Đề thi cuối kì 1 Toán 11 năm 2025-2026 THPT Lương Thế Vinh (TP.HCM) có đáp án
19 câu hỏi
PHẦN I. (3 điểm) Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 15. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Tìm \(x\) để các số \(8;x;128\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.
\(x = 64\).
\(x = 14\).
\(x = 32\).
\(x = 68\).
Ba số \(8;x;128\) theo thứ tự lập thành một cấp số nhân khi và chỉ khi tích của số hạng đầu và số hạng thứ ba bằng bình phương của số hạng xen giữa: \({x^2} = 8 \cdot 128 = 1024\)\( \Rightarrow x = \pm 32\).
Đối chiếu với các phương án lựa chọn, ta chọn \(x = 32\).
Chọn C.
Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) cho bởi số hạng tổng quát \({u_n}\) dưới đây, dãy số nào là dãy số tăng?
\({u_n} = {\left( {\frac{5}{2}} \right)^n}\).
\({u_n} = \frac{1}{{{2^n}}}\).
\({u_n} = \frac{1}{{{n^2}}}\).
\({u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}\).
Xét dãy số \({u_n} = {\left( {\frac{5}{2}} \right)^n}\). Ta có: \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^{n + 1}}}}{{{{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^n}}} = \frac{5}{2} > 1\quad \left( {\forall n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).
Vì \({u_n} > 0\) và tỉ số lớn hơn \(1\) nên đây là dãy số tăng.
Các dãy ở đáp án B và C là dãy giảm vì mẫu số tăng khi \(n\) tăng. Dãy ở đáp án D là dãy đan dấu (không tăng không giảm).
Chọn A.
Một ruộng bậc thang có thửa thấp nhất (bậc thứ nhất) nằm ở độ cao \(950{\rm{m}}\) và thửa cao nhất ở độ cao \(1130{\rm{m}}\) so với mực nước biển, chênh lệch độ cao giữa các thửa ruộng liên tiếp trung bình là \(1,5{\rm{m}}\). Hỏi ruộng bậc thang có bao nhiêu bậc?
\(121\) bậc.
\(122\) bậc.
\(120\) bậc.
\(119\) bậc.
Độ cao của các thửa ruộng lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu \({u_1} = 950\), công sai \(d = 1,5\) và số hạng cuối \({u_n} = 1130\).
Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\).
Thay các giá trị vào ta được: \(1130 = 950 + \left( {n - 1} \right) \cdot 1,5\)\( \Leftrightarrow n = 121\).
Vậy ruộng bậc thang có \(121\) bậc.
Chọn A.
Mệnh đề nào sau đây sai?
Nếu \(\lim {u_n} = + \infty \) thì \(\lim \frac{1}{{{u_n}}} = 0\).
\(\lim \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n} = 0\).
\(\lim \frac{1}{n} = 0\).
\(\lim {q^n} = 0\quad \left( {\left| q \right| > 1} \right)\).
Theo giới hạn cơ bản của dãy số, ta có \(\lim {q^n} = 0\) khi và chỉ khi \(\left| q \right| < 1\). Do đó mệnh đề D sai.
Chọn D.
Tất cả các nghiệm của phương trình \(\tan \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0\) là
\(x = \frac{\pi }{3} + k\pi \quad \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \quad \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \quad \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \quad \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Ta có \(\tan \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} = k\pi \quad \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)\( \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \quad \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Chọn B.
Cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = - 5\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g\left( x \right) = - \infty \). Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]\).
\( - \infty \).
\(5\).
\(0\).
\( + \infty \).
Áp dụng quy tắc tìm giới hạn của tích: khi \(x \to + \infty \), hàm số \(f\left( x \right)\) tiến tới một số âm (\( - 5\)) và hàm số \(g\left( x \right)\) tiến tới \( - \infty \). Tích của hai đại lượng mang dấu âm sẽ cho kết quả mang dấu dương:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] = + \infty \).
Chọn D.
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} = 5\) và công sai \(d = - 3\). Tính \({u_{16}}\).
\({u_{16}} = - 48\).
\({u_{16}} = 40\).
\({u_{16}} = - 40\).
\({u_{16}} = - 43\).
Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng: \({u_{16}} = {u_1} + 15d\).
Thay số vào ta có: \({u_{16}} = 5 + 15 \cdot \left( { - 3} \right) = 5 - 45 = - 40\).
Chọn C.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right):{u_n} = 13n + 5\). Tính số hạng thứ 12 của dãy.
\({u_{12}} = 174\).
