Đề số 25

Đáp án C

Có 4 mặt phẳng đối xứng như trong hình vẽ dưới đây:

Đáp án D

Số nghiệm của phương trình $x^3+3x^2-2=m$  là số giao điểm của đồ thị hàm số  $y=x^3+3x^2-2$ và đường thẳng  $y=m$

Ta có: $y\text{'}=3x^2+6x=0\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x=-2\end{array}$ . Ta có đồ thị hàm số như hình vẽ:

Quan sát đồ thị hàm số ta có đường thẳng $y=m$  cắt đồ thị hàm số $y=x^3+3x^2-2$  tại 2 điểm phân biệt  $\iff [\begin{array}{l}m=2\\ m=-2\end{array}$

Đáp án A

TXĐ: $D=R\backslash \left\{2\right\}.$ Ta có: $y\text{'}=\frac{2.1-1.1}{{(x+2)}^2}=\frac{1}{{(x+2)}^2}$

Gọi $M(x_o;\frac{x_o+1}{x_o+2})\in \left(C\right)$

Ta có phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ $x=x_o$ là: $y\text{'}=\frac{1}{{(x_o+2)}^2}(x-x_o)+\frac{x_o+1}{x_o+2}(d\text{'})$

Để $(d\text{'})//\left(d\right):x+y=1\iff y=-x-1\Rightarrow \frac{1}{{(x_o+2)}^2}=-1$ (vô nghiệm)

Đáp án A

Với $x=0\Rightarrow d>0$

Từ đồ thị ta thấy nếu gọi $x_1;x_2$là hai điểm cực trị của hàm số thì khi đó

$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{-2b}{3a}>0\\ x_1{x}_2=\frac{c}{3a}<0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}b<0\\ c<0\end{array}$

Đáp án B

Hàm số $y=f\left(x\right)$ có $f\text{'}\left(x\right)>0\forall x\in ℝ$ thì đồng biến trên

Khi đó ta có $f\left(\frac{1}{x}\right)<f\left(1\right)\iff \frac{1}{x}<1\iff \frac{1}{x}-1<0\iff \frac{1-x}{x}<0\iff [\begin{array}{l}x>1\\ x<0\end{array}$

Vậy $x\in (-\infty ;0)\cup (1;+\infty )$

Đáp án D

Ta có:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên  $(-\infty ;2)$ và đồng biến trên $(2;+\infty )$.

Đáp án D

Gọi q là công bội của cấp số nhân đã cho ta có:

$\begin{array}{l}20u_1-10u_2+u_3=20u_1-10u_{1}q+u_1{q}^2=40-20q+2q^2=2(q^2-10q+25)-10\\ =t^2-10\ge -10\end{array}$

Dấu “=” xảy ra $\iff q=5$

Khi đó số hạng thứ sáu của cấp số nhân trên là $u_7=u_1{q}^6={2.5}^6=31250$

Đáp án D

Mặt phẳng (P) vuông góc với $\left(Q\right),\left(R\right)\Rightarrow \overrightarrow{n_P}\perp \overrightarrow{n_Q},\overrightarrow{n_P}\perp \overrightarrow{n_R}\Rightarrow \overrightarrow{n_P}=[\overrightarrow{n_Q},\overrightarrow{n_R}]$

Ta có: $\overrightarrow{n_Q}=(1;1;3),\overrightarrow{n_R}=(2;-1;1)\Rightarrow \overrightarrow{n_P}=[\overrightarrow{n_Q},\overrightarrow{n_R}]=(4;5;-3)$

Phương trình mặt phẳng đi qua điểm $B(2;1;-3)$ và có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(4;5;-3)$ là: $4(x-2)+5(y-1)-3(z+3)=0\iff 4x+5y-3z-22=0$

Đáp án C

Ta có: $\left[\ln (5-3x^2)\right]\text{'}=\frac{-6x}{5-3x^2}=\frac{6x}{3x^2-5}$

Đáp án C

Ta có:       ${\log }_{5}2=\frac{1}{{\log }_{2}5}=\frac{1}{a};{\log }_{5}3=\frac{1}{{\log }_{3}5}=\frac{1}{b}$   

