = \frac{{3 \cdot 0,5 + 9 \cdot 1,5 + 18 \cdot 2,5 + 36 \cdot 3,5 + 21 \cdot 4,5 + 6 \cdot 5,5 + 4 \cdot 6,5 + 3 \cdot 7,5}}{{100}}\)\( = 3,62\) (giờ).
Do đó ý a) sai (đề ghi 3,36 giờ).
Số học sinh sử dụng mạng xã hội ít hơn 4 giờ một ngày tương ứng với các nhóm từ \(\left[ {0;1} \right)\) đến \(\left[ {3;4} \right)\):
\(3 + 9 + 18 + 36 = 66\) (học sinh).
Do đó ý b) sai (đề ghi 36 học sinh).
“Thời gian học sinh sử dụng mạng xã hội nhiều nhất”: ở đây thực chất là tìm giá trị mốt (Mode - \({M_o}\)) của mẫu số liệu ghép nhóm.
Nhóm có tần số lớn nhất là nhóm \(\left[ {3;4} \right)\) với tần số \({n_4} = 36\).
Áp dụng công thức tính mốt, ta được: \({M_o} = 3 + \frac{{36 - 18}}{{\left( {36 - 18} \right) + \left( {36 - 21} \right)}} \cdot 1 = 3 + \frac{{18}}{{18 + 15}} = 3 + \frac{{18}}{{33}} \approx 3,55\) (giờ).
Do đó ý c) đúng.
Để tìm mốc thời gian không quá bao nhiêu giờ mà có 75% số học sinh đạt được, ta cần tìm tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) (vì \({Q_3}\) tương ứng với mốc phân chia sao cho có 75% giá trị nhỏ hơn hoặc bằng nó).
Ta có \(\frac{{3N}}{4} = \frac{{3 \cdot 100}}{4} = 75\).
Ta tính tần số tích lũy:
Đến nhóm \(\left[ {2;3} \right)\): tích lũy là \(3 + 9 + 18 = 30\).
Đến nhóm \(\left[ {3;4} \right)\): tích lũy là \(30 + 36 = 66\).
Đến nhóm \(\left[ {4;5} \right)\): tích lũy là \(66 + 21 = 87\).
Vì \(66 < 75 \le 87\), nên nhóm chứa \({Q_3}\) là nhóm \(\left[ {4;5} \right)\).
Áp dụng công thức tính tứ phân vị: \({Q_3} = 4 + \frac{{75 - 66}}{{21}} \cdot 1 = 4 + \frac{9}{{21}} = 4 + \frac{3}{7} \approx 4,43\) (giờ).
Do đó ý d) đúng.
Kết luận:
a) SAI b) SAI c) ĐÚNG d) ĐÚNG
PHẦN B. TỰ LUẬN. Học sinh trả lời trên giấy làm bài từ bài 1 đến bài 2.
Tính các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{3 - \sqrt {8x + 1} }}{{x - 1}}\);
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} \frac{{{x^3} + 27}}{{\left| {{x^2} + 5x + 6} \right|}}\).
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{3 - \sqrt {8x + 1} }}{{x - 1}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {3 - \sqrt {8x + 1} } \right)\left( {3 + \sqrt {8x + 1} } \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {3 + \sqrt {8x + 1} } \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{9 - \left( {8x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {3 + \sqrt {8x + 1} } \right)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{8 - 8x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {3 + \sqrt {8x + 1} } \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{ - 8\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {3 + \sqrt {8x + 1} } \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{ - 8}}{{3 + \sqrt {8x + 1} }}\)\( = - \frac{4}{3}\).
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} \frac{{{x^3} + 27}}{{\left| {{x^2} + 5x + 6} \right|}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} \frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} - 3x + 9} \right)}}{{\left| {\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)} \right|}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} \frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} - 3x + 9} \right)}}{{ - \left| {\left( {x + 2} \right)} \right|\left( {x + 3} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} \frac{{{x^2} - 3x + 9}}{{ - \left| {x + 2} \right|}}\)\( = - 27\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang với \(AB{\rm{//}}CD\) và \(AB = 2DC\). Gọi \(M\) là điểm thuộc cạnh \(AB\) sao cho \(AM = 2MB\).
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\).
b) Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Chứng minh \(OM{\rm{//}}\left( {SBC} \right)\).
c) Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(SAC\). Gọi \(K\) là giao điểm của đường thẳng \(MG\) với mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\). Chứng minh diện tích của tam giác \[OMG\] bằng diện tích của tam giác \(OKG\).
a) Ta có \(S\) là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\): \(S \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\).
Mặt khác, trong hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) lần lượt chứa hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\) song song với nhau.
Theo hệ quả về giao tuyến của ba mặt phẳng song song, giao tuyến của \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) là đường thẳng \(d\) đi qua \(S\) và song song với \(AB\) và \(CD\).
b) Do \(AB{\rm{//}}CD\), theo định lý Thales trong tam giác đối đỉnh tạo bởi giao điểm \(O\) của hai đường chéo hình thang, ta có: \(\frac{{OA}}{{OC}} = \frac{{OB}}{{OD}} = \frac{{AB}}{{CD}}\).
Theo giả thiết \(AB = 2DC \Rightarrow \frac{{AB}}{{CD}} = 2\). Do đó: \(\frac{{OA}}{{OC}} = 2 \Rightarrow OA = 2OC \Rightarrow \frac{{AO}}{{AC}} = \frac{2}{3}\).
Xét cạnh \(AB\): vì \(M \in AB\) và \(AM = 2MB\), ta có: \(AM = \frac{2}{3}AB \Rightarrow \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{2}{3}\).
Trong tam giác \(ABC\), xét hai tỉ số trên các cạnh \(AC\) và \(AB\): \(\frac{{AO}}{{AC}} = \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{2}{3}\).
Theo định lý Thales đảo trong tam giác \(ABC\), ta suy ra: \(OM{\rm{//}}BC\).
Mặt khác: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{OM{\rm{//}}BC}\\{BC \subset \left( {SBC} \right)}\\{OM \not\subset \left( {SBC} \right)}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow OM{\rm{//}}\left( {SBC} \right)\) (đpcm).
c) Gọi \(N\) là trung điểm của \(SC\) và \(F\) là giao điểm của \[OG\] và \(SA\).
Ta có: \(\frac{{AG}}{{GN}} = \frac{{AO}}{{OC}} = 2\) (\(G\) là trọng tâm giác \(SAC\)) \( \Rightarrow OG{\rm{//}}SC \Rightarrow OF{\rm{//}}SC\).
\( \Rightarrow \frac{{AF}}{{FS}} = \frac{{AO}}{{OC}} = \frac{{AM}}{{MB}} \Rightarrow MF{\rm{//}}SB\).
Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{MF{\rm{//}}SB}\\{\left( {SBD} \right) \cap \left( {OMG} \right) = OK}\end{array}} \right. \Rightarrow OK{\rm{//}}SB{\rm{//}}MF\)\( \Rightarrow \frac{{MG}}{{GK}} = \frac{{FG}}{{GO}} = \frac{{SN}}{{NC}} = 1\).
Vậy \(\frac{{{S_{OMG}}}}{{{S_{OKG}}}} = \frac{{MG}}{{GK}} = 1\).