\({u_{12}} = 31\).
\({u_{12}} = 161\).
\({u_{12}} = 148\).
Thay \(n = 12\) vào công thức tổng quát của dãy số: \({u_{12}} = 13 \cdot 12 + 5 = 156 + 5 = 161\).
Chọn C.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{2{x^2} - 3x - 2}}{{{x^3} - 8}}}&{{\rm{khi\;}}x \ne 2}\\{x + 2025}&{{\rm{khi\;}}x = 2}\end{array}} \right.\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
Hàm số không liên tục tại \(x = 2\).
Hàm số không liên tục tại \(x = - 2\).
Hàm số không liên tục tại \(x = 1\).
Hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Ta xét tính liên tục của hàm số tại điểm \(x = 2\):
- Giá trị hàm số tại \(x = 2\): \(f\left( 2 \right) = 2 + 2025 = 2027\).
- Giới hạn của hàm số khi \(x \to 2\):
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2{x^2} - 3x - 2}}{{{x^3} - 8}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {2x + 1} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2x + 1}}{{{x^2} + 2x + 4}} = \frac{{2 \cdot 2 + 1}}{{{2^2} + 2 \cdot 2 + 4}} = \frac{5}{{12}}\).
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \frac{5}{{12}} \ne f\left( 2 \right) = 2027\) nên hàm số không liên tục tại \(x = 2\).
Chọn A.
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = 1\) và \({u_2} = 2\). Công bội của cấp số nhân đã cho là
\(q = - \frac{1}{2}\).
\(q = - 2\).
\(q = \frac{1}{2}\).
\(q = 2\).
Công bội \(q\) của cấp số nhân tính bằng công thức: \(q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{2}{1} = 2\).
Chọn D.
Tìm giới hạn \(A = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt[3]{{x + 7}} + 1}}{{x - 2}}\).
\(3\).
\(1\).
\( - \frac{1}{2}\).
\( - 3\).
Thay trực tiếp \(x = 1\) vào biểu thức (do đây không phải dạng vô định): \(A = \frac{{\sqrt[3]{{1 + 7}} + 1}}{{1 - 2}} = \frac{{\sqrt[3]{8} + 1}}{{ - 1}} = \frac{{2 + 1}}{{ - 1}} = - 3\).
Chọn D.
Giá trị của \(\lim \frac{{{n^3} - a{n^2}}}{{3{n^3} + {n^2} + 1}}\) với \(a \in \mathbb{R}\) có kết quả là:
\( - \frac{1}{3}\).
\(\frac{{1 - a}}{3}\).
\(\frac{1}{3}\).
\( - \frac{a}{3}\).
Chia cả tử và mẫu cho \({n^3}\) (bậc cao nhất của mẫu): \(\lim \frac{{{n^3} - a{n^2}}}{{3{n^3} + {n^2} + 1}} = \lim \frac{{1 - \frac{a}{n}}}{{3 + \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^3}}}}} = \frac{{1 - 0}}{{3 + 0 + 0}} = \frac{1}{3}\).
Chọn C.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{x - 3}}{{\sqrt {x + 1} - 2}}}&{{\rm{khi\;}}x \ne 3}\\{m + 2}&{{\rm{khi\;}}x = 3}\end{array}} \right.\). Giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 3\) bằng:
\(1\).
\(6\).
\(2\).
\( - 2\).
Hàm số liên tục tại \(x = 3\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = f\left( 3 \right)\).
- Ta có \(f\left( 3 \right) = m + 2\).
- Tính giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{x - 3}}{{\sqrt {x + 1} - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {x + 1} + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt {x + 1} - 2} \right)\left( {\sqrt {x + 1} + 2} \right)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {x + 1} + 2} \right)}}{{\left( {x + 1} \right) - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {x + 1} + 2} \right)}}{{x - 3}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {\sqrt {x + 1} + 2} \right) = \sqrt {3 + 1} + 2 = 4\).
Để hàm số liên tục tại \(x = 3\) thì \(m + 2 = 4 \Rightarrow m = 2\).
Chọn C.
Học sinh sử dụng dữ liệu sau để trả lời các câu hỏi từ câu 14 đến câu 15.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\).
Giao tuyến của \(\left( {SAO} \right)\) với \(\left( {SBC} \right)\) là:
\(SO\).
\(SB\).
\(SC\).
\(SA\).
Điểm chung thứ nhất là \(S\), rõ ràng \(S \in \left( {SAO} \right) \cap \left( {SBC} \right)\).