${\log }_{6}5=\frac{1}{{\log }_{5}6}=\frac{1}{{\log }_{5}2+{\log }_{5}3}=\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=\frac{ab}{a+b}$

Đáp án B

Giả sử: $z=a+bi$ (với $a,b\in ℝ)$

Khi đó: $2z-i.\overline{z}=2+5i\iff 2(a+bi)-i(a-bi)=2+5i$

$\iff 2a-b+(2b-a)i=2+5i\iff \{\begin{array}{l}2a-b=2\\ 2b-a=5\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=3\\ b=4\end{array}$

Do đó:  $z=3+4i\Rightarrow \left|z\right|=\sqrt{3^2+4^2}=5$

Đáp án C

Hình lăng trụ tam giác đều có 4 mặt phẳng đối xứng như hình vẽ bên dưới, trong đó:

3 mặt phẳng tạo bởi 1 cạnh bên và trung điểm của các cạnh đối diện.

1 mặt phẳng tạo bởi trung điểm của 3 cạnh bên.

Đáp án C

Ta có: $SA\perp \left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BD$

Lại có: $BD\perp AC$ (do ABCD là hình vuông)

Mà $AN\perp SO$ (giả thiết) $\Rightarrow AN\perp \left(SBD\right)\Rightarrow AN\perp \left(SOD\right)$

Đáp án A

TXĐ: $D=ℝ\backslash \left\{2\right\}$. Ta có:

$y\text{'}=\frac{-2.1-1.(m^2+2m)}{{(x-2)}^2}=\frac{-m^2-2m-2}{{(x-2)}^2}=\frac{-{(m+1)}^2-1}{{(x-2)}^2}<0\forall x\in D$

$y\text{'}<0\forall x\in [3;4]$ Hàm số đã cho nghịch biến trên [3;4]

$\begin{array}{l}\Rightarrow \underset{\text{[}3;4]}{\min y}=y\left(4\right)=\frac{m^2+2m+4}{2};\underset{\text{[}3;4]}{\max }y=y\left(3\right)=m^2+2m+3\\ \Rightarrow A=\frac{m^2+2m+4}{2};B=m^2+2m+3\end{array}$

Theo đề bài ta có $A+B=\frac{19}{2}\Rightarrow \frac{m^2+2m+4}{2}+m^2+2m+3=\frac{19}{2}$

$\iff \frac{m^2+2m+4+2m^2+4m+6}{2}=\frac{19}{2}\iff 3m^2+6m-9=0\iff [\begin{array}{l}m=1\\ m=-3\end{array}$

Đáp án A

Đặt $t=2\sin x\Rightarrow dt=2\cos xdx\Rightarrow \frac{1}{2}dt=\cos xdx$

Đổi cận: $\{\begin{array}{l}x=0\Rightarrow t=0\\ x=\frac{\pi }{2}\Rightarrow t=2\end{array}$

Vậy $I=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(t\right)dt=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=3$

Đáp án D

Gọi $C(c;0)\in Ox(c>0)$ta có $C(c;0)\in Ox(c>0)$

Tam giác ABC vuông tại $C\iff \overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=0\iff (-2-c)(8-c)+16=0$

$-16+2c-8c+c^2+16=0\iff c^2-6c=0\iff [\begin{array}{l}c=0\left(ktm\right)\\ c=6\left(tm\right)\end{array}\Rightarrow C(6;0)$

Đáp án B

Ta có: $y\text{'}=2x-\frac{16}{x^2}\iff y=0\iff 2x^3=\frac{16}{x^2}\iff 2x^3=16\iff x=2\in [\frac{3}{2};4]$

Ta lại có: $y\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{155}{12};y\left(2\right)=12;y\left(4\right)=20$

Vậy $\underset{[\frac{3}{2};4]}{\max }y=20$ khi  $x=4$

Đáp án C

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ABC có

$BC=\sqrt{A{C}^2-A{B}^2}=\sqrt{25a^2-16a^2}=3a$

Đáp án A

Tập xác định của hàm số:$\left|x\right|>0\iff x\ne 0\Rightarrow$ Đáp án D đúng.