Tìm điểm chung thứ hai: Trong mặt phẳng đáy \(\left( {ABCD} \right)\), đường thẳng \(AO\) kéo dài chính là đường chéo \(AC\). Do đó mặt phẳng \(\left( {SAO} \right)\) cũng chính là mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).
Đường thẳng \(AC\) cắt đường thẳng \(BC\) tại điểm \(C\). Vì vậy, \(C \in AC \subset \left( {SAO} \right)\) và \(C \in BC \subset \left( {SBC} \right) \Rightarrow C \in \left( {SAO} \right) \cap \left( {SBC} \right)\).
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng \(SC\).
Chọn C.
Hình chiếu song song của điểm \(C\) lên mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) theo phương chiếu \(DA\) là:
Đoạn thẳng \(BC\).
Đoạn thẳng \(AB\).
Điểm \(B\).
Điểm \(A\).
Vì đáy \(ABCD\) là hình bình hành nên \(CB{\rm{//}}DA\).
Do đó phương chiếu \(DA\) cũng song song hoặc trùng với đường thẳng \(CB\). Đường thẳng đi qua \(C\) và song song với phương chiếu \(DA\) chính là đường thẳng \(CB\).
Đường thẳng này cắt mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) tại điểm \(B\).
Vậy hình chiếu song song của điểm \(C\) lên mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) theo phương \(DA\) là điểm \(B\).
Chọn C.
PHẦN II. (3 điểm) Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 3. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho phương trình lượng giác \(\sqrt 2 \sin x = 1\). Xét tính đúng sai của các phát biểu sau:
Phương trình có nghiệm là \(x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \) hoặc \(x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \quad \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Phương trình có nghiệm dương nhỏ nhất bằng \(\frac{\pi }{4}\).
Trong đoạn \(\left[ { - \pi ;2\pi } \right]\) phương trình có 4 nghiệm.
Tổng các nghiệm của phương trình trong đoạn \(\left[ { - \pi ;2\pi } \right]\) bằng \(\pi \).
Biến đổi phương trình: \(\sin x = \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \sin \frac{\pi }{4}\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi }\end{array}\quad \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.\).
a) ĐÚNG: Trùng với họ nghiệm vừa giải.
b) ĐÚNG: Với họ nghiệm thứ nhất, nghiệm dương nhỏ nhất ứng với \(k = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi }{4}\). Với họ nghiệm thứ hai, nghiệm dương nhỏ nhất ứng với \(k = 0 \Rightarrow x = \frac{{3\pi }}{4}\). So sánh hai giá trị thì \(\frac{\pi }{4}\) là nghiệm dương nhỏ nhất.
c) SAI: Xét các nghiệm trong đoạn \(\left[ { - \pi ;2\pi } \right]\):
Họ nghiệm 1: \( - \pi \le \frac{\pi }{4} + k2\pi \le 2\pi \Rightarrow - \frac{5}{8} \le k \le \frac{7}{8} \Rightarrow k = 0 \Rightarrow {x_1} = \frac{\pi }{4}\).
Họ nghiệm 2: \( - \pi \le \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \le 2\pi \Rightarrow - \frac{7}{8} \le k \le \frac{5}{8} \Rightarrow k = 0 \Rightarrow {x_2} = \frac{{3\pi }}{4}\).
Vậy trong đoạn này phương trình chỉ có 2 nghiệm.
d) ĐÚNG: Tổng các nghiệm trong đoạn là \({x_1} + {x_2} = \frac{\pi }{4} + \frac{{3\pi }}{4} = \pi \).
Kết luận:
a) ĐÚNG b) ĐÚNG c) SAI d) ĐÚNG
Cho hình vuông \(ABCD\) có độ dài cạnh bằng \(1\). Nối các trung điểm của bốn cạnh hình vuông \(ABCD\) ta được hình vuông thứ hai. Tiếp tục nối các trung điểm của bốn cạnh hình vuông thứ hai ta được hình vuông thứ ba, tiếp tục như thế ta được một dãy các hình vuông.
Độ dài cạnh của hình vuông thứ 2 bằng \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Độ dài cạnh của hình vuông thứ \(n\) bằng \({\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^n}\).
Chu vi của hình vuông thứ \(n\) bằng \({u_n} = 4\sqrt 2 {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^n}\).
Tổng chu vi của dãy hình vuông đó bằng \(a + b\sqrt 2 \) (\(a,b\) là các số nguyên), khi đó \(a + b = 12\).