Ta có: $y={\log }_{\frac{1}{2}}\left|x\right|=\{\begin{array}{l}{\log }_{\frac{1}{2}}xkhix>0\\ {\log }_{\frac{1}{2}}(-x)khix<0\end{array}$

Vì $0<a=\frac{1}{2}<1\Rightarrow$ hàm số $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$  nghịch biến trên $(0;+\infty )$ và hàm số $y={\log }_{\frac{1}{2}}(-x)$  đồng biến trên $(-\infty ;0)$

Đáp án A

Ta có: ${(x^2+\frac{1}{x})}^{12}=\sum _{k=0}^{12}C{}_{12}^k{\left(x^2\right)}^{12-k}{\left(\frac{1}{x}\right)}^k=\sum _{k=0}^{12}C{}_{12}^k{x}^{24-3k}$, do đó hệ số của số hạng chứa  trong khai triển trên ứng với $24-3k=m\iff k=\frac{24-m}{3}$

Theo bài ra ta có $C_{12}^{\frac{24-m}{3}}=792\iff [\begin{array}{l}\frac{24-m}{3}=5\\ \frac{24-m}{3}=7\end{array}\iff [\begin{array}{l}m=9\\ m=3\end{array}$

Đáp án B

Ta có:  $2^{x+1}=4\iff 2^{x+1}=2^2\iff x+1=2\iff x=1$

Vậy tập nghiệm của phương trình là:   $S=\left\{1\right\}$

Đáp án B

Ta có  $\Delta ABC=\Delta ADC(c.c.c)\Rightarrow CE=DE\Rightarrow \Delta CDE$ vuông cân tại E

$\Rightarrow CD=CE\sqrt{2}\iff 2x=CE\sqrt{2}\iff CE=x\sqrt{2}(*)$

Xét tam giác vuông CBH có   $B{H}^2=B{C}^2-C{H}^2=a^2-x^2$

Xét tam giác vuông ACH có   $A{H}^2=A{C}^2-C{H}^2=a^2-x^2$

Xét tam giác vuông ABH có  $A{B}^2=A{H}^2+B{H}^2=2a^2-2x^2\Rightarrow AE=\frac{\sqrt{2a^2-2x^2}}{2}$

Xét tam giác vuông ACE có $C{E}^2=A{C}^2-A{E}^2=a^2-\frac{a^2-x^2}{2}=\frac{a^2+x^2}{2}\Rightarrow CE=\frac{\sqrt{a^2+x^2}}{2}$

Đáp án A

Áp dụng hệ thức lượng cho $\Delta SAC$ vuông tại S và có đường cao SH ta có:

 $SH=\frac{SA.SC}{AC}=\frac{\frac{a}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2}}{a}=\frac{a\sqrt{3}}{4}$

$\Rightarrow V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SA.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{4}.\frac{a^2}{2}=\frac{a^3\sqrt{3}}{24}$$\Rightarrow V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SA.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{4}.\frac{a^2}{2}=\frac{a^3\sqrt{3}}{24}$

Đáp án C

Đặt:  $\{\begin{array}{l}u=x-1\\ dv=\sin 2xdx\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}du=dx\\ v=-\frac{1}{2}\cos 2x\end{array}$

Do đó:  $I=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}(x-1)\sin 2xdx={-\frac{1}{2}(x-1)\cos 2x|}_0^{\frac{\pi }{4}}+\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\cos 2xdx$

Đáp án C

Nếu  $x=x_o$ là điểm cực trị của hàm số thì   $f\text{'}\left(x_o\right)=0$

Nếu $x=x_o$ là điểm cực trị của hàm số thì   $\{\begin{array}{l}f\text{'}\left(x_o\right)=0\\ f\text{'}\text{'}\left(x_o\right)>0\end{array}$

Đáp án B

Ta có:  $\int f\left(x\right)dx=\int \frac{1}{x{(\ln x+2)}^2}dx=\int \frac{d(\ln x+2)}{{(\ln x+2)}^2}=\frac{-1}{\ln x+2}+C$