Cạnh hình vuông thứ nhất: \({a_1} = 1\).
Cạnh hình vuông thứ hai là độ dài đoạn thẳng nối 2 trung điểm của 2 cạnh kề nhau của hình vuông thứ nhất: \({a_2} = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\). Do đó a) ĐÚNG.
Theo quy luật, cạnh hình vuông tiếp theo bằng cạnh hình vuông trước đó nhân với \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Do đó, độ dài cạnh của hình vuông thứ \(n\) là: \({a_n} = {a_1} \cdot {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^{n - 1}} = 1 \cdot {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^{n - 1}} = {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^{n - 1}}\). Phát biểu ghi là \({\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^n}\) nên b) SAI.
Chu vi của hình vuông thứ \(n\) bằng: \({u_n} = 4 \cdot {a_n} = 4 \cdot {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^{n - 1}}\).
Biến đổi cụ thể: \(4 \cdot {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^{n - 1}} = 4 \cdot \frac{{{{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^n}}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = \frac{4}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} \cdot {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^n} = \frac{8}{{\sqrt 2 }} \cdot {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^n} = 4\sqrt 2 {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^n}\). Vậy c) ĐÚNG.
Tổng chu vi của tất cả các hình vuông trong dãy là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu \({u_1} = 4{a_1} = 4\) và công bội \(q = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\):
\(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{4}{{1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = \frac{8}{{2 - \sqrt 2 }} = \frac{{8\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}}{{4 - 2}} = 4\left( {2 + \sqrt 2 } \right) = 8 + 4\sqrt 2 \).
Đối chiếu với dạng \(a + b\sqrt 2 \), ta được \(a = 8\) và \(b = 4\). Khi đó \(a + b = 8 + 4 = 12\). Vậy d) ĐÚNG.
Kết luận:
a) ĐÚNG b) SAI c) ĐÚNG d) ĐÚNG
Hai doanh nghiệp có phương án trả lương cho người lao động như sau:
Doanh nghiệp A: Quý thứ nhất, tiền lương là 24 triệu đồng. Kể từ quý thứ 2 trở đi, mỗi quý tiền lương được tăng 1,8 triệu đồng (biết 1 quý có 3 tháng).
Doanh nghiệp B: Năm thứ nhất, tiền lương là 150 triệu. Kể từ năm thứ 2 trở đi, mỗi năm tiền lương được tăng 18 triệu.
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Ở doanh nghiệp A, dãy số biểu thị tiền lương qua mỗi quý lập thành một cấp số nhân có \({u_1} = 24\), công bội \(q = 1,8\).
Ở doanh nghiệp B, dãy số biểu thị tiền lương qua mỗi năm lập thành một cấp số cộng có \({u_1} = 150\), công sai \(d = 18\).
Tổng số tiền doanh nghiệp B phải trả cho một người lao động trong 10 năm làm việc là 2300 triệu đồng.
Một người lao động làm ở doanh nghiệp A trong 10 năm thì tổng số tiền lương nhận được sẽ nhiều hơn khi làm ở doanh nghiệp B cũng trong 10 năm.
a) SAI: Ở doanh nghiệp A, tiền lương mỗi quý tăng thêm một lượng không đổi là \(1,8\) triệu đồng, do đó nó phải lập thành một cấp số cộng với \({u_1} = 24\) và công sai \(d = 1,8\), chứ không phải cấp số nhân.
b) ĐÚNG: Tiền lương qua từng năm tăng đều \(18\) triệu nên lập thành cấp số cộng có \({u_1} = 150\) và \(d = 18\).
c) SAI: Tổng số tiền doanh nghiệp B trả sau 10 năm là tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng:
\({S_{10}} = \frac{{10}}{2} \cdot \left[ {2{u_1} + \left( {10 - 1} \right)d} \right] = 5 \cdot \left[ {2 \cdot 150 + 9 \cdot 18} \right] = 5 \cdot \left[ {300 + 162} \right] = 5 \cdot 462 = 2310\) (triệu đồng).
Phát biểu ghi 2300 triệu đồng là sai.
d) ĐÚNG:
Ở doanh nghiệp A, người đó làm 10 năm tức là \(10 \times 4 = 40\) quý. Tổng số tiền nhận được ở doanh nghiệp A là tổng của 40 số hạng đầu của cấp số cộng quý:
\({S_{40}} = \frac{{40}}{2} \cdot \left[ {2 \cdot 24 + \left( {40 - 1} \right) \cdot 1,8} \right] = 20 \cdot \left[ {48 + 39 \cdot 1,8} \right] = 20 \cdot \left[ {48 + 70,2} \right] = 20 \cdot 118,2 = 2364\) (triệu đồng).
So sánh: \(2364{\rm{\;\;(A)}} > 2310{\rm{\;\;(B)}}\). Do đó tổng lương nhận ở doanh nghiệp A nhiều hơn doanh nghiệp B.
Kết luận:
a) SAI b) ĐÚNG c) SAI d) ĐÚNG
PHẦN III. (4 điểm) Tự luận.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang (\(AB{\rm{//}}CD\)), \(DC = 2AB\). Gọi \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm \(BC,DC,SC\).
a) Chứng minh \(CD{\rm{//}}\left( {SAB} \right)\).
b) Chứng minh \(\left( {MNP} \right){\rm{//}}\left( {SBD} \right)\).
c) Gọi \(I,J\) lần lượt là trọng tâm của và . Gọi \(K\) là giao điểm của \(SC\) với mặt phẳng \(\left( {AIJ} \right)\). Tính tỉ số \(\frac{{SK}}{{KC}}\).
a) Theo giả thiết, \(ABCD\) là hình thang với hai đáy song song là \(AB\) và \(CD\), suy ra \(CD{\rm{//}}AB\).
Mặt khác, đường thẳng \(AB\) nằm trong mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) (\(AB \subset \left( {SAB} \right)\)).
Đường thẳng \(CD\) không nằm trong mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) (\(CD \not\subset \left( {SAB} \right)\)).
Do đó, theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng, ta suy ra: \(CD{\rm{//}}\left( {SAB} \right)\).
b) Trong tam giác \(BCD\), ta có \(M\) là trung điểm của \(BC\) và \(N\) là trung điểm của \(DC\). Do đó, \(MN\) là đường trung bình của \( \Rightarrow MN{\rm{//}}BD\).
Mà \(BD \subset \left( {SBD} \right)\) nên \(MN{\rm{//}}\left( {SBD} \right)\) (1).
Trong tam giác \(SCD\), ta có \(N\) là trung điểm của \(DC\) và \(P\) là trung điểm của \(SC\). Do đó, \(NP\) là đường trung bình của \( \Rightarrow NP{\rm{//}}SD\).
Mà \(SD \subset \left( {SBD} \right)\) nên \(NP{\rm{//}}\left( {SBD} \right)\) (2).
Mặt khác, hai đường thẳng \(MN\) và \(NP\) cùng nằm trong mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) và cắt nhau tại điểm \(N\).
Từ (1) và (2), theo định lý hai mặt phẳng song song, ta kết luận: \(\left( {MNP} \right){\rm{//}}\left( {SBD} \right)\).
c) Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), gọi \(T = AC \cap BD\) và \(O = AC \cap MN\).
Trong mặt phẳng \(\left( {SMN} \right)\), gọi \(H = SO \cap IJ\).
Trong mặt phẳng \(\left( {AIJ} \right)\), gọi \(K = SC \cap AH\).
Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{K \in SC}\\{K \in AH,AH \subset \left( {AIJ} \right)}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow K = SC \cap \left( {AIJ} \right)\).
Ta cũng có \(AT = OC = OT = \frac{1}{2}TC \Rightarrow \frac{{AO}}{{AC}} = \frac{2}{3}\).
Ta có \(\frac{{SJ}}{{SN}} = \frac{{SI}}{{SM}} = \frac{2}{3} \Rightarrow IJ{\rm{//}}MN\)\( \Rightarrow \frac{{SH}}{{SO}} = \frac{2}{3}\).
Trong mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\), kẻ \(OE{\rm{//}}AK\) (E thuộc AC).
\({\rm{\Delta }}SOE\) có \(OE{\rm{//}}HK\)\( \Rightarrow \frac{{SK}}{{SE}} = \frac{{SH}}{{SO}} = \frac{2}{3} \Rightarrow SK = 2KE\quad \left( 1 \right)\).
\({\rm{\Delta }}ACK\) có \(OE{\rm{//}}AK\)\( \Rightarrow \frac{{KE}}{{KC}} = \frac{{AO}}{{AC}} = \frac{2}{3} \Rightarrow KE = \frac{2}{3}KC\quad \left( 2 \right)\).
Từ (1) và (2) suy ra \(SK = 2KE = 2 \cdot \frac{2}{3}KC = \frac{4}{3}KC\)\( \Rightarrow \frac{{SK}}{{KC}} = \frac{4}{3}\).