Đáp án A

Ta có:  $2^{2x^2+5x+4}=4\iff 2x^2+5x+4=2\iff 2x^2+5x+2=0\iff [\begin{array}{l}x=-\frac{1}{2}\\ x=-2\end{array}\Rightarrow x_1{x}_2=1$

Đáp án C

Phương trình hoành độ giao điểm:  $\sqrt{(x-1)e^{x^2-2x}}=0\iff x-1=0\iff x=1$

Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành là:  $V=\pi \underset{1}{\overset{2}{\int }}(x-1)e^{x^2-2x}dx$ 

$=\frac{1}{2}\pi \underset{1}{\overset{2}{\int }}{e}^{x^2-2x}d(x^2-2x){=\frac{1}{2}\pi e^{x^2-2x}|}_1^2=\frac{1}{2}\pi -\frac{\pi }{2e}=\frac{\pi (e-1)}{2e}$

Đáp án C

Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=1.2-2.(-1)+3.(-1)=1\ne 0\Rightarrow \overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$  không vuông góc $\Rightarrow$  loại đáp án A.

Ta thấy không tồn tại số k để  $\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}\Rightarrow \overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ không cùng phương $\Rightarrow$ loại đáp án B.

 $\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{1+{(-2)}^2+3^2}=\sqrt{14}\Rightarrow$ Đáp án C đúng.

Đáp án A

 $\Rightarrow AC=\sqrt{S{A}^2+S{C}^2}=\sqrt{a^2+x^2}$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAC có   $SH=\frac{SA.SC}{AC}=\frac{ax}{\sqrt{a^2+x^2}}$

Ta có  $OA=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+x^2}$

$\Rightarrow OB=\sqrt{A{B}^2-O{A}^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2+x^2}{4}}=\frac{\sqrt{3a^2-x^2}}{2}\Rightarrow BD=\sqrt{3a^2-x^2}$

 Do ABCD là hình thoi   $\Rightarrow S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC.BD$

Khi đó ta có:  $V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SH.S_{ABCD}=\frac{1}{6}.\frac{ax}{\sqrt{a^2+x^2}}\sqrt{a^2+x^2}.\sqrt{3a^2-x^2}=\frac{1}{6}ax\sqrt{3a^2-x^2}$

Áp dụng BĐT Cosi ta có:  $x\sqrt{3a^2-x^2}\le \frac{x^2+3a^2-x^2}{2}=\frac{3a^2}{2}\Rightarrow V_{S.ABCD}\le \frac{1}{6}a\frac{3a^2}{2}=\frac{a^3}{4}$

Đáp án C

Ta có  $y\text{'}=8x^7+5(m+1)x^4-4(m^2-1)x^3;y\text{'}\text{'}=56x^6+20(m+1)x^3-12(m^2-1)x^2$

$\Rightarrow y=0\iff 8x^7+5(m+1)x^4-4(m^2-1)x^3=0\iff x^3[8x^4+5(m+1)x-4(m^2-1)]=0$ 

TH1: Xét  $m^2-1=0\iff m=\pm 1$

·        Khi  $m=1$ ta có $y\text{'}=0\iff x^3(8x^4+10x)=x^4(8x^3+10)\Rightarrow x=0$  là nghiệm bội $4\Rightarrow x=0$ không là cực trị của hàm số.

·        Khi $m=-1$  ta có $y\text{'}=0\iff x^3.8x^4=0\iff 8x^7=0\iff x=0$ là nghiệm bội lẻ $\iff x=0$ là điểm cực trị của hàm số. Hơn nữa qua điểm  thì  đổi dấu từ âm sang dương nên x=0 là điểm cực tiểu của hàm số.

TH2: Xét  $m^2-1\ne 0\iff m\ne \pm 1$ ta có:

 $y=0\iff x^2[8x^5+5(m+1)x^2-4(m^2-1)x]=0\iff [\begin{array}{l}{x}^2=0\\ 8x^5+5(m+1)x^2-4(m^2-1)x=0\end{array}$